第二章n维欧氏空间 §1.1R"的极限理论 在线性代数中我们学习了n维向量空间V={x1…x)x,∈R,1=1,…,n我们在 V,中定义了加法和数乘.特别的我们还定义了V,中的内积(,) 设x=(x1…xn),y=(1…,yn)是V中的向量,定义x与y的内积(x,y)为 (x,y)=xy1+…+xnyn 内积(x,y)满足 1.对称性:(x,y)=(y,x) 2.线性性:(ax1+bx2,y)=a(x1,y)+b(x2,y) 3.正定性:x∈Vn,(x,x)≥0,并且(x,x)=0等价于x=0 利用内积我们可以定义Vn中向量的长度为=√(x,x) 将P1=(x1,…,x)P2=(y1…,yn)看作V中的点,我们定义其距离d(P2P1)为 d(PP)=-P|=√P-P,P-P)=∑(x-y) 引理:d(P,P2)=|P-P2满足 1.对称性:d(B,P2)=d(P2,P); 2.正定性:d(P1,P)≥0,d(P1,P2)=0等价于P=P2; 3.三角不等式:VP,P2,P3∈Vn,恒有 d(P,P)≤d(B,P)+d(P,P)(x+川≤|+|) 并且等式成立的充分必要条件是B,P2,P3在同一直线上 证明:1和2显然,仅证明3 设V1,V2∈Vn,则对任意t∈R,恒有
1 第二章 n 维欧氏空间 §1.1 n R 的极限理论 在线性代数中我们学习了 n 维向量空间Vn = {(x1 ,L, xn ) xi Î R, i = 1,L, n}. 我们在 Vn中定义了加法和数乘. 特别的我们还定义了Vn中的内积( , ). 设 ( ) ( ) n n x x , , x , y y , , y = 1 L = 1 L 是Vn中的向量. 定义x 与 y 的内积( x, y) 为 n n x y = x y +L+ x y 1 1 ( , ) . 内积( x, y) 满足: 1． 对称性: ( x, y) = ( y, x) ; 2． 线性性: ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2 ax + bx y = a x y + b x y ; 3． 正定性: "x Î Vn , (x, x) ³ 0, 并且( x, x) = 0等价于 x = 0. 利用内积我们可以定义Vn中向量的长度为 x = (x, x) . 将 ( ) ( ) n n P x , , x , P y , , y 1 = 1 L 2 = 1 L 看作Vn中的点, 我们定义其距离 ( , ) d P1 P2 为 å= = - = - - = - n i i i d P P P P P P P P x y 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( ) . 引理 1: 1 2 1 2 d(P , P ) = P - P 满足 1. 对称性: ( , ) ( , ) d P1 P2 = d P2 P1 ; 2. 正定性: d(P1 , P2 ) ³ 0, d(P1 , P2 ) = 0等价于 P1 = P2 ; 3. 三角不等式: "P1 P2 P3 Î Vn , , , 恒有 ( , ) ( , ) ( , ). ( ). 1 2 1 3 3 2 d P P £ d P P + d P P x + y £ x + y 并且等式成立的充分必要条件是 1 2 3 P , P , P 在同一直线上. 证明: 1 和 2 显然, 仅证明 3. 设V1 V2 Î Vn , , 则对任意t Î R , 恒有
(V1-V2,V1-12)=(V1,H1)-2(V1,2)+t2(V2,2)≥ 因此t的二次函数的判别式4(V12)2-4(V1,VV2,H2)≤0.我们得到 Cauchy不等式 (1,V2)2≤(V1,)V2,V2) 并且其中等式成立的充要条件是V1,V2线性相关.对任意B,P2,P3∈Vn,令 V=P-P3,V2=P2-P3,则 d(P,P)2=(V1-V2,n1-V2)=(V1,n)-2(V1,H2)+(V2,V2) ≤(V1,H1)+2V1,H1V2,2)+(V2V2) =(G,F+√0v22)=(dP,P)+d2,P) 得三角不等式等式成立当且仅当存在t使H=12,即B,P2,P3在同一直线上 d(PQ)=|P-称为V的欧氏度量V在定义了欧氏度量后称为n维欧氏空间 通常以R”记之。我们希望利用欧氏度量d(P,Q在R”上建立极限理论,并进一步将一个 变元的微积分推广到多个变元的函数上 定义:设{Pm}m2是R"中一个点列,称m→+∞时Pn→P∈R”,如果 vE>0,N,使得只要m>N,就有d(Pn,P)0,我们 定义BCP,B)=2∈RdP,Q)0,定义 SP,)=2=(…x)-x0,存在E=(E1,…,En)>0和E",使得 B(P,E’)≥S(P,E)=B(PE") 2
2 ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( 2 , 2 ) 0 2 V1 - tV2 V1 - tV2 = V1 V1 - t V1 V2 + t V V ³ . 因此t 的二次函数的判别式4( , ) 4( 1 , 1 )( 2 , 2 ) 0 2 V1 V2 - V V V V £ . 我们得到 Cauchy 不等式 ( , ) ( , )( , ) 1 1 2 2 2 V1 V2 £ V V V V . 并且其中等式成立的充要条件是 1 2 V ,V 线性相关 . 对任意 P1 P2 P3 Î Vn , , , 令 1 1 3 2 2 3 V = P - P ,V = P - P , 则 ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , )) . ( , ) 2 ( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2( , ) ( , ) 2 1 3 3 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 V V V V d P P d P P V V V V V V V V d P P V V V V V V V V V V = + = + £ + + = - - = - + 得三角不等式. 等式成立当且仅当存在t 使 1 2 V = tV , 即 1 2 3 P , P , P 在同一直线上. d(P,Q) = P - Q 称为 Vn的欧氏度量. Vn 在定义了欧氏度量后称为 n 维欧氏空间, 通常以 n R 记之. 我们希望利用欧氏度量 d(P,Q)在 n R 上建立极限理论, 并进一步将一个 变元的微积分推广到多个变元的函数上. 定 义 : 设 { }m m=1,2,L P 是 n R 中一个点列 , 称 m ® +¥ 时 n Pm ® P0 Î R , 如 果 "e > 0, $N , 使得只要m > N , 就有 ( , ) 0, 我们 定义 B(P, e ) = {Q Î d (P,Q) 0 , 定义 S(P, ) {Q (x , , xn ) xi xi i , i 1, ,n} 0 e = = 1 L - 0, 存在 ( , , ) 0 ~e = e1 L e n > 和e ¢¢ , 使得 ) ( , ) ~ B(P, e ¢) É S (P,e É B P e ¢¢
利用E-邻域,Pn→P可表示为对P的任意E-邻域U(E),丑N,只要m>N,就 有Pn∈U(P0,E) 如果将P用坐标表示为P=(x1,…,xn),则上面长方形ε-邻域的极限描述等价于 引理3:设Pn=(x1",…,xm),P=(x1,…,xn),则 lim p=P0的充分必要条件是对 i=1,…,n都有lmxm=x 即序列Pn收敛于P等价于Pn的每一个分量收敛于P对应的分量 利用不等式 m{x-x=Pn-|=yx-x)2+…+(x2-x2) 也可直接得到上面引理.下面讨论中我们将以B(P,E)为例,其结论对S(P,E)也成立 设ScR是任意给定的集合.利用E-邻域,我们可以将R"中所有的点相对于S进行 分类 内点:P∈R”称为S的内点,如果存在E>0,使B(P,E)cS.以S°记S的所有内 外点:P∈R称为S的外点,如果存在E>0,使得P的E-邻域B(PE)cR”-S 边界点:如果P∈R"既不是S的内点,也不是S的外点,则P称为S的边界点 以S记集合S的所有边界点,则不难看出aS=R"-(SU(R"-Sy)或表示为 P∈R"为S的边界点,如果ⅤE>0,恒有B(P,E)∩S≠⑧,B(P,E)∩(R"-S)≠ 边界点可进一步分类 孤立点:P∈R"称为S的孤立点,如果存在E>0,使得B(P,E)∩S={P} 显然孤立点都是边界点 极限点:P∈R”为S的极限点,如果VE>0,B0(P,E)∩S≠ 容易看出,P为S的极限点等价于存在序列{Pn}S-{P},满足mPn=P,显然 内点都是S的极限点而P∈aS如果不是S的孤立点,则必是S的极限点 集合S称为开集,如果S的所有点都是S的内点,即S为开集→>S=S°
3 利用 e -邻域, Pm ® P0 可表示为对 P0 的任意 e -邻域U (P0 , e ),$N , 只要m > N , 就 有 ( , ) 0 P U P e m Î . 如果将 Pm 用坐标表示为 ( , , ) 1 m n m m P = x L x , 则上面长方形e -邻域的极限描述等价于 引理 3: 设 ( , , ), ( , , ) 0 0 1 0 1 n m n m m P = x L x P = x L x , 则 0 lim Pm P m = ®+¥ 的充分必要条件是对 i = 1,L, n 都有 0 lim i m i m x = x ®+¥ . 即序列 Pm 收敛于 P0 等价于 Pm 的每一个分量收敛于 P0 对应的分量. 利用不等式 { } , max ( ) ( ) 0 0 1 1 0 2 0 2 0 1 1 0 1 n m n m n m n m i m m i i n x x x x x x P P x x x x £ - + + - - £ - = - + + - £ £ L L 也可直接得到上面引理. 下面讨论中我们将以B(P, e ) 为例, 其结论对S(P,e ) 也成立. 设 n S Ì R 是任意给定的集合. 利用e -邻域, 我们可以将 n R 中所有的点相对于 S 进行 分类. 内点: n P Î R 称为 S 的内点, 如果存在e > 0, 使B(P, e ) Ì S . 以S° 记 S 的所有内 点. 外点: n P Î R 称为 S 的外点, 如果存在e > 0, 使得 P 的e -邻域 B P S n ( , e ) Ì R - . 边界点: 如果 n P Î R 既不是 S 的内点, 也不是S 的外点, 则P 称为 S 的边界点. 以 ¶S 记集合 S 的所有边界点, 则不难看出 ¶S = - (S° ( - S)°) n n R U R . 或表示为 n P Î R 为 S 的边界点, 如果"e > 0, 恒有B(P, e ) I S ¹ Æ , B(P, ) ( - S) ¹ Æ n e I R . 边界点可进一步分类. 孤立点: n P Î R 称为 S 的孤立点, 如果存在e > 0, 使得B(P, e) I S = {P}. 显然孤立点都是边界点. 极限点: n P Î R 为 S 的极限点, 如果"e > 0, B0 (P, e ) I S ¹ Æ . 容易看出, P 为 S 的极限点等价于存在序列{P } S {P} m Ì - , 满足 0 lim Pm P m = ®+¥ . 显然 内点都是 S 的极限点. 而PÎ ¶S 如果不是 S 的孤立点, 则必是S 的极限点. 集合 S 称为开集, 如果S 的所有点都是 S 的内点, 即S 为开集ÜÞ S = S°
如果S=⑧,则S°=⑧,因此S=S°,所以空集是开集 容易看出开集满足:有限个开集的交是开集;任意多个开集的并也是开集 集合S称为闭集,如果R"-S为开集 由于空集是开集,因此R"=R"-⑧是闭集.而R"显然是开集,所以=R"-R 是闭集 思考题:证明R"和空集是R”中唯一的两个既开又闭的集 由闭集定义不难得到:任意多个闭集的交是闭集,有限个闭集的并也是闭集 对于任意集合S,令S为所有包含S的闭集的交.S是包含S的最小闭集,称为S的 闭包 引理4S是闭集的充分必要条件是下面假设中有一个成立 S=S b)S=soFas c)如果P是S的极限点,则P∈S 证明留给读者 称集合ScR”是道路连通的,如果对S中任意两点P,Q,都存在R”中的一条连续曲 线r(1):t→(x;(t)…,xn()t∈[0],其中x()连续,使得r(0)=P,r(1)=Q,且 vt∈[0,1r(D)∈S R〃中连通的开集称为区域,我们一般用D表示区域的闭包D称为闭区域 §1.2R"的完备性 一元微积分的极限理论是建立在实数完备的基础上.利用实数的完备性,我们才有可能 有好的极限,并在此基础上建立微积分的其它理论 对于R",我们同样需要将其极限建立在R”的完备性上与R不同的是,当n≥2时 R"的点并无大小顺序,因此确界原理和单调有界序列有极限这两个定理不能推广到R"上 但与之等价的关于实数完备性的其它定理在Rn上都是成立的.下面我们将以平面R2为例 表述和证明这些定理,其相应结论对所有R”都成立
4 如果 S = Æ , 则S° = Æ , 因此S = S°, 所以空集是开集. 容易看出开集满足: 有限个开集的交是开集; 任意多个开集的并也是开集. 集合 S 称为闭集, 如果 S n R - 为开集. 由于空集是开集, 因此 = - Æ n n R R 是闭集. 而 n R 显然是开集, 所以 n n Æ = R - R 是闭集. 思考题: 证明 n R 和空集Æ是 n R 中唯一的两个既开又闭的集. 由闭集定义不难得到: 任意多个闭集的交是闭集, 有限个闭集的并也是闭集. 对于任意集合 S , 令S 为所有包含 S 的闭集的交. S 是包含 S 的最小闭集, 称为 S 的 闭包. 引理 4: S 是闭集的充分必要条件是下面假设中有一个成立: a) S = S ; b) S = S°U¶S ; c)如果P 是 S 的极限点, 则PÎ S . 证明留给读者. 称集合 n S Ì R 是道路连通的, 如果对S 中任意两点 P,Q , 都存在 n R 中的一条连续曲 线 ( ) : ( ( ), , ( )), [0,1] r t t ® x1 t L xn t t Î , 其 中 x (t) i 连 续 , 使 得 r(0) = P,r(1) = Q , 且 "t Î[0,1], r(t) Î S . n R 中连通的开集称为区域, 我们一般用D 表示. 区域的闭包D 称为闭区域. §1.2 n R 的完备性 一元微积分的极限理论是建立在实数完备的基础上. 利用实数的完备性, 我们才有可能 有好的极限, 并在此基础上建立微积分的其它理论. 对于 n R , 我们同样需要将其极限建立在 n R 的完备性上. 与R 不同的是, 当n ³ 2 时 n R 的点并无大小顺序, 因此确界原理和单调有界序列有极限这两个定理不能推广到 n R 上. 但与之等价的关于实数完备性的其它定理在 n R 上都是成立的. 下面我们将以平面 2 R 为例, 表述和证明这些定理, 其相应结论对所有 n R 都成立
序列{Pm}称为有界序列,如果存在M使得vm,恒有Pm≤M 定理1(波尔察诺):如果{Pn}是R2中的有界序列,则{Pn}中有收敛子列 证明:设Pn=(xm,ym),{Pn}有界,则序列xm}和{ym}都是R中有界序列因此 xm}中有收敛子列m},而对应的序列bm}也有收敛子列{m},得序列 {mn=(m,m,收敛 序列{Pn}称为 Cauchy列,如果E>0,3N,只要n>N,m>N,就有|pn-PkE 定理2( Cauchy准则):序列{Pn}收敛的充分必要条件是{Pn}为 Cauchy列 证明:设 lim P=P,则vE>0,只要m>N,就有|Pn-P|k5.因此 n>N,m>N时,由三角不等式得|Pn-Ps|Pn-Pl+n-P‖N时|p-Pk1.因此 Ps|+|P-Pl0,由{n}是 Cauchy列,得彐N1,使 n>N,m>N时,P-P|N2时 -|N,则对任意m>N n-硎sa-Pn|+|Pn-f|<E,即mP=P 定义:设ScR2,令d(S)=spP-qpQ∈S,d(s)称为集合S的直径对 R2中任意集合S1S2,定义d(S1S2)=mrf{P-Q∈S2Q∈S2},dS,S2)称为集合 S1,S2的距离 定理3区间套原理):设{}是R2中一列闭集,满足 1.wn,Fn≠
5 序列{Pm}称为有界序列, 如果存在M 使得"m , 恒有 Pm £ M . 定理 1(波尔察诺): 如果{Pm}是 2 R 中的有界序列, 则{Pm}中有收敛子列. 证明: 设 ( , ) m m m P = x y , {Pm}有界, 则序列{xm}和 {ym}都是 R 中有界序列. 因此 {xm} 中有收敛子列 { } mk x , 而对应的序列 { } mk y 也有收敛子列 { } mk l y , 得序列 { ( )} mk l mk l mk l P = x , y 收敛. 序列{Pm}称为 Cauchy 列, 如果"e > 0, $N , 只要n > N,m > N , 就有 - 0, $N , 只要 m > N , 就有 2 0 e Pm - P N,m > N 时 , 由三角不等式得 - £ - + - N 时 1 PN +1 - Pn 0, 由{Pm}是 Cauchy 列, 得$N1 , 使 1 1 n > N ,m > N 时 , 2 e Pn - Pm N2 时 , 2 0 e P - P N , 则对任意 m > N , - £ - + - < e P P0 P P P P0 m m mk mk , 即 0 lim Pm P m = ®+¥ . 定义: 设 2 S Ì R , 令d(S) = sup{ P - Q P,Q Î S}, d (S ) 称为集合 S 的直径. 对 2 R 中任意集合 1 2 S ,S , 定义 { } 1 2 1 2 d(S , S ) = inf P -Q P Î S ,QÎ S , ( , ) d S1 S2 称为集合 1 2 S ,S 的距离. 定理 3(区间套原理): 设{Fn }是 2 R 中一列闭集, 满足 1. "n, Fn ¹ Æ ;
2. F CF 3.d(Fn)→>0 则存在唯一的一个点P,使得{P∈∩F 证明:Fn≠②,可取一点P∈F,得一序列{Pn}由lmd(F)=0,得 VE>0,三N,只要n>N,就有d(Fn)N,m>N时,设m≥n,则由 FCFn,得Pm∈Fn|n-P‖d(F)m后P∈Fn,如果PgFn,则P是Fn的极 限点而F是闭集,包含其所有极限点,所以必须P∈Fm,即P∈∩F唯一性显然 上面定理中我们用有界闭集代替了R中闭区间,同样的结果对开复盖定理也成立 定义:设ScR2,集合U={称为S的开复盖,如果对每一个a∈A,U是 R中开集而且 SUU.S称为紧集如果对S的任意开复盖{aA4,都可选出有 限个元素{叫,…,Um},使其亦构成S的开复盖 定理4开复盖定理):R2中有界闭集是紧集 证明:用反证法设F是R2中有界闭集,U=ua∈4}是F的一个开复盖,且U 中不存在有限个元素复盖F F有界,可设F包含在一个闭正方形D中将D1四等分,得四个小的闭正方形,其中 必有一个与F的交不能被U有限复盖,记之为D2.以此类推,则我们得一列闭正方形 {Dn},使Dn1cD,d(Dn1)=d(Dn).而Dn∩F不能被U中元素有限复盖但 {Dn∩F}是满足区间套原理的一列闭集,因此存在一点P,使{P}=∩(Dn∩F)特别 的,P∈F.而U是F的开复盖,存在Ua∈U,使B∈U·但Ua是开集,知存在E>0 使B(P,E)cUa,而d(Dn∩F)→0,因此n充分大后,总有d(Dn∩F)<E.而
6 2. Fn+1 Ì Fn ; 3. d(Fn ) ® 0 . 则存在唯一的一个点 P , 使得 I +¥ = Î 1 { } n P Fn . 证 明 : Fn ¹ Æ , 可取一点 Pn Î Fn , 得一序列 {Pn } . 由 lim ( ) = 0 ®+¥ n n d F , 得 "e > 0, $N , 只要 n > N , 就有 ( ) N,m > N 时, 设 m ³ n , 则由 Fm Ì Fn , 得Pm Î Fn . - £ ( ) m后 Pn Î Fm , 如果P0 Ï Fm , 则P0 是 Fm的极 限点. 而Fm是闭集, 包含其所有极限点, 所以必须P0 Î Fm , 即 I +¥ = Î 1 0 n P Fn . 唯一性显然. 上面定理中我们用有界闭集代替了R 中闭区间, 同样的结果对开复盖定理也成立. 定义: 设 2 S Ì R , 集合 { } U U ÎA = a a 称为 S 的开复盖, 如果对每一个a Î A , Ua 是 2 R 中开集, 而且 U A S U Î Ì a a . S 称为紧集, 如果对 S 的任意开复盖 { } Ua aÎA , 都可选出有 限个元素{ }k Ua Ua , , 1 L , 使其亦构成S 的开复盖. 定理 4(开复盖定理): 2 R 中有界闭集是紧集. 证明: 用反证法. 设F 是 2 R 中有界闭集, U = {U a Î A} a 是 F 的一个开复盖, 且U 中不存在有限个元素复盖 F . F 有界, 可设F 包含在一个闭正方形 D1中. 将 D1四等分, 得四个小的闭正方形, 其中 必有一个与 F 的交不能被U 有限复盖, 记之为 D2 . 以此类推, 则我们得一列闭正方形 {Dn } , 使 Dn+1 Ì Dn , ( ) 2 1 ( ) n 1 Dn d D = d + . 而 Dn I F 不能被 U 中元素有限复盖. 但 {Dn I F}是满足区间套原理的一列闭集, 因此存在一点 P0 , 使{ } I I +¥ = = 1 0 ( ) n P Dn F . 特别 的, P0 Î F . 而U 是 F 的开复盖, 存在Ua ÎU , 使P0 ÎUa . 但Ua 是开集, 知存在e > 0, 使 a B(P0 ,e ) Ì U , 而 d(Dn I F) ® 0 , 因 此 n 充分大后, 总有 d(D F) < e n I . 而
P∈Dn∩F,所以Dn∩FcB(B,E)cU.即U就是Dn∩F的复盖,与Dn∩F不 能被U中有限个元素复盖的假设矛盾 定理4的逆亦成立,这里就不证了 §1.3多元连续函数的性质 在现实生活中我们常说一个事物的结果受多种因素的影响.如果将这句话数字化,设 事物变量y由n种因素变量x;,i=1,…,n决定,我们就称这一事件发生在n维空间中,其 规律由映射(x1,…,xn)→y=f(x1…,xn)决定。我们得到R”中一个集合上的n元函数 我们希望将一元函数的微积分推广到n元函数上下面以R2为例 设ScR2,z=f(x,y):S→R是S上二元函数.设P=(x0,y)是S的一个极限 点(P∈S或PgS),称P=(x,y)∈S趋于P时∫(x,y)趋于A,如果vE>0,3δ>0, 只要P=(x,y)∈S且0s|P-B<6,就有f(x,y)-4<E,记为mf(x,y)=A 由于P→P等价于对P=(x,y),同时有x→x3y→yo,因此lmf(x,y)也表示 为lmf(x,y),称为x和y的重极限,或称全面极限 例:令 ≠0 x 则P沿任意直线y=kx趋于原点时,f(x,y)趋于零,因而都存在且相等.但对k≠0,P 沿y=kx2趋于(00)时,f(x,y)趋于k.因而重极限mf(x,y)不存在 利用E-邻域,则重极限mf(x,y)=A可表示为对A的任意E-邻域U/(A,E),存在 P=(x,y)的δ-空心邻域U0(P,6),使得∫(S∩U0(P,6)cU(A,E) 定义:设∫(x,y)是集合S上的函数,称∫(x,y)在点P=(x02y)∈S是连续的,如 果对∫(x0,y)任意ε·邻域U(∫(x0,y)E),存在P的δ-邻域U(B0,06),使得 7
7 P0 Î Dn I F , 所以 a Dn I F Ì B(P0 ,e ) Ì U . 即Ua 就是 Dn I F 的复盖, 与 Dn I F 不 能被U 中有限个元素复盖的假设矛盾. 定理 4 的逆亦成立, 这里就不证了. §1.3 多元连续函数的性质 在现实生活中我们常说一个事物的结果受多种因素的影响. 如果将这句话数字化, 设 事物变量 y 由n 种因素变量 xi , i = 1,L,n 决定, 我们就称这一事件发生在 n 维空间中, 其 规律由映射( , , ) ( , , ) 1 n 1 n x L x ® y = f x L x 决定. 我们得到 n R 中一个集合上的 n 元函数. 我们希望将一元函数的微积分推广到 n 元函数上. 下面以 2 R 为例. 设 2 S Ì R , z = f (x, y) : S ® R 是 S 上二元函数. 设 ( , ) 0 0 0 P = x y 是 S 的一个极限 点( P0 Î S 或 P0 Ï S ), 称 P = (x, y)Î S 趋于 P0 时 f (x, y) 趋于 A , 如果"e > 0, $d > 0 , 只要 P = (x, y)Î S 且0 £ P - P0 < d , 就有 f (x, y) - A < e , 记为 f x y A P P = ® lim ( , ) 0 . 由于 P ® P0等价于对 P = ( x, y) , 同时有 0 0 x ® x , y ® y , 因此 lim ( , ) 0 f x y P®P 也表示 为 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x ® ® , 称为x 和 y 的重极限, 或称全面极限. 例: 令 ï î ï í ì = ¹ = 0, 0. , 0; ( , ) 2 y y y x f x y 则 P 沿任意直线 y = kx趋于原点时, f (x, y) 趋于零, 因而都存在且相等. 但对k ¹ 0 , P 沿 2 y = kx 趋于(0,0) 时, f (x, y) 趋于k . 因而重极限lim ( , ) 0 0 f x y y x ® ® 不存在. 利用 e -邻域, 则重极限 f x y A y y x x = ® ® lim ( , ) 0 0 可表示为对 A 的任意 e -邻域U (A,e ) , 存在 ( , ) 0 0 0 P = x y 的d -空心邻域 ( , ) 0 0 U P d , 使得 ( ( , )) ( , ) 0 0 f S IU P d Ì U A e . 定义: 设 f (x, y) 是集合 S 上的函数, 称 f (x, y) 在点 P0 = (x0 , y0 ) Î S 是连续的, 如 果 对 ( , ) 0 0 f x y 任 意 e - 邻 域 ( ( , ), ) 0 0 U f x y e , 存 在 P0 的 d - 邻 域 ( , ) 0 U P d , 使 得
∫(S∩U(P3,δ)cU((x0y)E).称∫(x,y)在S上连续,如果∫(x,y)在S的每一点 P∈S都是连续的 由定义不难看出,如果f是S的孤立点,则任意∫(x,y)在P都是连续的.如果P是 S的极限点,则f(x,y)在P=(x0,y0)连续的充分必要条件是lmf(x,y)=f(x0,y0) 定理1( Weierstrass定理):如果∫(x,y)是R中有界闭集S上连续函数,则f(x,y)在 S上有界,并达到其上下确界 证明:令M=sp{(x,y)|(x,y)∈S},则存在中的序列Pn=(xn,yn),使得 mf(xn,yn)=M.由S有界,P是有界序列,因而有收敛子列,不妨设 Pn→>B=(xo,y).S是闭集,因而P∈S.但∫(x,y)在P连续,所以必须 im∫(xn,yn)=∫(x0yo).而极限是唯一的,得M=f(x0,y).f(x,y)有上界并达到 上确界 定义:设∫(x,y)是集合S上的函数,称∫(x,y)在S上一致连续,如果 vE>0.,3δ>0,只要P=(x1yn1)∈S,P2=(x2,y2)∈S且|-P0,使得对任意1存在 Pn=(xnyn)∈S,和Qn=(xn,yn)∈S 满足∥/ (xn,yn)-f(xny≥E0,由S有界,因而{n包n}都是有界序列,存在收敛子列 Pn→P.而S是闭集,所以必有P∈S.但
8 ( ( , )) ( ( , ), ) 0 0 0 f S IU P d Ì U f x y e . 称 f (x, y) 在 S 上连续, 如果 f (x, y) 在 S 的每一点 PÎ S 都是连续的. 由定义不难看出, 如果 P0 是 S 的孤立点, 则任意 f (x, y) 在 P0 都是连续的. 如果 P0 是 S 的极限点, 则 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 0 P = x y 连续的充分必要条件是 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = ® ® . 定理 1(Weierstrass 定理): 如果 f (x, y) 是 2 R 中有界闭集 S 上连续函数, 则 f (x, y) 在 S 上有界, 并达到其上下确界. 证明 : 令 M = sup{f (x, y) ( x, y) Î S} , 则存在 S 中的序列 ( , ) n n n P = x y , 使得 f xn yn M n = ®+¥ lim ( , ) . 由 S 有 界 , Pn 是有界序列 , 因而有收敛子列 . 不妨设 ( , ) 0 0 0 P P x y n ® = . S 是闭集 , 因 而 P0 Î S . 但 f (x, y) 在 P0 连 续 , 所 以 必 须 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 f x y f x y n n Pn P = ® . 而极限是唯一的, 得 ( , ) 0 0 M = f x y . f (x, y) 有上界并达到 上确界. 定 义 : 设 f (x, y) 是集合 S 上的函数 , 称 f (x, y) 在 S 上一致连续 , 如 果 "e > 0, $d > 0 , 只 要 P1 = (x1 , y1 )Î S, P2 = (x2 , y2 ) Î S 且 P1 - P2 0, 使得对任意 n n 1 d = , 存在 Pn = (xn , yn ) Î S , 和 Qn = (xn ¢ , yn ¢ ) Î S , 满 足 n Pn Qn 1 - < . 但 0 ( , ) - ( ¢ , ¢ ) ³ e n n n n f x y f x y , 由 S 有界, 因而 {Pn },{Qn } 都是有界序列, 存在收敛子列 Pnk ® P0 . 而S 是闭集, 所以必有P0 Î S . 但
en, -Posem, -P,+Pma P→>0 因而Q→P而f(x,y)在P连续,因此|(xn,yn)-f(x→0,与 J(xn,yn)-f(x,y≥E0>0矛盾 定理3介值定理):设∫(x,y)在S上连续,且S是道路连通的,则对任意 P∈S,Q∈S,及c∈[f(P),f(Q,存在∈S,使得 ) 证明:S道路连通,则存在S中的连续曲线γ:t→(x(,y(),使得 y(0)=P,y(1)=Q,因此t→>f((1)是[0,1上连续函数.而c∈[fqy(0),f(y(1),由 元连续函数的介值定理,知存在∈[0,,使得∫(y(0))=c.令Q=y(t0),则 容易看出连续函数经加、减、乘、除和复合后仍是连续函数.特别的,我们常用的用 元初等函数经简单运算得到的多元函数都是连续的 设D={a,b×[c,d]<R2是R2中矩形区域,f(x,y)是D上连续函数.容易看出,固 定任意x∈[a,b]后,f(x0,y)是y在[c,d]上的连续函数.同样对任意y∈[c,d], ∫(x,y)是x在[ab]上的连续函数.但反之并不成立 例:令 f(x,y)=1x2+y2.(xy)≠(00) 0(x,y)=(00) ∫(x,y)对x和y都是连续的,但lnf(x,y)并不存在.因此作为二元函数∫(x,y)在 (0.0)点不连续 设ScR",TcRm,映射F:S→T称为向量函数.利用R”的坐标(x1,…,xn)和 R的坐标(y12…,ym),则F可表示为
9 0 Qnk - P0 £ Qnk - Pnk + Pnk - P0 ® , 因 而 Qnk ® P0 . 而 f (x, y) 在 P0 连 续 , 因 此 ( , ) - ( ¢ , ¢ ) ® 0 k k k k n n n n f x y f x y , 与 f (xn , yn ) - f (x¢ n , y¢ n ) ³ e0 > 0矛盾. 定 理 3(介值定理 ): 设 f (x, y) 在 S 上连续 , 且 S 是道路连通的 , 则对任意 P Î S, Q Î S , 及c Î[ f (P), f ( Q)] , 存在Q Î S ~ , 使得 f (Q) = c ~ . 证 明 : S 道路连通 , 则存在 S 中的连续曲线 g : t ® (x(t), y(t)) , 使 得 g (0) = P,g (1) = Q , 因此t ® f (g (t)) 是[0,1]上连续函数. 而c Î[ f (g (0)), f ( g (1))] , 由 一元连续函数的介值定理, 知存在 [0,1] t 0 Î , 使得 f ( (t )) = c 0 g . 令 ( ) ~ 0 Q = g t , 则 f (Q) = c ~ . 容易看出连续函数经加、减、乘、除和复合后仍是连续函数. 特别的, 我们常用的用一 元初等函数经简单运算得到的多元函数都是连续的. 设 2 D = [a,b]´[c,d] Ì R 是 2 R 中矩形区域, f (x, y) 是 D 上连续函数. 容易看出, 固 定任意 [ , ] x0 Î a b 后, ( , ) 0 f x y 是 y 在 [c, d] 上的连续函数. 同样对任意 [ , ] y0 Î c d , ( , ) 0 f x y 是 x 在[a, b]上的连续函数. 但反之并不成立. 例: 令 ï î ï í ì = ¹ = + 0, ( , ) (0,0). , ( , ) (0,0); ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y f (x, y) 对 x 和 y 都是连续的, 但 lim ( , ) 0 0 f x y y x ® ® 并不存在. 因此作为二元函数 f (x, y) 在 (0,0) 点不连续. 设 n m S Ì R , T Ì R , 映射 F : S ® T 称为向量函数. 利用 n R 的坐标 ( , , ) 1 n x L x 和 m R 的坐标( , , ) 1 m y L y , 则F 可表示为
y1=f1(x1…,xn) 其由m个在S上定义的n元函数组成.利用E-邻域,向量函数的连续性可表示为设P∈S 称F在P点连续,如果E>0,3δ>0,使得F(U(P,δ)∩S)cU(F(P),E).特别的,如 果我们在定义中用长方形E-邻域,则不难看出,向量函数 (x12…,xn)→(f1(x12…,xn),…,f厂m(x1…,x) 连续的充分必要条件是其每一个分量函数(x1…,xn)→f(x12…,xn)都是连续的 向量函数我们同样有:有界闭集上连续的向量函数有界,并且一致连续 习题 设xn是Rm中的点列,若它有极限,证明:xn有界 2.设∈R",=1=0,为与坐标向量e(=12…,m)的夹角,求证 l=(cos1,cos2,…cosn) 3.对任意x,y∈R (1)哥西不等式 x,y)≤|p 中等号何时成立? (2)三角不等式 +训≤ 中等号何时成立? 4.求下列集合Ω的边界g,内部Ω°和闭包Ω: (1)cR2,9=(xy)|0-l} (2)9cR2,g=(rcos6,rsin0)00
10 ï î ï í ì = = ( , , ) ( , , ) 1 1 1 1 m m n n y f x x y f x x L LLLLLLL L . 其由m 个在 S 上定义的 n 元函数组成. 利用e -邻域, 向量函数的连续性可表示为设PÎ S , 称 F 在 P 点连续, 如果"e > 0, $d > 0 , 使得F(U (P,d ) I S) Ì U (F(P), e ). 特别的, 如 果我们在定义中用长方形e -邻域, 则不难看出, 向量函数 ( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n x L x ® f x L x L f x L x 连续的充分必要条件是其每一个分量函数( , , ) ( , , ) 1 n i 1 n x L x ® f x L x 都是连续的. 对向量函数我们同样有: 有界闭集上连续的向量函数有界, 并且一致连续. 习题 1． 设 n x 是 m R 中的点列, 若它有极限, 证明: n x 有界. 2． 设 i i m l Î R , l = 1, =q 为l 与坐标向量e (i 1,2, ,m) i = L 的夹角, 求证: (cos , cos , ,cos ) 1 2 m l = q q L q . 3． 对任意 m x, y Î R , （1）哥西不等式 (x, y) £ x y 中等号何时成立？ （2）三角不等式 x + y £ x + y 中等号何时成立？ 4． 求下列集合W 的边界¶W, 内部W°和闭包 W : （1） , {( , ) 0 1, 1} 2 W Ì R W = x y - ； （2） , {( cosq , sin q ) 0 1, 0 q 2p} 2 W Ì R W = r r 0 m m R R ；
