第十一章广义积分 §1无穷限广义积分 1.求下列无穷积分的值 (2)/1 +∞dx (3)J (a>0); (4)Jo e-a sin bcdr(a>0); (5)mg ~+B 2.讨论下列积分的收敛性: (1)0y (2)1 +∞ r arct 2r3-dr (3)J sin _2 (4)6+0x+ (5)6xgm2d; (6)0+1 dx(n. m (7)0+0a (9)0xPe-zdx;(p≥0)
第十一章 广义积分 §1 无穷限广义积分 1．求下列无穷积分的值: (1) R +∞ 2 1 x2−1 dx; (2) R +∞ 1 dx x(1+x2) ; (3) R +∞ 0 xe−ax2 dx(a > 0); (4) R +∞ 0 e −ax sin bxdx(a > 0); (5) R +∞ 0 √ x 1+x2 dx; (6) R +∞ 0 dx (x2+p)(x2+q) (p, q > 0). 2．讨论下列积分的收敛性: (1) R +∞ 0 dx √3 x4+1 ; (2) R +∞ 1 x arctan x 1+x3 dx; (3) R +∞ 1 sin 1 x2 dx; (4) R +∞ 0 dx 1+x| sin x| ; (5) R +∞ 0 x 1+x2 sin2 x dx; (6) R +∞ 0 x m 1+xn dx(n, m > 0); (7) R +∞ 0 x 2 dx x4−x2+1 ; (8) R +∞ 1 dx x √3 1+x2 ; (9) R +∞ 0 x p e −xdx; (p ≥ 0); 1
(10)+mdx; (1)1ydr(n) (12)0+sz (13)0+dx; (14)+(1+1)-1dr; (15)J In(cos,+sin )d. (16)0l11-2)-d 3.讨论下列无穷积分的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛) (1)+cd )1 (3)J code 1)t+0m (5)St nlnz sinrdr 4.设f(x)≤h(x)≤g(x),a≤x<+∞,h(x)在任意有限区间{a,4]可 积,又f(x)d和tg()dr收敛求证h()dr收敛 5.证明定理112,并举例说明其逆是不成立的 6.若f(x)在a,+∞)上单调下降,且积分f(x)dr收敛求 证: lim af(x)=0. 7.设f(x)在间,+∞)上一致连续并且积分0f(x)d收敛证 明limf(x)=0如果仅仅知道积分(x)d收敛以及f()在{a,+∞)连
(10) R +∞ 1 ln x xp dx; (11) R +∞ 1 lnn x x2 dx(n); (12) R +∞ 0 sin2 x x dx; (13) R +∞ 0 cos ax 1+xn dx; (14) R +∞ 1 [ln(1 + 1 x ) − 1 1+x ]dx; (15) R +∞ 1 ln(cos 1 x + sin 1 x )dx; (16) R +∞ 0 1 x2 ln(1 − sin2 x 2 ) −1dx. 3．讨论下列无穷积分的收敛性(包括绝对收敛或条件收敛): (1) R +∞ 1 cos2 x x dx; (2) R +∞ 1 cos x x dx; (3) R +∞ 1 cos x xp dx; (4) R +∞ 0 √ x cos x x+100 dx; (5) R +∞ 2 ln ln x ln x sin xdx. 4．设f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), a ≤ x < +∞, h(x)在任意有限区间[a, A]可 积,又 R +∞ a f(x)dx和 R +∞ a g(x)dx收敛,求证R +∞ a h(x)dx收敛. 5．证明定理11.2,并举例说明其逆是不成立的. 6． 若f(x)在[a, +∞)上 单 调 下 降,且 积 分R +∞ a f(x)dx收 敛,求 证: lim x→+∞ xf(x) = 0. 7． 设f(x)在[0, +∞)上 一 致 连 续,并 且 积 分R +∞ 0 f(x)dx收 敛,证 明 lim x→+∞ f(x) = 0.如果仅仅知道积分R +∞ 0 f(x)dx收敛,以及f(x)在[a, +∞)连 2
续f(x)≥0,是否仍有limf(x)=0? 设Cf)dx与/+r(a)d收敛求证 f(x)=0. 9.设f(x)单调下降趋于零,f(x)在0,+∞)连续求证: 收敛 10.设f(x)和g(x)是定义在[a,+∞)上的函数且在任何 有限区间a,4上可积证明若/+f2(x)dx与/g2(x)dr收 敛则[f(x)+9(x)2dn与+f(x)(a)d也收敛 11.证明:(1)设f(x)在[,+∞)连续,且imf(x)=k,则 f(ar)-f(b If(0)-kln-(6 (2)若上述条件limf(x)=k改为/tadx存在(a>0),则 f(a)-f(b) b >a> 瑕积分 1.下列积分是否收敛?若收敛求其值 (1)J2 (2)J0 3
续,f(x) ≥ 0,是否仍有 lim x→+∞ f(x) = 0? 8．设R +∞ a f(x)dx与 R +∞ a f 0 (x)dx收敛,求证: lim x→+∞ f(x) = 0. 9．设f(x)单调下降趋于零,f 0 (x)在[0, +∞)连续.求证: Z +∞ 0 f 0 (x) sin2 xdx 收敛. 10． 设f(x)和g(x)是 定 义 在[a, +∞)上 的 函 数,且 在 任 何 有 限 区 间[a, A]上 可 积,证 明:若 R +∞ a f 2 (x)dx与 R +∞ a g 2 (x)dx收 敛,则 R +∞ a [f(x) + g(x)]2dx与 R +∞ a f(x)g(x)dx也收敛. 11．证明: (1) 设f(x)在[0, +∞)连续,且 lim x→+∞ f(x) = k,则 Z +∞ 0 f(ax) − f(bx) x dx = [f(0) − k] ln b a (b > a > 0). (2) 若上述条件 lim x→+∞ f(x) = k改为R +∞ a f(x) x dx存在(a > 0),则 Z +∞ 0 f(ax) − f(bx) x dx = f(0) ln b a (b > a > 0). §2 瑕积分 1．下列积分是否收敛?若收敛求其值. (1) R 1 2 0 cot xdx; (2) R 1 0 ln xdx : 3
(3)J )√/1=x 2.讨论下列积分的收敛性: (1)J0 (2)J0 (3)Jo rdr (4)63snt; (5)N|In alpo (6)J212dr; (7)J (9)J0 aa cos r Inin rdr 3.判别收敛性 1)/11n(1-)-1dx; (2)J (3)+∞ arctan z)=dx;
(3) R a 0 √ dx a−x ; (4) R 1 0 q x 1−x dx. 2．讨论下列积分的收敛性: (1) R 1 0 sin x x 3 2 dx; (2) R 1 0 dx √3 x2(1−x) ; (3) R 1 0 ln x 1−x2 dx; (4) R π 2 0 dx sin2 x cos2 x ; (5) R 1 0 | ln x| pdx; (6) R π 2 0 1−cos x xm dx; (7) R 1 0 dx ln x ; (8) R π 0 √ dx sin x ; (9) R 1 0 x α ln xdx; (10) R 1 0 x p−1−x q−1 ln x dx; (11) R π 2 0 √ tan xdx; (12) R π 2 0 cos x ln sin xdx. 3．判别收敛性: (1) R +∞ 1 ln(1 − 1 x2 ) −1dx; (2) R +∞ 0 x p−1 e −xdx; (3) R +∞ 0 (arctan x) q xp dx; 4
(4)J0 +∞m1dx (5)+m (6)0+0m+; (7)+x 4.讨论下列积分的收敛性与绝对收敛性 (1)Jo sin z-dar (2)0+∞dx; (3)0++dr(q≥0); (4)too sin(+eda 5.计算下列瑕积分的值 (1)Jo(n ) (2)1= 6.证明积分A=J3l(inx)dr收敛,并求其值 7.利用上题结果,证明 (1)Jo 8 In(sin e)de=2-In 2: (2)Jo Iside=2r In2; (3)J sin20In(sin 0)d0=T(2-In 2); (4)+d=3ln2
(4) R +∞ 0 ln(1+x) xp dx; (5) R +∞ 1 dx xp lnq x ; (6) R +∞ 0 dx xp+xq ; (7) R +∞ 0 dx √3 x(x−1)2(x−2) ; (8) R 0 −∞ e x ln |x|dx. 4．讨论下列积分的收敛性与绝对收敛性: (1) R +∞ 0 sin x 2dx; (2) R +∞ 0 sinp x xq dx; (3) R +∞ 0 x p sin x 1+xq dx(q ≥ 0); (4) R +∞ 0 sin(x+ 1 x ) xn dx. 5．计算下列瑕积分的值: (1) R 1 0 (ln x) ndx; (2) R 1 0 x n √ 1−x dx. 6．证明积分A = R π 2 0 ln(sin x)dx收敛,并求其值. 7．利用上题结果，证明: (1) R π 0 θ ln(sin θ)dθ = −π 2 2 ln 2; (2) R π 0 θ sin θ 1−cos θ dθ = 2π ln 2; (3) R π 2 0 sin2 θ ln(sin θ)dθ = π 4 ( 1 2 − ln 2); (4) R 1 0 ln(1+x) 1+x2 dx = π 8 ln 2. 5
8.证明不等式 (1)2(1-2)<0t∞e-dx<1+;
8．证明不等式: (1) 1 2 (1 − 1 e ) < R +∞ 0 e −x 2 dx < 1 + 1 2e ; (2) π 2 √ 2 < R 1 0 √ dx 1−x4 < π 2 . 6