《数学分析》课程教学资源（试题集锦）补充材料（三）

数学系2002级三、四班数学分析补充材料(三) (单变元函数极限、单变元连续函数习题,2002年11月) 部分难题解析 补充题(一) 17(2)and(3).Pr any given n E N+, because En+p= en+ m+1)+(n+2 n+p)! where pEN+ P23, and (n+) c0s可≥ Co It may be obtained: sin 2n.3 2 2n-1

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2002

       2002 11 
  17(2) and (3). Proof  Set en =1+1+ 1 2! + ... + 1 n! , n ∈ N+. For any given n ∈ N+, because en+p = en + 1 (n + 1)! + 1 (n + 2)! + ··· + 1 (n + p)!, (i) where p ∈ N+, p ≥ 3, and n + 2 (n + j)! cos 60◦ 2j ≥ cos 60◦ 2 = √3 2 , j = 1, 2, ..., n − 1. It may be obtained: sin 360◦ 2n · 3 < √3 2 · 1 2n−1 · 2 √3 n−1 = √3 2 · 1 √3 n−1 .

2 (4). By (3), it is easy to see that 360° 00,并且limf(x)=a,那么必有a>0

2 (4). By (3), it is easy to see that 0 0 :Æ lim x→x− 0 f(x) = a >?*$ a > 0.

3 6、证明: (1)f(x)=a台→,imf()=,im、f(x)=a (2)imf(x)=a←÷limf(x)=limf(x)=a 7、证明:函数极限的惟一性、局部保号性与局部保序性。 8、下列运算有无错误?错在何处? 0 sIn (1) sIn lim r lim 9、设m,n∈N+,求下列极限 (1)Iim (1+ma)"-(1+na) (x+t) (x∈R); (4)lim sin 2r- sin 3x cos(a +h)-cos (7)lim √+x2+x)-(①1+x2-x)n (9)lim(1-r)tan- (10) lin e cos T (11) lim sin 5a-sin 3r 12)lim cos- cos 3.x SIn 2a (13)lim1-2x; (14)lim(1+ (15)lir (16)imn(cos=)(a≠0) cos(n arccos (n为奇数); (18)lim (cos vn+I-cos V (19) lim cos =cos (20) lim sin(x√n2+1) (21)lim(sin z) (22)lim sin -+cos +In 10、设{a,b是一个有限闭区间,如果vro∈[a,b,limf(x)存在且有限,证明:f(x)在[,b 上有界 11、设∫:(a,b)→R是无界函数,证明:存在数列{xn}c(a,b),使得limf(xn)=∞ 12、设f:园,+∞)→B,证明:、f(如)存在且有限台→v>0,3M>0使得Vx,z2>M 恒有|f(x1)-f(x2川<E

3 6  (1) limx→∞ f(x) = a ⇐⇒ lim x→+∞ f(x) = lim x→−∞ f(x) = a ; (2) limx→x0 f(x) = a ⇐⇒ lim x→x+ 0 f(x) = lim x→x− 0 f(x) = a. 7  @A;A;; 0, ∃M > 0 MF ∀x1, x2 > M, G$ |f(x1) − f(x2)| < ε

13、设∫:{a,+∞)→R是单调增函数,证明下面三个命题是等价的 (1)limf(xn)存在且有限;(2){f(m)}是收敛数列;(③3)∫在[a,+∞)上有上界 14、利用无穷小的等价代换求下列极限: Cos 1+sin22-l ar tan r (4)l-mo sin(2r) (5)lim (i+tan E-1(V1+1-1 (1 os a)tan I (1 15、设fg:ACR→R是两个函数,且vx∈A,f(x)>0,则称形如f(x)(x)的函数为幂指函 数。若limf(x)=1,img(x)=∞,则极限limf(x)()属于1型不定式。对于这类不定式,一般利 用等式f(x)9(x)=e()mf()转化为讨论0·∞型不定式img(x)lnf(x)的极限问题 (1)设g1(x)~g2(x)证明:若imf(x)%()存在,则imf(x)91(x)=limf(x)92(x) (2)假定 lim In a=lnxo,即对数函数y=mnx是连续的(见有关章节),证明:若limf(x) a>0, lim g(r)=b, Du lim f(r) 9i(a)=ab (3)求下列极限:im(1+sinr)x 16、证明:函数f在x0点连续←→在x既左连续又右连续。 17、两个在xo处不连续函数之和在xo是否一定不连续?若其中一个在xo处连续,一个在 处不连续,则它们的和在x0处是否一定不连续? 18、证明:若∫连续,则|升也连续。逆命题成立吗 19、证明:若连续函数在有理点上函数值为零,则此函数恒为零。 20、若函数∫在叵连续,恒正,按照定义证明在叵可连续。 21、若∫和g都在叵a可连续。试证明:max{f(x),g(x)}以及min{f(x),9()}都在[a,b连续。 22、若∫是连续的。证明:对于任何c>0,函数 若f(x) (x)={f(x,若|f(x)≤ C,若f(x)>c 23、若∫在[a,b连续,a0,使得Ⅵx,y∈(-∞,+∞)恒有 f(x)-f(y)≤M|x-列证明:∫在(-∞,+∞)上一致连续

4 13 " f : [a, +∞) → R !HN2OPA3!IJ (1) lim x→+∞ f(xn) 8#Æ$ 2 (2) {f(n)} !0./2 (3)f # [a, +∞) L$LE# 14 K*EQRIJLMG2/  (1) limx→0 1 − cos x sin2 x ; (2) limx→1 5x2 − 2(1 − cos2 x) 3x2 + 4 tan2 x ; (3) limx→0 1 + sin2 x − 1 x tan x ; (4) limx→0 tan(tan x) sin (2x) ; (5) limx→0 ( √3 1 + tan x − 1)(√1 + x2 − 1) tan x − sin x ; (6) lim x→0− (1 − √ n cos x) tan x (1 − cos x)3/2 . 15 " f,g : A ⊂ R → R !NAÆ ∀x ∈ A, f(x) > 0, :OSK f(x)g(x) H TU V #6 lim f(x)=1, lim g(x) = ∞, : lim f(x)g(x) W1 1∞XYZ #P1[Q-$\RK *I\ f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) ]SH^T 0 · ∞ _-$\ lim g(x) ln f(x)  &U  1 " g1(x) ∼ g2(x). 6 lim f(x)g1(x) 8#: lim f(x)g1(x) = lim f(x)g2(x) ;  2 V$ limx→x0 ln x = ln x0 WP y = ln x ! $X`Y6 limx→x0 f(x) = a > 0, limx→x0 g(x) = b, : lim f(x)g1(x) = ab;  3 G2/  limx→0 (1 + sin x) 1 x ; limx→∞(cos 1 x ) x2 . 16  f # x0  ⇐⇒ # x0 Za bc # 17 NA# x0 @- d[# x0 !($- Æ6e'A# x0 @ A# x0 @- :fg[# x0 @!($- Æ 18 6 f  : |f| h #i3\]^Æ 19 6 #$_ LjH`:aGH`# 20 6 f # [a, b]  G4bk$% 1 f # [a, b]  # 21 6 f [ g 7# [a, b]  #) max{f(x), g(x)} lc min{f(x), g(x)} 7# [a, b]  # 22 6 f ! #P1 c > 0  F(x) =    −c, 6 f(x) c ! # 23 6 f # [a, b]   a 0, MF ∀x, y ∈ (−∞, +∞) G$ |f(x) − f(y)| ≤ M|x − y|.  f # (−∞, +∞) Ln #

5 25、证明:函数f:I→R在0∈I处连续←→Vxn∈I,xn→mo(n→0),有limf(xn)=f(xo) 26、设函数∫:I→R在x∈Ⅰ连续,且f(xo)>0。证明:存在xo的一个邻域,在该邻域内 f(x)≥q>0 27、讨论下列函数的连续性,并画出图形 (1)f(x)= (2)f(x) 4 sIn (3)f()=,x≠0 (4)f(x)={] 28、讨论下列函数在指定点处的连续性。若是间断点,说明它的类型 sIn x0,q,p为互质的整数 1 n丌x,x为有理数 x,|x|≤1, (5)f(x) (6)f(x) 0,x为无理数 x|≥ 其中(3)所表示的函数叫黎曼( Riemann)函数 30、试确定常数,使下列函数在x=0处连续: arctan 0, (1)f(x) (2)f(x) 0; 个+x-1,x≠0 0 (3)f(x)= (4)f(x) 1 (5)f()=(1+x),x≠0 ≠0, (6)f(x)

5 25  f : I → R # x0 ∈ I @ ⇐⇒ ∀xn ∈ I,xn → x0(n → ∞), $ limn→∞ f(xn) = f(x0). 26 " f : I → R # x0 ∈ I  Æ f(x0) > 0 #8# x0 A9=#e9= f(x) ≥ q > 0 # 27 ^T2/ A:f1oS# (1) f(x) =    x2 − 4 x − 2 , x = 2, 4, x = 2; (2) f(x) =    | sin x x |, x = 0, 1, x = 0; (3) f(x) =    sin x |x| , x = 0, 1, x = 0; (4) f(x)=[x]. 28 ^T2/#p$ @ A#6!Cg qfQ_ (1) f(x) =    x sin 1 x , x 0, q, pHhrs), 0, xHE_; (4) f(x) =    cos πx 2 , x ≤ 1, |x − 1|, x> 1; (5) f(x) =    sin πx, xH$_, 0, xHE_; (6) f(x) =    x, |x| ≤ 1, 1, |x| ≥ 1. e' 3 tiujkl Riemann U 30 )5$mM2/# x = 0 @  (1) f(x) =    a + x, x ≤ 0, sin x, x > 0; (2) f(x) =    arctan 1 x , x< 0, a + √x, x ≥ 0; (3) f(x) =    √1 + x − 1 √3 1 + x − 1 , x = 0, c, x = 0; (4) f(x) =    sin x · sin 1 x , x = 0, c, x = 0; (5) f(x) =    (1 + x) 1 x , x = 0, c, x = 0; (6) f(x) =    tan x x , x = 0, c, x = 0

6 31、证明下列各题 (1)方程x2x=1在(0,1)内至少有一个根 (2)方程x5-3x-1=0在(1,2.7)内至少有一个根 (3)设∫∈C{a,b,若f在{a,b上恒不为零,则f在[a,b上恒为正(或负 (4)方程sinx+x+1=0在[一,]内至少有一个根; (5)方程anx+an1-1xn-1+…+a1x+a0=0在至少有一个根,其中n是奇数、a;∈ 0,1,2,…,n)为常数,且an≠0 (6)方程 an cos n t+an-1cos(n-1)x+…+a1cosx+ao=0在(0,2x)内至少有2n个根,其 中a0,a1,…,an-1,an满足|anl>|ao+la1|+…+{an-1.(提示:考虑点xnk k=0,…2n) 32、设函数f:R→R满足可加性,即对任何x1,x2∈R,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2),并且∫在 0处连续,证明:f在R上连续 33、设∫∈C{a,+∞),并且limf(x)存在且有限,证明:f在[a+∞)上有界。 34、设∫∈C(a,b),并且f(a+0)与f(b-0)存在(包括有无穷极限)且异号,证明:在(ab) 内至少存在一点ξ,使f()=0 35、设f∈Cn,并且vz∈四al,y∈a使f)=2(x).证明:存在∈a,l使f()=0 36、设f∈{a,b,{xn}cCa,b是任一数列。若limf(xn)=A∈R,证明方程f(x)=A在 b内必有一个根 37、设∫∈C(-∞,+∞),并且∫是奇函数,证明方程f(x)=0至少有一个根。若是∫严格单 调的,则x=0是它的惟一根。 38、用一致连续定义验证: (1)f(x)=v在0,1上是一致连续的 (2)f(x)=sinx在(-∞,+∞)上是一致连续的 (3)f(x)=six2在(-∞,+∞)上是不一致连续的 39、举出符合下列要求的f: (1)f(+0)=0,f(-0)=1 (2)f(+0)不存在,也非∞,f(-0)=0 (3)imf(x)=0,limf(x)不存在 (4)imf(x)=lif(x)=A(常数 (5)f(xo+0)和f(xo-0)都不存在; (6)f(xo+0)=+∞,f(x0-0)=-∞ (7)f(xo+0)=1,f(x0-0)=+∞; (8)limf(x)不存在,也非∞,limf(x)=-∞. 40、(1)证明:单调有界函数存在左右极限; (2)证明:单调有界函数的一切不连续点都为第一类不连续点

6 31 2/n  1 o& x2x = 1 # (0, 1) vw$Ap2  2 o& x5 − 3x − 1=0 # (1, 2.7) vw$Ap2  3 " f ∈ C[a, b] 6 f # [a, b] LG-H`: f # [a, b] LGH4qr2  4 o& sin x + x +1=0 # [−π 2 , π 2 ] vw$Ap2  5 o& anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0 #vw$Ape' n !I aj ∈ R(j = 0, 1, 2, ..., n) HmÆ an = 0 #  6 o& an cos nx + an−1 cos (n − 1)x + ··· + a1 cos x + a0 = 0 # (0, 2π) vw$ 2n Ape ' a0, a1, ··· , an−1, an dm |an| > |a0| + |a1| + ··· + |an−1| #xust xnk = kπ n , k = 0, ..., 2n). 32 " f : R → R dm'uAWP x1, x2 ∈ R, f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) :Æ f # x = 0 @  f # R L # 33 " f ∈ C[a, +∞) :Æ lim x→+∞ f(x) 8#Æ$  f # [a, +∞) L$E# 34 " f ∈ C(a, b) :Æ f(a + 0) ; f(b − 0) 8#vw$EQ Æy># (a, b) vw8# ξ, M f(ξ)=0. 35 " f ∈ C[a, b] :Æ ∀x ∈ [a, b], ∃y ∈ [a, b], M f(y) = 1 2 |f(x)| #8# ξ ∈ [a, b] M f(ξ)=0. 36 " f ∈ [a, b], {xn} ⊂ C[a, b] !/#6 limn→∞ f(xn) = A ∈ R o& f(x) = A # [a, b] *$Ap# 37 " f ∈ C(−∞, +∞) :Æ f !Io& f(x)=0 vw$Ap#6! f zx H: x = 0 !f@p# 38 *n $%{ (1) f(x) = √3 x # [0, 1] L!n 2 (2) f(x) = sin x # (−∞, +∞) L!n 2 (3) f(x) = sin x2 # (−∞, +∞) L!-n # 39 31yz2/8G f: (1) f(+0) = 0, f(−0) = 1; (2) f(+0) -8# h{ ∞,f(−0) = 0; (3) lim x→+∞ f(x) = 0, lim x→−∞ f(x) -8#2 (4) lim x→+∞ f(x) = lim x→−∞ f(x) = Am2 (5) f(x0 + 0) [ f(x0 − 0) 7-8#2 (6) f(x0 + 0) = +∞, f(x0 − 0) = −∞; (7) f(x0 + 0) = 1, f(x0 − 0) = +∞; (8) lim x→+∞ f(x) -8#h{ ∞, lim x→−∞ f(x) = −∞. 40  1 H$E8#ac 2  2 H$E|- 7HQ- #

41、证明:limf(x)存。?定限的充分必存条件是:对任意给定ε>0,存。X>0,当 x,x">X列,恒定|f(x)-f(x"川0,存。6>0,当|x-ol 6,|x”-ro0)是否一致连续? 49、件∫。(a,b)内定定义,并?对(ab)内任何x,存。x的某个邻域Ox,换得f。Ox 定界。问∫。(a,b)是否定界?按件将(a,b)改调叵a,列,利何? 50、证明:(a,b)代的一致连续函数必定界 51、按照定义证明:两个一致连续函数的和仍一致连续。按问:两个一致连续函数的积利何?

7 41  lim x→+∞ f(x) 8#Æ$ *896!P}0$ ε > 0 8# X > 0, , x , x > X /G$ |f(x ) − f(x)| 0 8# δ > 0, , 0 0 8# δ > 0, , |x − x0| 0) !(n Æ 49 6 f # (a, b) $$%:ÆP (a, b)  x 8# x <A9= Ox MF f # Ox  $E#& f # (a, b) !($EÆb6} (a, b) ~H [a, b] KÆ 50  (a, b) Ln *$E# 51 bk$%NAn [n #b&NAn KÆ