第三章连续函数 §3.1连续和间断 定义∫(x)定义在(ab),x0∈(ab),若mf(x)→>f(x),则称函数f(x)在 点x连续,x0称为连续点,否则称x为间断点 函数∫(x)在x∈(a,b)连续也可用E-6语言来叙述:∫(x)定义于(a,b),x0∈(a,b) 若E>0,38>0,使得当x∈(ab)且x-x∫(xo+0)且 f(x0-0)=f(x0)=f(x0+0), 即如果∫(x)在x左右极限都存在,且等于该点函数值,称∫(x)在该点连续。 间断点可分为三类 定义(1)若函数在x0点左右极限存在且相等,但不等于该点的函数值,则称x为可 去间断点 (2)若函数在x点左右极限存在,但不相等,称x0为第一类间断点。 (3)若函数在x0点的左右极限至少有一个不存在,称x0为第二类间断点 在可去间断点x上,我们修改f(x)在x0定 义,∫(x0)=f(x-0)=f(x0+0),则它就变 成在x0连续的函数了,这就是“可去”的意思。 这不是本质间断的。另两类间断点才是本质的。 可去间断点 可去间断点
50 第 三 章 连 续 函 数 § 3.1 连续和间断 定义 f (x) 定义在 (a, b)， x0 Î (a,b), 若 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x ® ® ，则称函数 f (x) 在 点 0 x 连续， 0 x 称为连续点，否则称 0 x 为间断点。 函数 f (x) 在 ( , ) x0 Î a b 连续也可用e -d 语言来叙述：f (x) 定义于(a, b)， ( , ) x0 Î a b , 若"e > 0 ，$d > 0 , 使得当x Î (a,b) 且 x - x0 < d 时，有 ( ) - ( ) < e 0 f x f x ， 则称 f (x) 在点 0 x 连续。 等价地也可表述为 lim ( ) ( 0) 0 0 0 ® - ® - f x f x x x , lim ( ) ( 0) 0 0 0 ® + ® + f x f x x x 且 ( 0) ( ) ( 0) f x0 - = f x0 = f x0 + ， 即如果 f (x) 在 0 x 左右极限都存在，且等于该点函数值，称 f (x) 在该点连续。 间断点可分为三类 定义 （1）若函数在 0 x 点左右极限存在且相等，但不等于该点的函数值，则称 0 x 为可 去间断点。 （2）若函数在 0 x 点左右极限存在，但不相等，称 0 x 为第一类间断点。 （3）若函数在 0 x 点的左右极限至少有一个不存在，称 0 x 为第二类间断点。 在可去间断点 0 x 上，我们修改 f (x) 在 0 x 定 义， ( ) ( 0) ( 0) f x0 = f x0 - = f x0 + ，则它就变 成在 0 x 连续的函数了，这就是“可去”的意思。 这不是本质间断的。另两类间断点才是本质的。 可去间断点 可去间断点
y=sin(1/x) 第一类间断点 第二类间断点 例 x为有理数 (i) f(x) 0,x为无理数 x=0是连续点,其余都是第二类间断点。 (ⅱi) f(x) x=1是可去间断点。 x≠ 1g-,x≠0, )f(x) x=0是第一类间断点。 0.x=0 x≠ (iv) f(x)=x x=0是第二类间断点 ()m()Jx≠0,x=0是第二类间断点。 1,x为有理数, (ⅵi) Dirichlet函数D(x)= 0,x为无理数。 每一点都是第二类间断点 为有理数 (ⅶ) Riemann I函数R(x)={q 所有有理点为可去 0,x为无理数。 间断点,无理点为连续点。 定义若f(x)在区间上每一点连续(闭区间情况端点单侧连续),则称函数在区间上 连续 定理f(x)在(a,b)上单调,则f(x)只有第一类间断点。 证无妨设f(x)在(a,b)单调上升,vxo∈(a,b),当x→>x0-0时,函数值∫(x)单
51 第一类间断点 第二类间断点 例 （ⅰ） î í ì = 。 ， 为无理数 为有理数 x x x f x 0, , ( ) x = 0是连续点，其余都是第二类间断点。 （ⅱ） î í ì ¹ = = 1, 1 2, 1 ( ) x x f x x =1是可去间断点。 （ⅲ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 ( ) x x x arctg f x x = 0是第一类间断点。 （ⅳ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 ( ) x x f x x x = 0是第二类间断点。 （ⅴ） ï î ï í ì = ¹ = 0 , 0. , 0, 1 sin ( ) x x f x x x = 0是第二类间断点。 （ⅵ） Dirichlet 函数 î í ì = ， 。 ， 为无理数 为有理数 x x D x 0 1, ( ) 每一点都是第二类间断点。 （ⅶ） Riemann 函数 ï î ï í ì = = ， 。 ， 为无理数 为有理数 x q p x R x q 0 , 1 ( ) 所有有理点为可去 间断点，无理点为连续点。 定义 若 f (x) 在区间上每一点连续（闭区间情况端点单侧连续），则称函数在区间上 连续。 定理 f (x) 在(a, b)上单调，则 f (x) 只有第一类间断点。 证 无妨设 f (x) 在(a, b)单调上升， ( , ) " x0 Î a b ，当 x ® x0 - 0 时，函数值 f (x) 单 f(x ) f(x0 -0) f(x 0 +0) y=sin(1/x)
调上升,有上界∫(x0),所以极限存在,且Imf(x)=∫(xo-0)≤f(x) x→x0+0 同理Iimf(x)=f(x+0)≥f(x) 若∫(x-0)=f(x+0),x为∫(x)连续点,若∫(x0-0)0,则彐δ>0使∫(x)>0 x∈U(x,6),(湮符号性质)。 定理2设∫(x),g(x)在点x0连续,则 (1)f(x)±g(x)在x0点连续; (2)∫(x)·g(x)在x。点连续 (3)若g(x0)≠0,f(x) 在x0点连续。 g(x) 推论若∫,g∈C{a,b],则∫(x)±g(x)∈C[a,b],f(x)·g(x)∈C[a,b],又若 yxe[a.bg(x)≠0,(x)∈c[a.b
52 调上升，有上界 ( ) 0 f x ，所以极限存在，且 lim ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x = - £ ® - 。 同理 lim ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 f x f x f x x x = + ³ ® + 。 若 ( 0) ( 0) f x0 - = f x0 + ， 0 x 为 f (x) 连续点，若 ( 0) ( 0) f x0 - 0 ，则$d > 0 使 f (x) > 0， ( , ) 0 x ÎU x d ，（湮符号性质）。 定理 2 设 f (x) ， g (x) 在点 0 x 连续，则 （1） f( x) ± g( x) 在 0 x 点连续； （2） f (x)× g(x) 在 0 x 点连续； （3） 若g(x0 ) ¹ 0 ， ( ) ( ) g x f x 在 0 x 点连续。 推论 若 f ， g ÎC[a,b] , 则 f (x) ± g( x) ÎC[a,b] ， f (x) × g( x) ÎC[a,b] ,又若 " x Î[a, b], g( x) ¹ 0, [ , ] ( ) ( ) C a b g x f x Î 。 x 0 a b
连续是用极限定义的,本推论是极限四则运算定理的直接结果,不证自明 定理3设y=∫(1)在t=l0点连续,t=g(x)在x=x0点连续,且t0=8(x0) 则y=∫g(x)在x=xo点连续 这是复合函数求极限定理的直接结果,因其证明方法具有典型性,这里我们还是给出其 证明 证VE>0,由f()在t连续,>0,使得当p-100,由g(x)在x连续,36>0,使得当-x0。用中点C0=2+b将[a一分为二,得两区间 [a,co]和[c0,b。若∫(co)=0,取ξ=C0即可。不然若∫(c0)>0,取[a1,b1]=[a,co 若∫(co)0 再用中点= 2将{a,b一分为…,如上面方法选a2]A。如此下去,在某 步如有f(cn)=0,取=cn即可,否则我们得到一区间串[anbn],满足 1)[ani,bulan,b], n=1,2,3,A
53 连续是用极限定义的，本推论是极限四则运算定理的直接结果，不证自明。 定理 3 设 y = f (t) 在 0 t = t 点连续，t = g( x) 在 0 x = x 点连续，且 ( ) 0 0 t = g x ， 则 y = f[g( x)] 在 0 x = x 点连续。 这是复合函数求极限定理的直接结果，因其证明方法具有典型性，这里我们还是给出其 证明。 证 "e > 0 , 由 f (t) 在 0 t 连续，$h > 0 , 使得当 t -t 0 0 ，由 g (x) 在 0 x 连续，$d > 0 , 使得当 x - x0 0 。用中点 2 0 a b c + = 将[a, b]一分为二，得两区间 [ , ] 0 a c 和[ , ] c0 b 。若 f (c0 ) = 0 ，取 0 x = c 即可。不然若 f (c0 ) > 0 ，取[ , ] [ , ] 1 1 0 a b = a c ; 若 f (c0 ) 0 。 再用中点 2 1 1 1 a b c + = 将[ , ] a1 b1 一分为二，如上面方法选[ , ] a2 b2 ,L 。 如此下去，在某一 步如有 f (cn ) = 0，取 n x = c 即可，否则我们得到一区间串[ , ] an bn ，满足 1） [ , ] [ , ] an+1 bn+1 Ì an bn ，n = 1, 2, 3, L ； f(x) a b
bn 3)∫(an)nk有 f(x0)上m|f(xm)上+∞0, 矛盾。 定理( Weierstrass第二定理)f(x)∈C[a,b],则f(x)在[a,b上达到上、下确界。 证令M=sup{f(x)},M0), M-f(x)
54 2） ( ) 0 2 1 bn - an = n b - a ® ，当n ® ¥时； 3） ( ) 0 ( ) n bn f a n ， 对于序列 { }n x ，它有上下界 a £ xn £ b ，波尔察诺子序列定理告诉我们 nk $x 使得 [ , ] 0 x x a b nk ® Î ，由 f (x) 在 0 x 连续，及 n k f x n k | ( ) |> 有 = = +¥ ®¥ | ( ) | lim | ( ) | 0 nk k f x f x ， 矛盾。 定理（Weierstrass 第二定理） f (x)Î C[a, b], 则 f (x) 在[a, b]上达到上、下确界。 证 令M sup { f (x)} a£x£b = ， M 0)
从而∫(x)≤M一-0,36=6()>0,使得当1-xk0,彐6=(x0,E)>0 使得当x-x0,V8>0,x,x"∈[a,b] x-x"kδ,而f(x)-f(x)E0 取δ 彐xn,x"∈[a,b],|xn-x”k-,而f(x)-f(xn)≥E,由波尔察 诺定理,存在子序列x→>x∈[a,b,而由x-xk-,也有x"→)x。再由∫(x) 在x连续,在(xm)-f(xm)E0中令k→∞,得 0=lf(xo)-f(o)=lim If(n)-f(x")kEo 矛盾。所以f(x)在[a,b]上一致连续 例设∫(x)在[a+0)(a>0)上满足 Lipschi条件:f(x)-f(Oy)≤|x-,证明 f(x) 在[a,+∞)上一致连续 证分析
55 从而 f x £ M - 0 , $d = d (e ) > 0 , 使得当 x1 - x2 0 ，$d = d (x0 , e ) > 0， 使得当 x - x0 0，"d > 0，$x¢, x¢¢Î[a, b]， | x¢- x¢¢ | 0) 上满足 Lipschitz 条件： f (x) - f (y) £ k x - y , 证明 x f (x) 在 [a,+¥) 上一致连续。 证 分析
(x)(x)s)-f(x2+(xx4 Br 因为 f(x)-f(a)≤k|x-d (x2)≤kx2|+kd+|f(a)l x2 B, 取δ=5,当x1-x2|<6时, (x)f(x2) <e §3.3初等函数连续性 多项式函数P(x)∈C(-0,+∞)。 有理函数R(x)= P, (x) OG)EC(D) D=R\{gn(x)的零点 三角函数six,cosx∈C(-∞,+∞) y=f(x) x+x -xo<a ∈C(D,D=R\{(k+1)z,k∈Z} 2.定理区间上严格单调函数,如果值域为一区间,则函数连续。(见上图) 本定理可看成 bolzano.- Cauchy第二定理之逆:连 续函数可以取到一切中间值,反之不对,看例子 x0≤x<1, ∫(x)=13 2<x≤3 它可取一切中间值,却不连续。但如加上严格单 调条件,就成立了
56 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 £ - < e - + - - £ B x x x x x x f x x f x f x x f x x f x 因为 f (x) - f (a) £ k x - a ， ( ) ( ) f x2 £ k x2 + k a + f a ， B x f x £ 2 2 ( ) ， 取 B e d = ，当 x1 - x2 < d 时， - < e 2 2 1 1 ( ) ( ) x f x x f x 。 §3.3 初等函数连续性 1． 多项式函数 P (x) ÎC(-¥,+¥) n 。 有理函数 ( ) ( ) ( ) ( ) C D Q x P x R x m n = Î ， D \ {Q (x) 的零点} = R m 三角函数 sin x , cos x ÎC(-¥,+¥) £ - < e + - - = 0 0 0 0 2 sin 2 sin sin 2cos x x x x x x x x ( ), \ {( ) , } 2 tg x ÎC D D = R k + 1 p k Î Z 2．定理 区间上严格单调函数，如果值域为一区间，则函数连续。（见上图） 本定理可看成 Bolzano-Cauchy 第二定理之逆：连 续函数可以取到一切中间值，反之不对，看例子 ï î ï í ì < £ - £ £ £ < = 2 3. 3 1 2, 0 1, ( ) x x x x x x f x 它可取一切中间值，却不连续。 但如加上严格单 调条件，就成立了。 a b y=f(x)
定理的证明不妨设f(x)在区间/=(a,b)严格上升,若f(x)在xo∈I不连续 则f(x-0)≤f(x0)≤f(x0+0)中必有一严格不等号成立,比如f(x0-0)<f(x0),则 值域包含在(f(a+0),f(x0-0)]∪[f(x0)∫(b-0)中,就不是一个区间了 下面定理给出反函数的连续性 定理设y=f(x)∈C(a,b),严格上升,记ntff(x)=a,supf(x)=B, (a,B可能为-∞,+∞) 则(1)在(a,B)上存在反函数x=f(0y) (2)x=f(y)在(x,B)上严格上升; (3)f(y)∈C(a,B)。 y=f(x 实际上y=f(x)和x=f-(y)表示是同一条曲 线,单调性和连续性都是这条曲线的固有性质,这定理结果是再也自然不过的事实 证(1)因y=f(x)严格上升,反函数一定存在,需要证∫-()的定义域恰为(x,B)。 yo∈(a,β),由上、下确界定义,彐x',x"∈(a,b),使得∫(x)<y<∫(x")。在 [x',x"或[x",x上应用 bolzano-. Cauchy第二定理,彐xo∈(x,x)或(x",x),使得 f(x0)=y,由y0的任意性,得到a,B)为∫的值域,即(a,B)为x=f(y)的定义域。 (2)设y1y2∈(α,B),y1<y2,要证x1=f-(y)<f-(y2)=x2,若x1≥x 由反函数定义及f(x)的严格上升,得y1=f(x1)≥f(x2)=y2,矛盾,所以∫()严格 上升。 (3)f-(y)在(a,B)严格上升,值域为(a,b),由定理1知∫-(y)∈C(a,B 注若∫(x)∈C[a,b]严格上升,令∫(a)=a,f(b)=B,则结论中(a,B)改为 [a,β]仍成立,对严格下降函数也有同样结论。 由此可得y= arcsin x∈C[-1,1 y= arccos x∈C[-1,1
57 定理的证明 不妨设 f (x) 在区间 I = (a, b) 严格上升，若 f (x) 在 x Î I 0 不连续， 则 ( 0) ( ) ( 0) f x0 - £ f x0 £ f x0 + 中必有一严格不等号成立，比如 ( 0) ( ) 0 0 f x - < f x ，则 值域包含在( ( 0), ( 0)] [ ( ), ( 0)) f a + f x0 - È f x0 f b - 中，就不是一个区间了。 下面定理给出反函数的连续性。 定理 设 y = f (x) ÎC (a,b) ，严格上升，记 =a = b < < < < inf f (x) , sup f (x) a x b a x b , （a , b 可能为- ¥ ,+¥） 则 （1） 在(a ,b ) 上存在反函数 ( ) 1 x f y - = ； （2） ( ) 1 x f y - = 在(a ,b ) 上严格上升； （3） ( ) ( , ) 1 f y Î C a b - 。 实际上 y = f (x)和 ( ) 1 x f y - = 表示是同一条曲 线，单调性和连续性都是这条曲线的固有性质，这定理结果是再也自然不过的事实。 证 （1）因 y = f (x)严格上升，反函数一定存在，需要证 ( ) 1 f y - 的定义域恰为(a ,b ) 。 ( , ) " y0 Î a b ，由上、下确界定义，$ x¢, x¢¢Î(a, b) , 使得 ( ) ( ) 0 f x¢ < y < f x¢¢ 。在 [x¢, x¢¢] 或 [x¢¢, x¢] 上应用 Bolzano-Cauchy 第二定理， ( , ) 0 $ x Î x¢ x¢¢ 或 ( x¢¢, x¢) ，使得 0 0 f (x ) = y ，由 0 y 的任意性，得到(a ,b ) 为 f 的值域，即(a ,b ) 为 ( ) 1 x f y - = 的定义域。 （2） 设 ( , ) y1, y2 Î a b , 1 2 y < y , 要证 2 2 1 1 1 1 x = f (y ) < f (y ) = x - - ，若 1 2 x ³ x ， 由反函数定义及 f (x) 的严格上升，得 1 1 2 2 y = f (x ) ³ f (x ) = y , 矛盾，所以 ( ) 1 f y - 严格 上升。 （3） ( ) 1 f y - 在(a ,b ) 严格上升，值域为(a, b)，由定理 1 知 ( ) ( , ) 1 f y Î C a b - 。 注 若 f (x)Î C[a, b]严格上升，令 f (a) = a , f (b) = b , 则结论中(a ,b ) 改为 [a , b ]仍成立，对严格下降函数也有同样结论。 由此可得 y = arcsin x ÎC[-1, 1], y = arccos x ÎC[-1, 1], y b a O x a b y=f(x)
y= arct x∈C(-∞,+∞) 3.指数函数a、对数函数logx和幂函数x连续性 引理设a>1,n>1为正整数,则彐!b>1,使a=b"。由此我们可以定义 a 证在区间[,a]上考虑函数∫(x)=x"∈C[,a],且f(1)=11,a2>a",所以sup存在。 最后无论x为有理数还是无理数,都有a2=spa”,q为有理数。 命题f(x)=a2严格上升,在(-+∞)上连续 证设x10,彐N,使得a<(1+E),取q1,q2有理数,使得q1<x0<q2 则∫(x0)≤f(x+0)≤a,f(x0)≥f(x0-0)≥a, 1≤(x+0)a0 ≤=a4=aN<l+E,所以∫(x0+0)=f(x0-0)=f(x)=a”。 f(x0-0)a 指数函数还有性质aa2=a+ 命题对数函数y= log x∈C(0,+∞)
58 y = arctg x Î C(-¥, + ¥) 。 3． 指数函数 x a 、对数函数 x a log 和幂函数 a x 连续性 引理 设a > 1, n > 1为正整数，则 $ > ! 1 b ， 使 n a = b 。由此我们可以定义 n b = a 。 证 在区间 [1, a]上考虑函数 f (x) x C[1, a] n = Î , 且 f (1) 1 a a f (a) n = q -q q q a a a ， q2 q1 a > a ，所以sup 存在。 最后无论x 为有理数还是无理数，都有a a q 为有理数 q q x x sup , £ = 。 命题 x f (x) = a 严格上升，在(-¥,+¥) 上连续。 证 设 1 2 x 0 , $N , 使得 N a < (1+ e ) ，取 1 2 q , q 有理数，使得 1 0 q2 q < x < , N q q 1 2 - 1 = , 则 2 ( ) ( 0) 0 0 q f x £ f x + £ a , 1 ( ) ( 0) 0 0 q f x ³ f x - ³ a , £ = = < + e - + £ - 1 ( 0) ( 0) 1 1 0 0 2 1 1 2 q q N q q a a a a f x f x , 所以 0 ( 0) ( 0) ( ) 0 0 0 x f x + = f x - = f x = a 。 指数函数还有性质 x1 x 2 x1 x2 a a a + = 。 命题 对数函数 y = log x ÎC (0,+ ¥) a
证x=a”在(-∞,+∞)上严格上升,连续,其值域为(0,+∞),所以其反函数 y= log x在(0,+∞)也严格上升,连续 命题幂函数y=x=ex∈C(0 +)。 证它是指数函数e和对数函数z=alnx的复合函数,每个函数都连续,它们的复合 也连续 结论一切初等函数都在其定义域上是连续的。 求极限的指数法则若lmu(x)=a>0,lmv(x)=b,则lmu(x))=a>0。 证如果u(x),(x)在x0点连续,且(x0)>0,则(x)()=e"x)在x点连续 补充定义u(x0)=a,v(x0)=b,则lmu(x)x)=a2。 上述极限过程当x0=+∞,-∞时仍成立,只要利用变换x=-就行了,例如: 皿+n)中我们注意到(+s3)=取 很容易得到它趋向于e 当x→+∞时 ∫连续兮∫与lm可交换 lim f(x)=f(xo)=f(lm x) imf(q(x)=f(mφ(x)=f((x0)。 习题 3.1研究下列函数的连续性,并指出间断点类型: (1) f(x)=sgn x: (2)g(x)=x-[x] (3)f∫[g(x;g[(x) (4)h(x)=| xx+1 3.2指出下列函数的间断点,并说明属于哪一类型的间断点 (1)y= (2)y=cos2- (1+x)
59 证 y x = a 在 (-¥,+¥) 上严格上升 ，连续，其值域为 (0,+ ¥) ，所以其反函数 y x a = log 在(0,+ ¥) 也严格上升，连续。 命题 幂函数 (0, ) ln y = x = e Î C + ¥ a a x 。 证 它是指数函数 z e 和对数函数 z = a ln x 的复合函数，每个函数都连续，它们的复合 也连续。 结论 一切初等函数都在其定义域上是连续的。 求极限的指数法则 若 lim ( ) 0 0 = > ® u x a x x ， v x b x x = ® lim ( ) 0 ，则 lim ( ) 0 ( ) 0 = > ® v x b x x u x a 。 证 如果u(x), v( x) 在 0 x 点连续，且u(x0 ) > 0，则 ( ) ( )ln ( ) ( ) v x v x u x u x = e 在 0 x 点连续， 补充定义u(x0 ) = a ，v(x0 ) = b ，则 v x b x x u x = a ® ( ) lim ( ) 0 。 上述极限过程当 x0 = +¥, -¥ 时仍成立 ，只要利用变换 t x 1 = 就行了，例如： x x x ) 1 lim (1+ sin ®+¥ 中我们注意到 x x x x x x 1 1 sin 1 sin 1 ) 1 ) (1 sin 1 (1 sin × + = + ，很容易得到它趋向于e ， 当 x ® +¥ 时。 f 连续Û f 与 0 lim x®x 可交换： lim ( ) ( ) (lim ) 0 0 0 f x f x f x x®x x®x = = ； lim ( ( )) (lim ( )) ( ( )) 0 0 0 f x f x f x x x x x j = j = j ® ® 。 习题 3.1 研究下列函数的连续性，并指出间断点类型： （1） f (x) = sgn x ； （2） g( x) = x - [x]； （3） f [g (x)]； g[ f (x)] ； （4） ÷ ø ö ç è æ - - ÷ ø ö ç è æ + = - x x x x h x 1 1 1 1 1 1 ( ) . 3.2 指出下列函数的间断点，并说明属于哪一类型的间断点： （1） 2 (1 x) x y + = ； （2） x y 1 cos 2 = ；
