第五章隐函数定理 §3.1 Jacobi矩阵与 Jacobi行列式 这章以及下一章中,我们希望用偏导数来研究多元函数和多元向量函数 设G和Ω分别是R"和R中区域,F:G→Ω是一向量函数.要研究F,我们需要 了解F的象集 (G=DEQ 3PE G, s1.Q=F(P) 以及逆象集 F'(Q={P∈G|F(P)=c 我们先讨论F-(Q) 将F表示为 (x1,…,xn)→(1(x1…,x)…,f厂n(x1…,xn) 设Q=(q,…,q)∈9,则F-(Q)为下面方程组的解 xn=g 如果令F(x1…,xn)=f(x1…,xn)-q,…,F(x1…,xn)=fn(x1…,xn)-q0,则我 们需要解 F(x1,…,xn)=0 Fm(x12…,xn)=0 一般不能期望将方程的解都给出来.通常将F(x1…,xn)=0看作变量(x1,…,x)的 约束条件.我们希望知道在这些约束条件下哪些变量是自由的,使其余的变量由其决定,即 是否存在一组函数,例如 k+1 (1.3) 使得(x1,…,x)为方程组(12)的解当且仅当其满足(1.3),其中(x1,…,x)在一个开集 内取值 满足上面关系的函数g1(x1,…,x)…,gn-(x1…,x)称为由方程组(12)确定的
1 第五章 隐函数定理 §3.1 Jacobi 矩阵与 Jacobi 行列式 这章以及下一章中, 我们希望用偏导数来研究多元函数和多元向量函数. 设G 和 W 分别是 n R 和 m R 中区域, F : G ® W 是一向量函数. 要研究 F , 我们需要 了解 F 的象集 F(G) = {Q ÎW $PÎ G, s.t. Q = F(P)} 以及逆象集 F Q = {PÎ G F P = Q} - ( ) ( ) 1 . 我们先讨论 ( ) 1 F Q - . 将 F 表示为 ( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n x L x ® f x L x L f x L x , 设 = ( , , ) ÎW 0 0 1 m Q q L q , 则 ( ) 1 F Q - 为下面方程组的解: ï î ï í ì = = ( , , ) . ( , , ) 0 1 0 1 1 1 m n m n f x x q f x x q L LLLLLLL L （1.1） 如果令 0 1 1 0 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) , , ( , , ) ( , , ) n n m n m n m F x L x = f x L x - q L F x L x = f x L x - q , 则我 们需要解 ï î ï í ì = = ( , , ) 0 . ( , , ) 0 1 1 1 m n n F x x F x x L LLLLLLL L （1.2） 一般不能期望将方程的解都给出来. 通常将 Fi (x1 ,L, xn ) = 0 看作变量 ( , , ) 1 n x L x 的 约束条件. 我们希望知道在这些约束条件下哪些变量是自由的, 使其余的变量由其决定,即 是否存在一组函数, 例如 ( , , ) , ( , , ) 1 1 1 1 n n k k k k x g x x x g x x L LLLL L - + = = （1.3） 使得( , , ) 1 n x L x 为方程组（1.2）的解当且仅当其满足（1.3）, 其中( , , ) 1 k x L x 在一个开集 内取值. 满足上面关系的函数 ( , , ), , ( , , ) 1 1 k n k 1 k g x L x L g x L x - 称为由方程组（1.2）确定的
F(x1…,xn),…,Fm(x1,…,xn)的隐函数.虽然一般不能将这样的隐函数的解析表达式给 出,但仍然希望能够通过F1(x1…,xn)…,F(x,…,xn)的连续性、可微性、偏导数等得到 其隐函数的连续性、可微性和偏导数 设P=(x1,…,x)是方程组(1.2)的解,且F1(x1,…,xn)…,Fn(x1,…,xn)在P的 邻域上可微,则对P=(x1,…,xn),有 OF(PO) (x1-x1) F1(P0) 1 0x1 olP-PoD aFn (Po F (x -x)+ 由于我们讨论的仅是解的存在性问题,忽略高阶无穷小,则方程组可近似地化为齐次线性方 程组 aF, (PO) (x1-x1) OFI(PO) (xn-x)=0 aFM(PO) a(x-x)+…+5m(P)(xn-x)=0 齐次方程组是我们熟知的,其解空间由其系数矩阵确定.上面方程组中的系数矩阵称为 F(x1…,xn),…,Fn(x12…,xn)在P点的 Jacobi矩阵 定义:设P=(x,…,x),映射F:(x1…,xn)→((x1…,xn)…,f(x1…,xn) 在P可微,则矩阵 O(Po) G(PO) D(f1…,Jm) (P) DO 可fm(P0) an (po) 称为(f1(x1…,xn)…,fm(x12…,x)在P点的 Jacobi矩阵.如果n=m,则行列式 O(Po) a(Po ax a P 2
2 ( , , ), , ( , , ) 1 1 n m 1 n F x L x L F x L x 的隐函数. 虽然一般不能将这样的隐函数的解析表达式给 出, 但仍然希望能够通过 ( , , ), , ( , , ) 1 1 n m 1 n F x L x L F x L x 的连续性、可微性、偏导数等得到 其隐函数的连续性、可微性和偏导数. 设 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x 是方程组（1.2）的解, 且 ( , , ), , ( , , ) 1 1 n m 1 n F x L x L F x L x 在 P0 的 邻域上可微, 则对 ( , , ) 1 n P = x L x , 有 ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( , , ) 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 x x o P P x F P x x x F P F x x x x o P P x F P x x x F P F x x n n n m m m n n n n n - + - ¶ ¶ - + + ¶ ¶ = - + - ¶ ¶ - + + ¶ ¶ = L L LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L 由于我们讨论的仅是解的存在性问题, 忽略高阶无穷小, 则方程组可近似地化为齐次线性方 程组 ï ï î ï ï í ì - = ¶ ¶ - + + ¶ ¶ - = ¶ ¶ - + + ¶ ¶ ( ) 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 n n n m m n n n x x x F P x x x F P x x x F P x x x F P L LLLLLLLLLLLLLLLLLL L 齐次方程组是我们熟知的, 其解空间由其系数矩阵确定. 上面方程组中的系数矩阵称为 ( , , ), , ( , , ) 1 1 n m 1 n F x L x L F x L x 在 P0 点的 Jacobi 矩阵. 定义: 设 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x , 映射 :( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n F x L x ® f x L x L f x L x 在 P0 可微, 则矩阵 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = n m m n n m x f P x f P x f P x f P P D x x D f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 LL LL LL LL LL L L 称为( ( , , ), , ( , , )) 1 1 n m 1 n f x L x L f x L x 在 P0 点的 Jacobi 矩阵. 如果n = m, 则行列式 n n n n n n x f P x f P x f P x f P P x x f f ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , ) ( , , ) 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 LL LL LL LL LL L L
称为映射(f1(x1,…xn)…,fn(x13…,x)在P点的 Jacobi行列式 一般以 d, (Po)d (P) n(P0) DUn,J,…,f a, (Po)a(Po) a, (Po) D (P0) o,(P)可4(P) o.(B) 表示分量f,,…,f相对于自变量分量x1,x1…,x在P点的 Jacobi矩阵.以 O, (PO) 8, (Po) a4(P) 2(B)o2(P) a2(B) anx….y)= (P)a,(Po) ,(P 表示分量f,J6;…,f相对于自变量分量x,x2…,x在B0点的 jacobi行列式 利用 Jacobi矩阵,对向量函数(f1(x,…,xn)…,Jm(x1…,xn),有下面形式的 Taylor 展开 f1(x,…,x)(f1(x DOr P n)(fn(x3…,x) DO +(x-x)+…+(x-x 这里O表示一个无穷小的m阶向量 因此代替每个分量函数的偏导数,矩阵D(m)(P)可看作映射 XI )…,fmn( ) 的导函数,也记为DF(B0),其在数学的多个分支中有广泛应用 例:如果∫(x1…,xn)在P=(x,…,x)可微,则
3 称为映射( ( , , ), , ( , , )) 1 1 n n 1 n f x L x L f x L x 在 P0 点的 Jacobi 行列式. 一般以 ( ) ( ) ú ú ú ú ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ê ê ê ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = l k k k l l l k j i j i j i j i j i j i j i j i j i j j j i i i x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P P D x x x D f f f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 LL LL LL LL LL LL LL L L 表示分量 k i i i f , f , , f 1 2 L 相对于自变量分量 l j j j x , x , x 1 2 L 在 P0 点的 Jacobi 矩阵. 以 ( ) ( ) k k k k k k k k j i j i j i j i j i j i j i j i j i j j j i i i x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P x f P P x x x f f f ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 2 LL LL LL LL LL LL LL L L 表示分量 k i i i f , f , , f 1 2 L 相对于自变量分量 k j j j x , x , x 1 2 L 在 P0 点的 Jacobi 行列式. 利用 Jacobi 矩阵, 对向量函数( ( , , ), , ( , , )) 1 1 n m 1 n f x L x L f x L x , 有下面形式的 Taylor 展开 ( ( ) ( ) ), ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 2 0 2 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 n n n n n m m n n m n n o x x x x x x x x P D x x D f f f x x f x x f x x f x x + - + + - ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - - = ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ - ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç è æ L M L L L M L L M L 这里 o 表示一个无穷小的 m 阶向量. 因此代替每个分量函数的偏导数, Jacobi 矩阵 ( ) ( , , ) ( , , ) 0 1 1 P D x x D f f n m L L 可看作映射 :( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n F x L x ® f x L x L f x L x 的导函数, 也记为 ( ) DF P0 , 其在数学的多个分支中有广泛应用. 例: 如果 ( , , ) 1 n f x L x 在 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x 可微, 则
D(P)= 分(P)=y(P),0( grad(o)(Po) Jacobi矩阵就是∫的梯度向量 例:设∫(x1…,xn)在P=(x,…,x)邻域上二阶可微定义映射 :(x3g0xx,)(0….0 则其 Jacobi矩阵 a-f 就是函数∫(x1…,x)的Hess矩阵 Jacobi矩阵作为向量函数的导数,与一元函数的导数相同,也满足链法则 定理1:设F:(x1…,x)→>(y1…,yn)和G:(y,…,yn)→(21,…,)都是可微的 映射,则 Jacobi矩阵满足D(G。F)= DG o DF,或表示为 D(=1…,)D(1,…z)D(y1,…,ym D DO )D(x1,…xn) 证明:利用偏导数的链法则和矩阵乘法直接计算即可 推论:如果在定理1中n=m=r,则 Jacobi行列式满足 a(=1,…,En)(=1,…,=n)(y12…,yn) a §3.2隐函数定理 设F(x1,…,xn)=0,…,F(x1,…,xn)=0是一函数方程组,称集合S上的函数 x1=f1(x1,…,xk) fn-k(x1…,xk) 为此方程组在S上确定的隐函数.如果在S上恒有
4 grad( )( ) ( ) , , ( ) ( ) ( , , ) ( ) ( ) 0 0 1 0 0 1 0 f P x f P x f P P D x x D f Df P n n =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = = L L . Jacobi 矩阵就是 f 的梯度向量. 例: 设 ( , , ) 1 n f x L x 在 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x 邻域上二阶可微. 定义映射 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ® = n n n x f x f grad :(x , , x ) grad( f )(x , , x ) , , 1 1 L 1 L L , 则其 Jacobi 矩阵 ú ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ê ë é ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = 2 2 1 2 1 2 2 1 2 (grad) n n n x f x x f x x f x f D LL LL LL LL LL 就是函数 ( , , ) 1 n f x L x 的 Hessi 矩阵. Jacobi 矩阵作为向量函数的导数, 与一元函数的导数相同, 也满足链法则. 定理 1: 设 : ( , , ) ( , , ) 1 n 1 m F x L x ® y L y 和 :( , , ) ( , , ) 1 m 1 r G y L y ® z L z 都是可微的 映射, 则 Jacobi 矩阵满足D(G o F) = DG o DF , 或表示为 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 1 1 n m m r n r D x x D y y D y y D z z D x x D z z L L L L L L = × . 证明: 利用偏导数的链法则和矩阵乘法直接计算即可. 推论: 如果在定理 1 中n = m = r , 则 Jacobi 行列式满足 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 1 1 n n n n n n x x y y y y z z x x z z L L L L L L ¶ ¶ × ¶ ¶ = ¶ ¶ . §3.2 隐函数定理 设 F1 (x1 ,L, xn ) = 0,L,Fl (x1 ,L, xn ) = 0是一函数方程组, 称集合S 上的函数 ( , , ), , ( , , ) k 1 1 1 k n n k 1 k x f x L x L x f x L x + = = - 为此方程组在 S 上确定的隐函数. 如果在S 上恒有
F(x1…,xk,f1(x1,…,x)…fm4(x1…,x)=0 F(x12…,xk,f1(x1,…,xk),…fn4(x1…,x)=0 例:设F(x,y)=x2-y2,则其在(00)的邻域上确定无穷多个隐函数y=f(x),但如 果要求y=∫(x)连续,则F(x,y)=0在(0,0)的邻域上确定了四个隐函数;如果要求 y=f(x)可导,则在(0,0)的邻域上满足F(x,f(x)≡0的函数仅有两个 对于函数方程组,上一节中我们提出利用 Jacobi矩阵将其近似地化为齐次线性方程组 本节和下一节中我们将证明这样的想法是合理的.我们将把关于齐次线性方程组的相关结 果局部地推广到函数方程组上.我们从一个方程开始 定理1:设F(x,y)在P=(x,y)邻域上有连续偏导,且F(x0,y0)=0 (xn,)≠0,则存在>0.。>0,使得F(xy)=0在(x1-6,x+6) (y0-E,yo+E)上确定唯一的隐函数∫:(xa-0,x0+6)→>(y-E,y+E);f(x)在 (x0-6,x0+δ)上可导,并且f(x)= F(,f(x)) 如果进一步假定F(x,y)是C「的函 F(x,f(x)) 数,则y=f(x)也是C「的函数 证明:不妨设2(xy)0.由 aF(xy连续,知存在(x,)的邻域 (a,b)×(c,d)=U,使得 >0.特别的,当x∈(a,b)固定时,F(x,y)是y在 (c,d)上严格单调上升的函数任取E,使00.但F(xy-E)和F(x,y+E)对 x连续,因此存在δ,使0<6<mmn{x0-a,b-x},F(x,y-8)在(x-6,x+6)上 恒小于零,而F(x,y+E)在(x0-6,x0+δ)上恒大于零
5 ( , , , ( , , ), ( , , )) 0 . ( , , , ( , , ), ( , , )) 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = - - l k k n k k k k n k k F x x f x x f x x F x x f x x f x x L L L L LLLLLLLLLLLLLLLLLLL L L L L 例: 设 2 2 F(x, y) = x - y , 则其在(0,0) 的邻域上确定无穷多个隐函数 y = f (x); 但如 果要求 y = f (x) 连续, 则 F( x, y) = 0 在 (0,0) 的邻域上确定了四个隐函数; 如果要求 y = f (x)可导, 则在(0,0) 的邻域上满足 F( x, f ( x)) º 0的函数仅有两个. 对于函数方程组, 上一节中我们提出利用 Jacobi 矩阵将其近似地化为齐次线性方程组. 本节和下一节中我们将证明这样的想法是合理的. 我们将把关于齐次线性方程组的相关结 果局部地推广到函数方程组上. 我们从一个方程开始. 定 理 1: 设 F( x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P = x y 邻域上有连续偏导 , 且 F(x0 , y0 ) = 0 , 0 ( , ) 0 0 ¹ ¶ ¶ y F x y , 则存在 e > 0, d > 0 , 使 得 F( x, y) = 0 在 ( , ) 0 0 x - d x + d ( , ) 0 0 ´ y - e y + e 上确定唯一的隐函数 : ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x - d x + d ® y - e y + e ; f (x) 在 ( , ) 0 0 x - d x + d 上可导, 并且 ( , ( )) ( , ( )) ( ) F x f x F x f x f x y x ¢ = - . 如果进一步假定 F( x, y) 是 r C 的函 数, 则 y = f (x)也是 r C 的函数. 证 明 : 不妨设 0 ( , ) 0 0 > ¶ ¶ y F x y . 由 y F x y ¶ ¶ ( , ) 连 续 , 知存在 ( , ) 0 0 x y 的邻域 (a, b) ´ (c, d) = U , 使得 0 ( , ) > ¶ ¶ y U F x y . 特别的, 当 x Î (a,b) 固定时, F( x, y) 是 y 在 (c, d ) 上严格单调上升的函数 . 任 取 e , 使 0 0 . 但 ( , ) 0 F x y - e 和 ( , ) 0 F x y + e 对 x 连续, 因此存在d , 使0 < d < min {x0 - a,b - x0 }. ( , ) 0 F x y - e 在 ( , ) 0 0 x - d x + d 上 恒小于零, 而 ( , ) 0 F x y + e 在( , ) 0 0 x - d x + d 上恒大于零
任取x∈(x0-6,x0+6),当y由y-E变到y+E时,F(x,y)由负变到正.而其对 y连续并严格单调,因此由连续函数的介值定理知,在(y-E,y+E)中存在唯一的y, 使得F(x,y)=0.记之为y=f(x).我们得到定理中的隐函数的存在唯一性 在(x0-8,x0+δ)中任取x,x+Ax,设y=f(x),y+Ay=f(x+△x).则由 F(x,y)的可微性知,存在,0<0<1,使得 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y) F(x+θAx,y+6Ay)OF(x+θMx,y+Ay) 因此 F(x+BAr, F(x+8Ax, y+eAy) 令△x→0,等式右边极限存在因此∫(x)可导,且 f(x)=-(x F 如果F(x,y)是C'的函数,r≥2,则由f(x)是C的函数,得F2(x,f(x) F(x,f(x)也是C的因而(x)=-F(x/(x) 是C的,得∫(x)是C2的函数依此 F(x,f() 类推不难得到∫(x)是C的函数 例:设y=∫(x)是定理1中F(x,y)=0确定的隐函数.设F(x,y)是C2的函数,求 f"(x) 解:由/(x)=-2(x/(x)F 利用复合函数求导得 F(x,f(x)) F
6 任取 ( , ) 0 0 x Î x - d x + d , 当 y 由 - e 0 y 变到 + e 0 y 时, F( x, y) 由负变到正. 而其对 y 连续并严格单调, 因此由连续函数的介值定理知, 在( , ) 0 0 y - e y + e 中存在唯一的 y , 使得 F( x, y) = 0 . 记之为 y = f (x). 我们得到定理中的隐函数的存在唯一性. 在 ( , ) 0 0 x - d x + d 中任取 x, x + Dx , 设 y = f (x) , y + Dy = f (x + Dx) . 则 由 F( x, y) 的可微性知, 存在q, 0 < q < 1 , 使得 . ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) y y F x x y y x x F x x y y F x x y y F x y D ¶ ¶ + D + D D + ¶ ¶ + D + D = = + D + D - q q q q 因此, . ( , ) ( , ) F x x y y F x x y y x y y x + D + D + D + D = - D D q q q q 令Dx ® 0, 等式右边极限存在, 因此 f (x) 可导, 且 ( , ( )) ( , ( )) ( ) F x f x F x f x f x y x ¢ = - . 如 果 F( x, y) 是 r C 的函数 , r ³ 2 , 则 由 f (x) 是 1 C 的函数 , 得 F (x, f (x)) x , F (x, f (x)) y 也是 1 C 的. 因而 ( , ( )) ( , ( )) ( ) F x f x F x f x f x y x ¢ = - 是 1 C 的, 得 f (x) 是 2 C 的函数. 依此 类推不难得到 f (x) 是 r C 的函数. 例: 设 y = f (x)是定理 1 中 F( x, y) = 0确定的隐函数. 设 F( x, y) 是 2 C 的函数, 求 f ¢¢(x) . 解: 由 y x y x F F F x f x F x f x f ¢ x = - = - ( , ( )) ( , ( )) ( ) , 利用复合函数求导得
f(r)=(F+F.)F,-F(Fy+Fyy (F+ F (F/F,)F, -F(F+F (F/F, ) F Fx·F,-2F,FF,+FyF 定理1的证明显然对n个变元的函数也是成立的.这里我们用几何的语言给出这个定理 个等价的表述 定理2:设D是R”中区域,F(x1…,xn)∈C(D),如果在P0=(x,…,x)∈D满 足F(x…,x)=0,而F(x,…,x2)≠0.则存在(x…,x)的邻域U1和x2的邻域 U2及唯一的C(U1)的函数∫:U1→U2,使得在P的邻域U=U1U2上F(x1…,xn) 的零点集合与xn=f(x1,…,xn)的图象相同,即 m=onU=t(x, DKx 类似于齐次线性方程组的解,对于函数方程组,我们有下面定理 定理3:设D是R”中区域,对i=1…k,F(x1…,x)∈C(D),且在 P=(x,…x0)处满足F(x…,x)=0,而 a(F1…,F) (P0)≠0.则存在(x1,…x x, 的邻域U1和(x,+12…,x)的邻域U2,使得方程组 FO )=0 F(x1…,x)=0 在P0的邻域U=U1xU2上确定唯一的一组C(U2)的隐函数 XI 使(x12…,x,) 证明:用归纳法r=1时己在定理1中证明.设定理对r-1成立 7
7 . 2 ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 y xx y xy x y yy x y xx xy x y y x xy yy x y y xx xy y x xy yy F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F y F F F F y f x × - + × = - + × - - + × - = - + × ¢ - + × ¢ ¢¢ = - 定理1的证明显然对n 个变元的函数也是成立的. 这里我们用几何的语言给出这个定理 一个等价的表述. 定理 2: 设D 是 n R 中区域, ( , , ) ( ) 1 F x1 L xn Î C D . 如果在 P = (x , , xn ) Î D 0 0 0 1 L 满 足 ( , , ) 0 0 0 F x1 L xn = , 而 ( , , ) 0 0 0 Fx x1 xn ¹ n L . 则存在( , , ) 0 1 0 1 n - x L x 的邻域U1和 0 n x 的邻域 U2及唯一的 ( ) 1 1 C U 的函数 1 2 f :U ®U , 使得在 P0 的邻域U =U1 ´U2 上 ( , , ) 1 n F x L x 的零点集合与 ( , , ) n = 1 n-1 x f x L x 的图象相同, 即 { } { } 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x ,L, xn ) F(x ,L, xn ) = 0 IU = (x ,L, xn- , f (x ,L, xn- ))(x ,L, xn- ) ÎU . 类似于齐次线性方程组的解, 对于函数方程组, 我们有下面定理 定 理 3: 设 D 是 n R 中区域 , 对 1, , , ( , , ) ( ) 1 i = L k Fi x1 L xn Î C D , 且 在 ( , , ) 0 0 0 1 n P = x L x 处满足 ( , , ) 0 0 0 Fi x1 L xn = , 而 ( ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 1 ¹ ¶ ¶ P x x F F r r L L . 则存在( , , ) 1 r x L x 的邻域U1和( , , ) r 1 n x L x + 的邻域U2 , 使得方程组 ï î ï í ì = = ( , , ) 0 . ( , , ) 0 1 1 1 r n n F x x F x x L LLLLLLL L 在 P0 的邻域U =U1 ´U2上确定唯一的一组 ( ) 2 1 C U 的隐函数 ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 r r r n r n x f x x x f x x L LLLLLLL L + + = = , 使 1 1 (x ,L, xr )ÎU . 证明: 用归纳法. r = 1时已在定理 1 中证明. 设定理对r -1成立
由x6E()≠0,不妨设(P)≠0.则由F{(x…,x,)=0可解出隐函数 x,=h( ).代入F2,…,F中 G2(x2,…,xn)=F2(h(x2…,xn)x2,…,xn) )=Fch x,) 利用隐函数的求导公式得 aG (x2,…,x)G 改 aF aF ah aF aF ch aF 而 a z ".) aFaF ax. ax 对讠=2,…,r,将上式中第一列乘一后加到第i列上,行列式不变.但注意到在第一行中, ≡0,得 a(F1,…,F)aF1a(G2,…,G) (x1,…,x,) a(F1,…,Fr) 特别的的含x“)()≠0,得2(P)≠0.利用归纳假设可由 0,…,G,(x )=0 8
8 由 ( ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 1 ¹ ¶ ¶ P x x F F r r L L , 不妨设 ( 0 ) 0 1 1 ¹ ¶ ¶ P x F . 则由 F1 (x1 ,L, xn ) = 0 可解出隐函数 ( , , ) 1 2 n x = h x L x . 代入F Fr , , 2 L 中, 令 ( , , ) ( ( , , ), , , ), ( , , ) ( ( , , ), , , ) 2 2 2 2 2 2 2 2 r n r n n n n n G x x F h x x x x G x x F h x x x x L L L LLLLLLLLLLLLLLLL L L L = = 利用隐函数的求导公式得 . ( , , ) ( , , ) 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 r r r r r r r r r r r r r r x F x h x F x F x h x F x F x h x F x F x h x F x G x G x G x G x x G G ¶ ¶ + ¶ ¶ × ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ × ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ × ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ × ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ LL LLLLL LL LLLLL LL LL LL LL LL LL L L 而 r r r r r r r r x F x F x F x F x F x F x F x F x F x x F F ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ L L L L L L L L L 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( , , ) ( , , ) , 对i = 2,L,r, 将上式中第一列乘 i x h ¶ ¶ 后加到第 i 列上, 行列式不变. 但注意到在第一行中, 由 0 1 1 1 º ¶ ¶ + ¶ ¶ × ¶ ¶ i i x F x h x F , 得 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) 2 2 1 1 1 1 r r r r x x G G x F x x F F L L L L ¶ ¶ × ¶ ¶ = ¶ ¶ . 特别的, 由 ( ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 1 1 ¹ ¶ ¶ P x x F F r r L L , 得 ( ) 0 ( , , ) ( , , ) 0 2 2 ¹ ¶ ¶ P x x G G r r L L . 利用归纳假设, 可由 G2 (x2 ,L, xn ) = 0,L,Gr (x2 ,L, xn ) = 0
在(x2,…,x)邻域上解出 x2=f2(x…,xn)…,x,=∫1(x+1…,xn) 代入x1=(x2,…,xn)中,令 x1=f(x1…,x)=H(f(x1…,xn)…,f(x1…,xn),x1,…,x), 得隐函数定理 例:设F(l1v,x,y),G(uvx,y)是点P=(unV0,x0,y0)邻域上C的函数,满足 F(lb,V0,x0,y)=0,G(ub,v0,x0,y0)=0 且cCEQ)(P)≠0.设=0x,y),y=x,y)是由F(u2x,xy)=0G(m,x,y)=0在 d(u, v) P邻域上确定的隐函数.求l2,ly,Vx," 解:将u(x,y)v(x,y)代入F和G,得恒等式 F(u(x, y),v(,y)x,y=0 G(u(x,y),v(x,y),x,y)=0 对其微分,得 (F。n2+Fv,+Fk+(。n+F,+F=0 1G,+G,,+G,+(nn,+G,”,+G,妙= 但x和y是独立变量,因此必须 Fn·l12+Fx+F2=0 Fly,+F",+F,=0 Gnu2+G,,+G2=0, G.·ul+G.·v,+G.=0. 解这两个线性方程组得 FF F FF F 例:设L是由F(x,y,z)=0和G(x,y,2)=0确定的曲线,设P∈L,F(x,yz), G(xy:)在P邻域上是C的函数且mk(a5Q()=2.证明L在邻域上是 a(x,y,二) 光滑曲线,并求L在P的切线
9 在( , , ) 0 0 2 r x L x 邻域上解出 ( , , ), , ( , , ) 2 2 r 1 n r r r 1 n x f x L x L x f x L x = + = + . 代入 ( , , ) 1 2 n x = h x L x 中, 令 ( ) r n r n r r n r n x f (x , , x ) h f (x , , x ), , f (x , , x ), x , , x 1 = 1 +1 L = 2 +1 L L +1 L +1 L , 得隐函数定理. 例: 设F(u, v, x, y), G(u, v, x, y) 是点 ( , , , ) 0 0 0 0 0 P = u v x y 邻域上 1 C 的函数, 满足 F(u0 , v0 , x0 , y0 ) = 0, G(u0 ,v0 , x0 , y0 ) = 0 且 ( ) 0 ( , ) ( , ) 0 ¹ ¶ ¶ P u v F G . 设u = u(x, y) , v = v( x, y) 是由 F(u, v, x, y) = 0, G(u,v, x, y) = 0 在 P0 邻域上确定的隐函数. 求 x y x y u ,u , v ,v . 解: 将u(x, y), v(x, y) 代入 F 和G , 得恒等式 ( ( , ), ( , ), , ) 0. ( ( , ), ( , ), , ) 0 º º G u x y v x y x y F u x y v x y x y 对其微分, 得 ( ) ( ) ( ) ( ) î í ì × + × + + × + × + = × + × + + × + × + = 0. 0 G u G v G dx G u G v G dy F u F v F dx F u F v F dy u x v x x u y v y y u x v x x u y v y y 但 x 和 y 是独立变量, 因此必须 î í ì × + × + = × + × + = î í ì × + × + = × + × + = 0. 0 0, 0 u y v y y u y v y y u x v x x u x v x x G u G v G F u F v F G u G v G F u F v F 解这两个线性方程组得 , . 1 1 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ =÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - y y u v u v y y x x u v u v x x G F G G F F v u G F G G F F v u 例: 设 L 是由 F( x, y,z) = 0 和 G( x, y,z) = 0 确定的曲线 . 设 P0 Î L , F( x, y,z) , G( x, y,z) 在 P0 邻域上是 1 C 的函数, 且 ( ) 2 ( , , ) ( , ) rank 0 =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ P x y z F G . 证明 L 在 P0 邻域上是 光滑曲线, 并求L 在 P0 的切线
证明:的xB(P)=2,不妨设(FOP)≠0.由隐函数定理, aF,G) F(x,y,z)=0,G(x,yz)=0在P邻域上确定唯一的隐函数x=x(-),y=y(),即在P 邻域上L可表示为z→(x(),y(),=),并且x(-),y(二)都是C的函数,得L在P邻域上 是光滑曲线 对F(x(=),y(二),-)=0,G(x(=),y(2),二)=0求导得 F x+Fr y+F=0 y 解得 因此L在P的切线可表为 (x-x0,y-y0,z-=)=1(x(P,y(P.1) (F,G)/p、O( FO (B) Po), a(F a, 3) d(x, y) L在P的切线也可令解为:由m/(F①(B)=2,得gad(FX)≠0,不妨 a(x,y,=) 设-(B0)≠0.因此F(x,y,-)=0局部可解出z=f(x,y).而f(x,y)是C的,因而是 可微的函数,得F(x,y,)=0定义的曲面在P有切面 OF(PO) aF(PO) F(P0) (x-x0)+ (y-yo) ay 其中 aF(P) OF(PO) OF(P) 为其法向量 o) 同理G(x,y,2)=0定义的曲面在P处有切面,而n2= G(Po)aG(P)aG(Po) 为此切面的法向量.得n1×n2与L在P点的切线同向.但
10 证 明 : 由 ( ) 2 ( , , ) ( , ) rank 0 =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ P x y z F G , 不妨设 ( ) 0 ( , ) ( , ) 0 ¹ ¶ ¶ P x y F G . 由隐函数定理 , F( x, y,z) = 0, G(x, y,z) = 0在 P0 邻域上确定唯一的隐函数 x = x(z), y = y(z) , 即在 P0 邻域上 L 可表示为 z ® ( x(z), y(z),z), 并且 x(z), y(z) 都是 1 C 的函数, 得 L 在 P0 邻域上 是光滑曲线. 对 F( x(z), y(z),z) º 0, G(x(z), y(z),z) º 0求导得 î í ì × ¢ + × ¢ + = × ¢ + × ¢+ = 0. 0 x y z x y z G x G y G F x F y F 解得 , . x y x y x z x z x y x y z y z y G G F F G G F F y G G F F G G F F x¢ = - ¢ = - 因此 L 在 P0 的切线可表为 ( , , ) ( ( ), ( ),1) 0 0 0 0 P0 x - x y - y z - z = t x¢ P y¢ 或 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ - - - = ( ) ( , ) ( , ) ( ), ( , ) ( , ) ( ), ( , ) ( , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 P0 x y F G P z x F G P y z F G x x y y z z t . L 在 P0 的切线也可令解为: 由 ( ) 2 ( , , ) ( , ) rank 0 =÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ P x y z F G , 得grad(F)(P0 ) ¹ 0 , 不妨 设 ( ) 0 0 ¹ ¶ ¶ P z F . 因此 F( x, y,z) = 0局部可解出 z = f ( x, y) . 而 f (x, y) 是 1 C 的, 因而是 可微的函数, 得F( x, y,z) = 0定义的曲面在 P0 有切面 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 - = ¶ ¶ - + ¶ ¶ - + ¶ ¶ z z z F P y y y F P x x x F P , 其中 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = z F P y F P x F P ( ) , ( ) , ( ) 0 0 0 n1 为其法向量. 同理G( x, y,z) = 0定义的曲面在 P0 处有切面, 而 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = z G P y G P x G P ( ) , ( ) , ( ) 0 0 0 n2 为此切面的法向量. 得n1 ´n2与 L 在 P0 点的切线同向. 但