第十八章极值与条件极值 81极值与最小二乘法 1.下列函数的极大值点和极小值点 (1)f(x,y)=(x-y+1)2; (2)f(x,y)=3axy-x3-y3(a>0) (3)f(x,y) (a,b>0 (4)f(x,y)=e2r(x+y2+2y); (5)f(x,y)=sinx+cosy+cos(x-y)(0≤x,y≤2) (6)f(x,y)=(√x2+y2-1)2 2.已知y=ax2+bx+c,观测得一组数据(x;,yi)i=1,2,,n,利用最小 二乘法,求系数ab,c所满足的三元一次方程组 3.已知平面上有n个点的坐标分别是 A1(x1,y1),A2(x2,v),…,An(xn,y) 试求一点,使它与这n个点距离的平方和最小 4.求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值 (1)f(x,y) y2,D={(x,y)|x2+y2≤4} (2)f(x,y)=x2-y+y2,D={(x,y)r|+例≤1}; (3)f(x,y,2)=(ax+by+c)e-(2+y+2),a2+b2+2>0,D=R 5.求证
第十八章 极值与条件极值 §1 极值与最小二乘法 1．下列函数的极大值点和极小值点： (1) f(x, y) = (x − y + 1)2 ; (2) f(x, y) = 3axy − x 3 − y 3 (a > 0); (3) f(x, y) = xyq 1 − x2 a 2 − y 2 b 2 (a, b > 0); (4) f(x, y) = e 2x (x + y 2 + 2y); (5) f(x, y) = sin x + cos y + cos(x − y)(0 ≤ x, y ≤ π 2 ); (6) f(x, y) = (p x 2 + y 2 − 1)2 . 2．已知y = ax2 + bx + c,观测得一组数据(xi , yi),i=1,2,. . . ,n，利用最小 二乘法，求系数a,b,c所满足的三元一次方程组. 3．已知平面上有n个点的坐标分别是 A1(x1, y1), A2(x2, y2), . . . , An(xn, yn) 试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小. 4．求下列函数在指定范围D内的最大值和最小值： (1) f(x, y) = x 2 − y 2 , D = {(x, y)|x 2 + y 2 ≤ 4}; (2) f(x, y) = x 2 − xy + y 2 , D = {(x, y)||x| + |y| ≤ 1}; (3) f(x, y, z) = (ax + by + cz)e −(x 2+y 2+z 2 ) , a2 + b 2 + c 2 > 0, D = R3 . 5．求证： 1
(1)f(x,y)=Ax2+2By+Cy2+2Dx+2Ey+F在R2有最小值,无最大 值,其中A>0,B2<AC; (2)f(x,y)=my+1+1在0<x,y<+∞有最小值,无最大值 6.设F(x,y,2)有二阶连续偏导数,并且 F(x0,30,20)=0,Fx(xo,30,20)≠0 讨论由F(x,y,x)=0确定的隐函数z=f(x,y)在(x0,y)去的极值的必要和充 分条件求由 +2y-4z-10=0 所确定的z=f(x,y)的极值 7.求下列隐函数的极大值和极小值: (1)(x+y)2+(y+2)2+(x2+x)2 (2)2+xy-x2-xy2-9=0. 8.在已知周长为2的一切三角形中,求出面积最大的三角形 9.有一块铁片,宽b=24cm,要把它的两边折起做成一个 槽,使得容积最大,求每边的倾角α和折起的宽度x(见下图). 24cm §2条件极值与拉格朗日乘数法 1.求下列函数在所给条件下的极值:
(1) f(x, y) = Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F在R2有最小值，无最大 值，其中A > 0, B2 < AC; (2) f(x, y) = xy + 1 x + 1 y在0 < x, y < +∞有最小值，无最大值. 6．设F(x, y, z)有二阶连续偏导数，并且 F(x0, y0, z0) = 0, Fx(x0, y0, z0) 6= 0. 讨论由F(x, y, z) = 0确定的隐函数z = f(x, y)在(x0, y0)去的极值的必要和充 分条件.求由 x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 4z − 10 = 0 所确定的z = f(x, y)的极值. 7．求下列隐函数的极大值和极小值： (1) (x + y) 2 + (y + z) 2 + (z + x) 2 = 3； (2) z 2 + xyz − x 2 − xy2 − 9 = 0. 8．在已知周长为2p的一切三角形中，求出面积最大的三角形. 9． 有 一 块 铁 片 ， 宽b =24cm， 要 把 它 的 两 边 折 起 做 成 一 个 槽 ， 使 得 容 积 最 大 ， 求 每 边 的 倾 角α和 折 起 的 宽 度x(见 下 图). §2 条件极值与拉格朗日乘数法 1. 求下列函数在所给条件下的极值： 2
(1)f=x+y,若x2+y2=1; (2)f=x2+y2,若x+y-1=0 3)f=x-2y+2z,若x2+y2+z2 (4)∫=1+l,若x+y=2 (5)f=xyz,若x2+y2+2=1,x+y+z=0; (6)f=az2+by2+hay, ti22+y2=1; (7)f=x2+y2+2,若(x2+y2+2)2=a2n2+b2y2+c2,lx+my+nz=0. 2.求f=xmy2在条件x+y+z=a,a>0,m>0,n>0,p> 0,x>0,y>0,2>0之下的最大值 3.求函数z=(x2+y)在条件x+y=1(>0,n≥1)之下的极值,并 证明:当a≥0,b≥0,n≥1时 a+b 、Q 2 4.求表面积一定而体积最大的长方体 5.求体积一定而表面积最小的长方体 6.求圆的外切三角形中面积最小者 7.长为a的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆。这两 段的长各为多少时,它们所围正方形面积和圆面积之和最小 8.求原点到二平面a1x+b1y+c1z+d1=0,a2x+b2y+c2+d2=0的 交线的最短距离。 9.求抛物线y=x2和直线x-y=1间的最短距离 10.求x>0,y>0,z>0时函数f(x,y,2)=lnx+2lny+3lmz在球 3
(1) f = x + y，若x 2 + y 2 = 1； (2) f = x 2 + y 2，若x + y − 1 = 0； (3) f = x − 2y + 2z，若x 2 + y 2 + z 2 = 1； (4) f = 1 x + 1 y，若x + y = 2； (5) f = xyz，若x 2 + y 2 + z 2 = 1，x + y + z = 0； (6) f = ax2 + by2 + 2hxy，若x 2 + y 2 = 1； (7) f = x 2+y 2+z 2，若(x 2+y 2+z 2 ) 2 = a 2x 2+b 2 y 2+c 2 z 2，lx+my+nz = 0. 2．求f = x my n z p在条件x + y + z = a，a > 0，m > 0，n > 0，p > 0，x > 0, y > 0, z > 0之下的最大值. 3．求函数z = 1 2 (x n + y n )在条件x + y = l(l > 0, n ≥ 1)之下的极值，并 证明：当a ≥ 0, b ≥ 0, n ≥ 1时 µ a + b 2 ¶n ≤ a n + b 2 n . 4．求表面积一定而体积最大的长方体. 5．求体积一定而表面积最小的长方体. 6．求圆的外切三角形中面积最小者. 7．长为a的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆。这两 段的长各为多少时，它们所围正方形面积和圆面积之和最小. 8．求原点到二平面a1x + b1y + c1z + d1 = 0，a2x + b2y + c2z + d2 = 0的 交线的最短距离。 9．求抛物线y = x 2和直线x − y = 1间的最短距离. 10．求x > 0, y > 0, z > 0时函数f(x, y, z) = ln x + 2 ln y + 3 ln z在球 3
面x2+y2+2=6r2上的极大值,证明a,b,c为正实数时 ab2c3≤108(a+b+c)6 6 11.设函数f(x,y,u,u),F(x,y,u,u),G(x,y,,u)二阶可微,雅克比矩 Fr Fy Fu Fv Gr Gy gu gu 秩为2.令 L(, y, u, u)=f(r, y, u, u)+A1F(a, y, u, u)+A2G(a, y, u,v) 若P(xo,yo,o,vo)是函数L的稳定点,证明:当d2L(P)>(<)0时,P是函 数f在约束条件 )=0G(x,y,u,t) 下的条件极小(大)值点
面x 2 + y 2 + z 2 = 6r 2上的极大值, 证明a, b, c为正实数时， ab2 c 3 ≤ 108 µ a + b + c 6 ¶6 . 11．设函数f(x, y, u, v)，F(x, y, u, v)，G(x, y, u, v)二阶可微，雅克比矩 阵 Fx Fy Fu Fv Gx Gy Gu Gv 秩为2. 令 L(x, y, u, v) = f(x, y, u, v) + λ1F(x, y, u, v) + λ2G(x, y, u, v) 若P0(x0, y0, u0, v0)是函数L的稳定点，证明：当d 2L(P0) > (<)0时，P0是函 数f在约束条件 F(x, y, u, v) = 0G(x, y, u, v) = 0 下的条件极小（大）值点. 4