第八章函数 §1泰勒公式 1.写出下列函数在x=0的带佩亚诺余项的泰勒展开式 COs (3)ln(1-x); (6) sina x-1 (8)lm 2.写出下列函数在x=0的泰勒公式至所指的阶数: (1)esx,(x3); (2)In cos c, (a 6) (3)nx 3.求下列函数在x=1的泰勒展开式 (1)In T: (2)a2;
第八章 函数 §1 泰勒公式 1. 写出下列函数在x = 0的带佩亚诺余项的泰勒展开式： (1) e 2x； (2) cos x 2； (3) ln(1 − x)； (4) 1 (1+x) 2； (5) x 3+2x+1 x−1 ； (6) sin3 x； (7) x 2x2+x−1； (8) ln 1+x 1−2x； 2．写出下列函数在x = 0的泰勒公式至所指的阶数： (1) e sin x ,(x 3 )； (2) ln cos x,(x 6 )； (3) x sin x ,(x 4 )； (4) x 2 √ 1−x+x2 ,(x 4 )； 3．求下列函数在x = 1的泰勒展开式： (1) ln x； (2) a x； 1
(3)P(x)=x3-2x2+3x+5; 4.确定常数a,b,使x→0时 (1)f(x)=(a+ bcos x)sinx-x为x的5阶无穷小; (2)f(x)=e2-Hm为的3阶无穷小 5.利用泰勒公式求极限: (1)im(-3n) (2)1im(sm22) 3)lim(m+)hn(1+1) (5)lim(r3+3x-√x2-2); 6.设f(x)在原点的邻域二次可导,且 ∫(x (1)f(0),f(0),f"(0) lm(+2= 7.设f(x)在实轴上任意次可导,令F(x)=f(x2),求证: F(2n+1)(0)=0, F(2n)(0)f(n)(0) 8.设P(x)为n次多项式, (1)P(a),P(a),…,P(na)皆为正数,证明P(x)在(a,+∞)上无根 (2)P(a),P(a),…,P()(a)正负号相间,证明P(x)在(-∞,a)上无根
(3) P(x) = x 3 − 2x 2 + 3x + 5； 4．确定常数a, b，使x → 0时， (1) f(x) = (a + b cos x) sin x − x为x的5阶无穷小； (2) f(x) = e x − 1+ax 1+bx为x的3阶无穷小； 5．利用泰勒公式求极限： (1) limx→∞ ¡ 1 x − 1 sin x ¢； (2) limx→∞ ³ e x 3 −1−x 3 sin6 2x ´ ； (3) limn→∞ ¡ n + 1 2 ¢ ln ¡ 1 + 1 n ¢； (4) limx→∞ 1−cos(sin x) 2 ln(1+x2) ； (5) limx→∞ ( √3 x 3 + 3x − √ x 2 − 2x)； 6．设f(x)在原点的邻域二次可导，且 limx→∞ µ sin 3x x 3 + f(x) x 2 ¶ = 0 (1) f(0), f0 (0), f00(0)； (2) lim x→0 ³ 1 x2 + f(x) x2 ´ ； 7．设f(x)在实轴上任意次可导，令F(x) = f(x 2 )，求证： F (2n+1)(0) = 0, F (2n) (0) (2n)! = f (n) (0) n! . 8．设P(x)为一n次多项式， (1) P(a), P0 (a), · · · , P(n) (a)皆为正数，证明P(x)在(a, +∞)上无根； (2) P(a), P0 (a), · · · , P(n) (a)正负号相间，证明P(x)在(−∞, a)上无根； 2
9.求证 (1)e=1+1++…+am(0<B<1) (2)e是无理数 10.设f(x)在{a,b上有二阶导数,且fa)=f(b)=0,则存在c∈ (a,b),使 ro)≥b-ayU0-fo 11.设f(x)在a点附近二次可导,且f"(a)≠0,由微分中值定理: f(a+h)-f(a)=f(a+h)h,0<0<1 求证:lim= 12.证明:若函数f(x)在区间a,b上恒有”(x)≥0,则在[a,1内任意 两点x1,x2,都有 f(x1)+f(x2) ≥f( 2微积分在几何与物理中的应用 1,求下列各曲线所围成的图形面积 (1)y2=4(x+1),y2=4(1-x); nx,y=0(0.1≤x≤10) (3)y=xy=x+sin2x(0≤x≤m) (5)y 3
9．求证： (1) e = 1 + 1 + 1 2! + · · · 1 n! + e θ (n+1)!(0 4 (b − a) 2 |f(b) − f(a)|. 11．设f(x)在a点附近二次可导，且f 00(a) 6= 0，由微分中值定理： f(a + h) − f(a) = f 0 (a + θh)h, 0 < θ < 1 求证：lim h→0 θ = 1 2 12．证明：若函数f(x)在区间[a, b]上恒有f 00(x) ≥ 0，则在[a, b]内任意 两点x1, x2，都有 f(x1) + f(x2) 2 ≥ f( x1 + x2 2 ). §2 微积分在几何与物理中的应用 1，求下列各曲线所围成的图形面积： (1) y 2 = 4(x + 1), y2 = 4(1 − x); (2) y = | ln x|, y = 0 (0.1 6 x 6 10); (3) y = x y = x + sin2 x (0 6 x 6 π); (4) y 2 = 2x, x = 5; (5) y = x 2 , y = x + 5; (6) x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 . 3
2.求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积: (1)双纽线n2=a2cos2 (2)三叶玫瑰线r2=asin3y; (3)蚌线r=acos6+b. 3.求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积 (1)x=2t-t2,y=22-t3; (2)摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤x≤2丌)及x轴; (3)圆的渐开线x=a(cost+ t sin t),y=a(int- t cos t),(0≤x≤2m)及 半直线x=a(y≤0),其中a>0 4.直线y=x把椭圆x2+3y2=6y的面积分成两部分A(小的 块和B(的一块),求告之值 5,求r=3cos6和r=1+cos6所围的公共部分的面积 6,求下列旋转体的体积: 椭圆三+=1绕x轴 (2)y=sinx,y=0(0≤x≤丌) ()绕x轴,(i绕y轴; 3)旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(0≤x≤2m),y=0 (绕x轴,(i)绕y轴,(i)绕直线y=2 (4双曲线-=1与直线y=±h所围的图形绕r轴旋转, 7.求由下列各曲面所围成的几何体的体积
2．求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积： (1) 双纽线r 2 = a 2 cos 2ϕ; (2) 三叶玫瑰线r 2 = a sin 3ϕ; (3) 蚌线r = a cos θ + b. 3．求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积： (1) x = 2t − t 2 , y = 2t 2 − t 3 ; (2) 摆线x = a(t − sin t), y = a(1 − cost)(0 6 x 6 2π) 及x 轴； (3) 圆的渐开线x = a(cost + tsin t), y = a(sin t − t cost),(0 6 x 6 2π) 及 半直线x = a(y 6 0) ，其中a > 0． 4．直线y = x 把椭圆x 2 + 3y 2 = 6y 的面积分成两部分A(小的一 块)和B(的一块)，求A B 之值． 5，求r = 3 cos θ 和r = 1 + cos θ所围的公共部分的面积． 6，求下列旋转体的体积： 椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 绕x 轴； (2) y = sin x, y = 0(0 6 x 6 π) (i)绕x 轴，(ii)绕y 轴； (3) 旋轮线x = a(t − sin t), y = a(1 − cost)(0 6 x 6 2π), y = 0 (i)绕x 轴，(ii)绕y 轴，(iii)绕直线y = 2a ; (4) 双曲线y 2 b 2 − x 2 a 2 = 1 与直线y = ±h 所围的图形绕x 轴旋转， 7．求由下列各曲面所围成的几何体的体积： 4
(1)求截锥体的体积,其上,下底皆为椭圆,椭圆的轴长分别等 于A,B和a,b,而高为h; (2)正圆台:其上下底分别是半径为a、b的圆,而其间的距离为h 8.已知球半径为R,试求高为h的球冠体积(h≤R) 9.求下列曲线的弧长 (1)y=x2,0≤x≤1 (2)y=e,1≤x≤2; (3)√x+√=1 (4)星形线x=a(1+cos0),0≤≤2r,a>0 (5)圆的渐开线x=a(cost+ t sin t),y=a(sint- t cos t),a>0,0≤t≤2r; (6)r=asn3g(a>0) (7)心脏线r=a(1+cos0),0≤6≤2r,a>0. 10.求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径: (1)xy=4在点(2); (2)y=lmx在点(10) 求下列曲线的曲率与曲率半径 (1)抛物线y2=2px (2)双曲线-=1 (3)星形线x3+y3=a
(1)求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等 于A，B和a，b，而高为h； (2)正圆台：其上下底分别是半径为a、b的圆，而其间的距离为h． 8．已知球半径为R，试求高为h的球冠体积(h ≤ R)． 9. 求下列曲线的弧长： (1) y = x 2 , 0 6 x 6 1; (2) y = e x , 1 6 x 6 2; (3) √ x + √y = 1; (4) 星形线x = a(1 + cos θ), 0 6 θ 6 2π, a > 0; (5) 圆的渐开线x = a(cost + tsin t), y = a(sin t − t cost), a > 0, 0 6 t 6 2π; (6) r = a sin3 θ 3 (a > 0); (7) 心脏线r = a(1 + cos θ), 0 6 θ 6 2π, a > 0. 10．求下列各曲线在指定点的曲率和曲率半径： (1) xy = 4在点(22)； (2) y = ln x 在点(10)． 11．求下列曲线的曲率与曲率半径： (1) 抛物线y 2 = 2px; (2) 双曲线y 2 b 2 − x 2 a 2 = 1; (3) 星形线x 2 3 + y 2 3 = a 2 3 . 5
12.求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径: (1)旋轮线x=a(t-sint),y=a(1-cost)a>0 (2)椭圆x= a cos t,y= bsin t(a,b>0) (3)圆的渐开线x=a(cost+ t sin t),y=a(sint- t cos t) 13.求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径: (1)心脏线r=a(1+cos)(a>0) (2)双纽线r=2a2cos20(a>0) (3)对数螺线r=ae0(X>0) 14.设曲线是用极坐标方程r=r()给出,且二阶可导,证明它在点 处曲率为 K r2+2r2-r”1 15.证明抛物线y=ax2+b+c在顶点处的曲率半径为最小 16.求曲线y=2(x-1)2的最小曲率半径 17.求曲线y=e2上曲率最大的点 18.求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积: (1)y=simx,0≤x≤π绕x轴; (2)x=a(t-sint),y=a(1-cost)a>0,0≤x≤2绕直线y=2a; 3)+=1(a>b绕x轴 (4)x=acos3t,y=asin3t绕r轴 (5)r2=2a2cos2绕极轴
12．求下列参数方程给出的曲线的曲率和曲率半径： (1) 旋轮线x = a(t − sin t), y = a(1 − cost) a > 0; (2) 椭圆x = a cost, y = b sin t(a, b > 0); (3) 圆的渐开线x = a(cost + tsin t), y = a(sin t − t cost). 13．求下列以极坐标表示的曲线的曲率半径： (1) 心脏线r = a(1 + cos θ) (a > 0) ; (2) 双纽线r = 2a 2 cos 2θ (a > 0) ; (3) 对数螺线r = aeλθ (λ > 0) . 14．设曲线是用极坐标方程r = r(θ) 给出，且二阶可导，证明它在点θ 处曲率为 K = |r 2 + 2r 02 − rr00| (r 2 + r 02) 3 2 . 15．证明抛物线y = ax2 + bx + c 在顶点处的曲率半径为最小． 16．求曲线y = 2(x − 1)2 的最小曲率半径． 17．求曲线y = e x 上曲率最大的点． 18．求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积： (1) y = sin x, 0 6 x 6 π绕x 轴； (2) x = a(t − sin t), y = a(1 − cost) a > 0, 0 6 x 6 2π 绕直线y = 2a; (3) x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1(a > b) 绕x 轴； (4) x = a cos3 t, y = a sin3 t 绕x 轴； (5) r 2 = 2a 2 cos 2θ 绕极轴． 6
19.求下列曲线段的质心: (1)半径为r,弧长为号a(a≤)的均匀圆弧 (2)对数螺线r=aeA(a>0,k>0)上由点(0,a)到点(6,r)的均匀弧 段 (3)以A(0,0),B(0,1),C(2,1),D(2,0)为顶点的矩形周界,曲线 上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍 (4)x=a(t-sint),y=a(1-cost),0≤t≤2π,a>0,密度为常数 20,已知一抛物线段y=x2(-1≤x≤1),曲线段上任一点处的密度 与该点到y轴的距离成正比,x=1处密度为5,求此曲线段的质量 21.轴长10m,密度分布为p(x)=(6+0.3xkg/m,其中x为距轴的 个端点的距离,求轴的质量 2.求半球0≤2≤√R2-x2-y2的质心 23。求锥体√a2+y2≤2≤h的质心和绕z轴的转动惯量 24.求抛物体x2+y2≤z≤h的质心和绕z轴的转动惯量 3微积分方程初步 求下列微分方程的通解: (1)ay'-yIny=0 (2)y=V/= (3)3x2+5x-5y/=0 (x2+1)d 7
19．求下列曲线段的质心： (1) 半径为r ，弧长为1 2 πα(α 6 π) 的均匀圆弧； (2) 对数螺线r = aekθ(a > 0, k > 0) 上由点(0, a) 到点(θ, r) 的均匀弧 段； (3) 以A(0，0)，B(0，1)，C(2，1)，D(2，0)为顶点的矩形周界，曲线 上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍； (4) x = a(t − sin t), y = a(1 − cost), 0 6 t 6 2π, a > 0 ，密度为常数． 20，已知一抛物线段y = x 2 (−1 6 x 6 1) ，曲线段上任一点处的密度 与该点到y 轴的距离成正比，x = 1 处密度为5，求此曲线段的质量． 21．轴长10m，密度分布为ρ(x) = (6 + 0.3x)kg/m ，其中x 为距轴的一 个端点的距离，求轴的质量． 22．求半球0 6 z 6 p R2 − x 2 − y 2 的质心 23。求锥体p x 2 + y 2 6 z 6 h 的质心和绕z 轴的转动惯量． 24．求抛物体x 2 + y 2 6 z 6 h 的质心和绕z 轴的转动惯量． §3 微积分方程初步 1．求下列微分方程的通解： (1) xy0 − y ln y = 0; (2)y 0 = q1−y 2 1−x2 ; (3) 3x 2 + 5x − 5y 0 = 0; (4) xydx + (x 2 + 1)dy = 0; 7
(5)y-xy=a(y2+y); (6)(y+ 3)d r + cot cdy=0 (8) sec ydr +(ar+1)dy=0; )dy=0; (10)yIn dr +aInydy=0 求已给微分方程满足初始条件的特解: (1)出inx=yly,==ce (2)y 0: (3)计y-+xy=0,yx=0=1 3.质量为1g的质点受力作用作直线运动,这力和时间成正比,和质 点运动的速度成反比,在t=10s时,速度等于50cm/s,力为4×10-5N 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 4.镭的衰变有如下的规律:镭的衰变速度与镭所现存的量R成正 比,由经验材料断定,镭经过1600年后,只余原始量R。的一半,试求镭 的量R与时间t的函数关系
(5) y − xy0 = a(y 2 + y 0 ); (6) (y + 3)dx + cot xdy = 0; (7) dy dx = 10x+y ; (8) x sec ydx + (x + 1)dy = 0; (9) (e x+y − e x )dx + (e x+y + e y )dy = 0; (10) y ln xdx + x ln ydy = 0. 2，求已给微分方程满足初始条件的特解： (1) dy dx sin x = y ln y, y|x= π 2 = e; (2) y 0 = e 2x−y , y|x=0 = 0; (3) x 1+y dy − y 1+x dy = 0, y|x=0 = 1. 3．质量为1g的质点受力作用作直线运动，这力和时间成正比，和质 点运动的速度成反比，在t = 10s时，速度等于50cm／s，力为4×10−5N． 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? 4．镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与镭所现存的量R成正 比，由经验材料断定，镭经过1600年后，只余原始量R。的一半，试求镭 的量R与时间t的函数关系． 8