第四章多元函数微分学 §2.1偏导数 设D是R中的区域,z=∫(x,y)是D上的函数.设B=(x,y0)∈D,我们希望定 义f(x,y)在P点的导数,即因变量相对于自变量的变化率.但如果将P=(x,y)作为变量 由于其是二维向量,没有除法,因此很难定义∫(x,y)-f(x0,y)相对于 P-P=(x-x,y-y0)的变化率.我们只能将P=(x,y)的分量x和y分别作为自变量 来定义导数 将y固定在y,则∫(x,y)是x的函数.如果lm f(x, yo)-f(xo, yo) 存在,则称 f∫(x,y)在(x0,y)处沿x方向可导,称极限为∫(x,y)在(x0,y)处关于x的偏导数,记之 为(x0,)或(x,3) 同样我们定义f(x,y)在(x,y)处沿y方向的偏导数(x0,y)为 lim /(xo,y)-/(xo, yo) y=yo 例:设f(x,y)=x如my2+y3,则2(x=如my2,而 (x,y) xcos y2 2y+3y2=2xycos y2+3 上例说明偏导数的计算仅是一元函数求导的简单推广.因此一元函数求导的公式和性 质对偏导数都成立 由偏导数的定义不难看出,(x,y)在(xn,3)处存在偏导数(x,),9(xn,x) a 仅与∫(x,y)沿x轴方向和y轴方向变化有关,与∫(x,y)在其余部分的取值无关因而与 元函数不同,偏导在一个点的存在不能得出函数在这点连续 例:设
1 第四章 多元函数微分学 §2.1 偏导数 设 D 是 2 R 中的区域, z = f ( x, y) 是 D 上的函数. 设 P0 = (x0 , y0 )Î D , 我们希望定 义 f (x, y) 在 P0 点的导数, 即因变量相对于自变量的变化率. 但如果将P = ( x, y) 作为变量, 由于其是二维向量 , 没有除法 , 因此很难定义 ( , ) ( , ) 0 0 f x y - f x y 相对于 ( , ) 0 0 0 P - P = x - x y - y 的变化率. 我们只能将 P = ( x, y) 的分量 x 和 y 分别作为自变量 来定义导数. 将 y 固定在 0 y , 则 ( , ) 0 f x y 是 x 的函数. 如果 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim 0 x x f x y f x y x x - - ® 存在, 则称 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处沿 x 方向可导, 称极限为 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处关于 x 的偏导数, 记之 为 ( , ) 0 0 x y x f ¶ ¶ 或 ( , ) 0 0 f x y x . 同样我们定义 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处 沿 y 方向的偏导数 ( , ) 0 0 x y y f ¶ ¶ 为 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim 0 y y f x y f x y y y - - ® . 例: 设 2 3 f (x, y) = x sin y + y , 则 2 sin ( , ) y x f x y = ¶ ¶ , 而 2 2 2 2 cos 2 3 2 cos 3 ( , ) x y y y xy y y y f x y = × × + = + ¶ ¶ . 上例说明偏导数的计算仅是一元函数求导的简单推广. 因此一元函数求导的公式和性 质对偏导数都成立. 由偏导数的定义不难看出, f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处存在偏导数 ( , ) 0 0 x y x f ¶ ¶ , ( , ) 0 0 x y y f ¶ ¶ 仅与 f (x, y) 沿 x 轴方向和 y 轴方向变化有关, 与 f (x, y) 在其余部分的取值无关. 因而与 一元函数不同, 偏导在一个点的存在不能得出函数在这点连续. 例: 设
f(x,y)=x+y -,(x,y)≠(00) 则(x0)-100)=0.0.y)-/00)=0.因此9(0.0)=90)=0。但 imf(x,y)并不存在,f(x,y)在(0.0)处不连续 引理1:设/(x,y)在区域D上处处有偏导、且=09=0,则/(x,y)在D上为 常数 这一引理说明与一元函数一样,处处有偏导的函数在差一常数的意义下由其偏导数唯 一确定。这一引理的证明留给读者作为思考题.通过这一引理不难理解,多元函数的性质是 可以通过其偏导数来反映的.所以虽然函数在一个点的偏导数仅说明了函数在x轴或y轴 方向的变化情况,但在一个区域上函数的性质是可以通过偏导数的研究得到的 2.2全微分 定义:设∫(x,y)定义在(x0,y)邻域上,称f(x,y)在(x0,y)可微,如果存在线性函 数A(x-x0)+B(y-y),使在(x0,y0)邻域上 (xy)-f(x1,)=4x-x)+By-x)+((x-x)+(-x) 由于上式仅在Ax=x-x0和△y=y-y0充分小时才有意义,我们令dx=Ax,d=△y,称 df=Adx+Bd为f(x,y)在(x0,y0)处的微分.上式表明 /(xo+, o+Ay)-/(xo, o)=Af=d+oAr+Ay2=d 令Δx>0,4y→>0,则有mf(x,y)=f(x0,y0).因此如果∫(x,y)在(x,y)处 可微,则其必在这点连续.但在上一节中我们已说明∫(x,y)在(x0,y0)处有偏导不能保证 其在这点连续.因此对于多元函数,其存在偏导时不一定可微.但如果其可微,则由 f(x。+△x,y0)-f(x,y) =A 2
2 ï î ï í ì = ¹ = + 0, ( , ) (0,0). , ( , ) (0,0); ( , ) 2 2 x y x y x y xy f x y 则 0. 0 (0, ) (0,0) 0, 0 ( ,0) (0,0) = - - = - - y f y f x f x f 因 此 0 (0,0) (0,0) = ¶ ¶ = ¶ ¶ y f x f . 但 lim ( , ) 0 0 f x y y x ® ® 并不存在, f (x, y) 在(0,0) 处不连续. 引理 1: 设 f (x, y) 在区域 D 上处处有偏导, 且 0, º 0 ¶ ¶ º ¶ ¶ y f x f , 则 f (x, y) 在 D 上为 常数. 这一引理说明与一元函数一样, 处处有偏导的函数在差一常数的意义下由其偏导数唯 一确定. 这一引理的证明留给读者作为思考题. 通过这一引理不难理解, 多元函数的性质是 可以通过其偏导数来反映的. 所以虽然函数在一个点的偏导数仅说明了函数在 x 轴或 y 轴 方向的变化情况, 但在一个区域上, 函数的性质是可以通过偏导数的研究得到的. §2.2 全微分 定义: 设 f (x, y) 定义在( , ) 0 0 x y 邻域上, 称 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 可微, 如果存在线性函 数 ( ) ( ) 0 0 A x - x + B y - y , 使在( , ) 0 0 x y 邻域上 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ). 2 0 2 0 0 0 0 0 f x y - f x y = A x - x + B y - y + o x - x + y - y 由于上式仅在 0 Dx = x - x 和 0 Dy = y - y 充分小时才有意义, 我们令dx = Dx, dy = Dy , 称 df = Adx + Bdy 为 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处的微分. 上式表明 ( , ) ( , ) ( ) . 2 2 0 0 0 0 f x + Dx y + Dy - f x y = Df = df + o Dx + Dy » df 令 Dx ® 0, Dy ® 0 , 则有 lim ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y y y x x = ® ® . 因此如果 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处 可微, 则其必在这点连续. 但在上一节中我们已说明 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 处有偏导不能保证 其在这点连续. 因此对于多元函数, 其存在偏导时不一定可微. 但如果其可微, 则由 ( ( ) ). ( , ) ( , ) 0 0 0 0 2 A o x x f x x y f x y = + D D + D -
得9(1)=A.同理9(xy)=B.因此如果(xy)在(,)处可微,则其必存 在偏导,并且d(xn,1)=9(x,)可(x,)0)d,这同时表明微分是唯一的 ay 定理1:如果f(x,y)在(x,y)的一个邻域上处处有偏导,且9(xy和9(x在 (x0,y0)处连续,则∫(x,y)在(x,y0)可微 证明:利用微分中值定理得 f(x, y)-f(xo, yo)=f(x, y)-f(xo, y)+f(xo, y)-f(xo,yo) af(x’,y) af(x,y) x-x)+ (y-y), x 其中x'∈[x,xly’∈[yy].因此 f(xy)-(x1)=°f(x0,y(x-x0)+by(④y-) af(xo, yo) x af(x,yo) af(ro, yo) |(x-x)+ af(xo, y)af(ro, yo) y=yo 由 在(x,y)连续,而 x-x|≤ X-x y)2,p-则l≤√(x-x)2+(y-10)2 得 f(x0,y0) af(xo,y , ax Oy(-1) +(x-x)+(-x) f(x,y)在(x0,y0)处可微 推论:如果和在D上处处存在且连续,则∫(x,y)在D上处处可微,因而也处 处连续 定理1中偏导连续并非可微的必要条件 例:令
3 得 A x f x y = ¶ ¶ ( , ) 0 0 . 同理 B y f x y = ¶ ¶ ( , ) 0 0 . 因此如果 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处可微, 则其必存 在偏导, 并且 dy y f x y dx x f x y df x y ¶ ¶ + ¶ ¶ = ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 . 这同时表明微分是唯一的. 定理 1: 如果 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 的一个邻域上处处有偏导, 且 x f x y ¶ ¶ ( , ) 和 y f x y ¶ ¶ ( , ) 在 ( , ) 0 0 x y 处连续, 则 f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 可微. 证明: 利用微分中值定理得 ( ), ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y f x y x x x f x y f x y f x y f x y f x y f x y f x y - ¶ ¶ ¢ - + ¶ ¶ ¢ = - = - + - 其中 [ , ], [ , ] 0 0 x¢Î x x y¢Î y y . 因此 ( ). ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y y y f x y y f x y x x x f x y x f x y y y y f x y x x x f x y f x y f x y ú - û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ ¢ ú - + û ù ê ë é ¶ ¶ - ¶ ¶ ¢ + - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = 由 y f x f ¶ ¶ ¶ ¶ , 在( , ) 0 0 x y 连续, 而 ( ) ( ) , ( ) ( ) , 2 0 2 0 0 2 0 2 0 0 x - x £ x - x + y - y y - y £ x - x + y - y 得 ( ( ) ( ) ). ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o x x y y y y y f x y x x x f x y f x y f x y + - + - - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = f (x, y) 在( , ) 0 0 x y 处可微. 推论: 如果 x f ¶ ¶ 和 y f ¶ ¶ 在 D 上处处存在且连续, 则 f (x, y) 在 D 上处处可微, 因而也处 处连续. 定理 1 中偏导连续并非可微的必要条件. 例: 令
0; 则由 Ax△ysin Ax2+△y Ax2+Ay2 2/Ax2+Ay 2 2 得 f∫(x,y)-f(00) 因此f(x,y)在(0,0)点可微,d(0,0)=0.但 af(x,y) =xsin-+x·coS 其在x→>0,y→>0时并无极限 §2.3微分的几何意义 对一元函数y=f(x),其微分=∫(x0)x代表的线性函数 y-yo=f(xo)(x-xo) 是y=∫(x)的曲线在(x,υy=∫(x)处的切线.微分就是这一切线的无穷小部分.我们 在充分小的意义下,用直线=∫(x0)x代替y=f(x)的弯的曲线 对二元函数z=∫(x,y),设其在(x0,y0)处可微,则其微分 of(xo,y)A可f(x0,y0) d x+ 表示的线性函数 (x0,y0) d(o, yo) (y-y) 是过z=f(x,y)的曲面上点(x0,y0,-0=f(x0,y)的平面.△f≈d表明我们希望在无 穷小的意义下,用微分表示的平面代替曲面.即我们希望这一平面是所有过(x0,yo,=0)的 平面中与z=f(x,y)的曲面贴得最紧的平面,或者说曲面在这点的切面.为此我们需要先
4 ïî ï í ì = ¹ = 0, 0. , 0; 1 sin ( , ) y y y xy f x y 则由 0 2 1 2 1 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = D + D ® D + D D + D £ D + D D D £ D + D D D D x y x y x y x y x y x y y x y 得 ( , ) (0,0) ( ). 2 2 f x y - f = o Dx + Dy 因此 f (x, y) 在(0,0) 点可微, df (0,0) = 0 . 但 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + × × - ¶ ¶ y y x y x y f x y 1 1 cos 1 sin ( , ) , 其在 x ® 0, y ® 0 时并无极限. §2.3 微分的几何意义 对一元函数 y = f (x), 其微分dy f (x )dx 0 = ¢ 代表的线性函数 ( )( ) 0 0 0 y - y = f ¢ x x - x 是 y = f (x)的曲线在 ( , ( )) 0 0 0 x y = f x 处的切线. 微分就是这一切线的无穷小部分. 我们 在充分小的意义下, 用直线dy f (x )dx 0 = ¢ 代替 y = f (x)的弯的曲线. 对二元函数 z = f ( x, y) , 设其在( , ) 0 0 x y 处可微, 则其微分 dy y f x y dx x f x y dz ¶ ¶ + ¶ ¶ = ( , ) ( , ) 0 0 0 0 表示的线性函数 ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 y y y f x y x x x f x y z z - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = 是过 z = f ( x, y) 的曲面上点 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 x y z = f x y 的平面. Df » df 表明我们希望在无 穷小的意义下, 用微分表示的平面代替曲面. 即我们希望这一平面是所有过 ( , , ) 0 0 0 x y z 的 平面中与 z = f ( x, y) 的曲面贴得最紧的平面, 或者说曲面在这点的切面. 为此我们需要先
给切面一个几何的定义 定义:设P=(x0,y,=0)是曲面Σ上 的一点,过P点的平面a称为Σ在P点的 切面,如果曲面上的点P趋于P0时,P到 平面a的距离是比P到P的距离高阶的无 穷小 如图,设M是P点到a的垂线的交点 a为切面等价于!M=0 定理1:设曲面Σ由z=f(x,y)给出,则Σ在点(x,y,二0=f(x0,y0)有切面的充分 必要条件是f(x,y)在(x0,y0)可微.z--可(x,y) (y-y) 就是Σ在(x,y0,二0)处的切面 证明:如上图设a由z--0=A(x-x0)+B(y-y)给出,N为P沿z轴到a的投 影点.由 常数,因此α为切面等价于lm PP PN=5/(x,y)-((o, yo)+A(x-xo)+B(y-yo) P|√((x,y)-f(x,y)2+(x-x)2+(y-y)2 如果z=f(x,y)在(x0,y0)处可微,即 f(x,y)-|f(x,y0) af(xo, yo2(x-x0)+ ay f(x0,y0) (y-y x (x-x0)2+(y-y)2 山p4-x)+0=)可→0.曲面有切面而 2/(x0f(x0,yy-1)+”0(x-x) af(o, yo) 就是曲面在(x0,y0,=0=f(x0,y))处的切面
5 给切面一个几何的定义. 定义: 设 ( , , ) 0 0 0 0 P = x y z 是曲面S 上 的一点, 过 P0 点的平面a 称为 S 在 P0 点的 切面, 如果曲面上的点 P 趋于 P0 时, P 到 平面a 的距离是比 P 到 P0 的距离高阶的无 穷小. 如图, 设M 是 P 点到a 的垂线的交点, a 为切面等价于 lim 0 0 0 = ® PP PM P P . 定理 1: 设曲面S 由 z = f ( x, y) 给出, 则S 在点( , , ( , )) 0 0 0 0 0 x y z = f x y 有切面的充分 必要条件是 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 可微. ( ) ( , ) ( ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 y y y f x y x x x f x y z z - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = 就是S 在( , , ) 0 0 0 x y z 处的切面. 证明: 如上图. 设a 由 ( ) ( ) 0 0 0 z - z = A x - x + B y - y 给出, N 为 P 沿 z 轴到a 的投 影点. 由 = PM PN 常数, 因此a 为切面等价于 lim 0 0 0 = ® PP PN P P . 但 ( ( , ) ( , )) ( ) ( ) . ( , ) ( ( , ) ( ) ( )) , 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 PP f x y f x y x x y y PN f x y f x y A x x B y y = - + - + - = - + - + - 如果 z = f ( x, y) 在( , ) 0 0 x y 处可微, 即 0 ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ® - + - ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - + x x y y y y y f x y x x x f x y f x y f x y . 由 2 0 2 0 0 PP ³ (x - x ) + (y - y ) 得 0 0 ® PP PN . 曲面有切面, 而 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x y y y x f x y z f x y - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - = 就是曲面在( , , ( , )) 0 0 0 0 0 x y z = f x y 处的切面. z a P0 P M y N x
设z-0=A(x-x0)+B(y-y)是Σ在(x,y0,=0)的切面.要证明定理的结论,仅 需证 PM‖ (x-x0)2+(y-y0)2 但已知 有界即可 PP →0,因此只需证 x-x0)2+(y-y)2 →0,不妨取P充分接近于P,使 得 (x,y)=f(x,y)14-x4+1y-y4+P 两边除√x-x)2+(y-y)2,由P!表达式得 If(x, y)-f(xo, yo ≤|4+|B f(x,y)-∫(x0,y0) (x-x0)2+(y-y)2 (x-x0)2+(y-y) 1,(xy)-/f(x2y ≤|4+1+1+ x-x0)2+(y-y0)2 因此 If(x, y)-f(xo, yo) ≤2(4+|B)+1 (x-x0)2+(y-y)2 而 f(x,y)-f(x0,y0) (x-x0)2+(y-y0)2 (x-x0)2+(y-yn)2 ≤|+(xy)-f(x02y) ≤2(4+4+1) 定理得证 设曲面Σ是F(x,y,z)=0给出,F(x,y,z)可微.在下一章隐函数定理中我们将证明 如果F(xn,1)=0,.面(xn,)≠0,则存在(x1,)的邻域U和U上可微的函 数z=f(x,y),使在(x0,yo,=0)的一个邻域上,曲面Σ由z=f(x,y)给出.特别的,其有
6 设 ( ) ( ) 0 0 0 z - z = A x - x + B y - y 是 S 在( , , ) 0 0 0 x y z 的切面. 要证明定理的结论, 仅 需证 0. ( ) ( ) 2 0 2 0 ® x - x + y - y PN 但已知 0 0 ® PP PN , 因此只需证 2 0 2 0 0 (x x ) (y y ) PP - + - 有界即可. 由 0 0 ® PP PN , 不妨取P 充分接近于 P0 , 使 2 1 0 < PP PN , 得 . 2 1 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 PP0 f x y - f x y £ A x - x + B y - y + 两边除 2 0 2 0 (x - x ) + (y - y ) , 由 PP0 表达式得 . ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - - £ + + + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - - £ + + + - + - - x x y y f x y f x y A B x x y y f x y f x y A B x x y y f x y f x y 因此 2( ) 1. ( ) ( ) ( , ) ( , ) 2 0 2 0 0 0 £ + + - + - - A B x x y y f x y f x y 而 2( 1). ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( ) 2 0 2 0 0 0 2 2 0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 £ + + - + - - £ + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - + - - = + - + - A B x x y y f x y f x y x x y y f x y f x y x x y y PP 定理得证. 设曲面 S 是 F( x, y,z) = 0给出, F( x, y,z) 可微. 在下一章隐函数定理中我们将证明 如果 F(x0 , y0 ,z0 ) = 0, 而 0 ( , , ) 0 0 0 ¹ ¶ ¶ z F x y z , 则存在( , ) 0 0 x y 的邻域U 和U 上可微的函 数 z = f ( x, y) , 使在( , , ) 0 0 0 x y z 的一个邻域上, 曲面S 由 z = f ( x, y) 给出. 特别的, 其有
切面 对F(x,y,f(x,y)=0微分得 0=-dx+-dy+-df 因此在(x0,y0,0)的切面d=df可表示为 0=0(xny,)+2(xn,1=0)d+2(ny=) 或 OF(o, yo, =o) aF(xo,yo, =0) (y-y0)+ aF(x,y0,=0) Ox §2.4高阶偏导与累次极限 设∫(x,y)在区域D上处处存在偏导,则 af(x,y) a(x, y) 也是D上的函数.如果 其仍可导,则称∫(x,y)在D上存在二阶偏导,记之为 a2=0 aa(afa/(af ayax ay( ax/ ay2 ay 也记为Jx,n,Jx,Jy 例:设f(x,y)=sn(x2+y2)+x3,则 cos(x+y) ayax 而 =-cos(x+y). 2y sin( x+y). 2y 2x Oxo 上例中 af af 因此一个自然的问题是这一等式是否对任意∫(x,y)都成立,即 away ayax 7
7 切面. 对 F( x, y, f ( x, y)) º 0 微分得 0 df . z F dy y F dx x F ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = 因此在( , , ) 0 0 0 x y z 的切面dz = df 可表示为 dz z F x y z dy y F x y z dx x F x y z ¶ ¶ + ¶ ¶ + ¶ ¶ = ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 或 ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) ( ) ( , , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 z z z F x y z y y y F x y z x x x F x y z - ¶ ¶ - + ¶ ¶ - + ¶ ¶ = . §2.4 高阶偏导与累次极限 设 f (x, y) 在区域 D 上处处存在偏导, 则 x f x y ¶ ¶ ( , ) , y f x y ¶ ¶ ( , ) 也是 D 上的函数. 如果 其仍可导, 则称 f (x, y) 在 D 上存在二阶偏导, 记之为 , . , , 2 2 2 2 2 2 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ ÷ ø ö ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ y f y y f x f y x y f y f x y x f x f x x f 也记为 xx xy yx yy f , f , f , f . 例: 设 2 2 3 f (x, y) = sin( x + y ) + x , 则 x y x y y x f x y x x x f cos( ) 2 3 , sin( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 = - + × × ¶ ¶ ¶ = + × + ¶ ¶ , 而 x y y x x y f x y y y f cos( ) 2 , sin( ) 2 2 2 2 2 2 2 = - + × × ¶ ¶ ¶ = - + × ¶ ¶ . 上例中 y x f x y f ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ 2 2 . 因此一个自然的问题是这一等式是否对任意 f (x, y) 都成立, 即
求导过程是否可交换?一般来说,求导过程不是任意可交换的 例:设 x f∫(x,y)= ,(x,y)≠(0,0) 0 (x,y)=(0,0 f(x, y)y (x,y)≠(0,0) (x,y)=(0,0 d(x,y)x (x,y)≠(0,0) (x,y)=(0,0), 因而9(0y) 290y)=-1.而9(x0)=x,得(x0 =1.特别的 83f(0.0)_1-a2f(00) axo ayo 在微积分中求导顺序可交换是一个基本要求,否则会给许多计算和应用带来麻烦.从 另一个角度,在初等数学中我们有加法和数乘这样基本的运算,微积分中我们引进了极限 求导、求积分等运算,这些运算都有线性性即其与加法和数乘都是可交换的(或者说是相 容的).一个自然的问题是这些运算之间是否可交换这一点我们将在以后函数级数和参变 量积分中进行更详细的讨论.上例说明我们需要加上合适的条件才能保证这样的交换是 般可行的.为此我们需要回到偏导数的定义 由定义得 a2 f(x, y)=lim f(x+Ax,y+Ay)-(x+4x,y)_im f(x,y+4y)-f(x,y) Ax→0 limo ao Arde. l(+Ar, y+Ay)-f(+Ax, y)-f(x, y + Ay)+f(x, y) 同理得 a2f(x,y)=limlim ayax 4y→0△x0△x△ [f(x+△x,y+△y)-f(x+△x,y)-f(x,y+△y)+f(x,y) 因此偏导可交换的问题等价于两个极限过程 lim lim与 lim lim可交换.极限 lim lim称 Ax→0A→0M-0Ax→0 →0A 8
8 求导过程是否可交换?一般来说, 求导过程不是任意可交换的. 例: 设 ï î ï í ì = ¹ + - = 0, ( , ) (0,0). , ( , ) (0,0); ( ) ( , ) 2 2 2 2 x y x y x y xy x y f x y 则 ï î ï í ì = ¹ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + - ¶ ¶ + + - = ¶ ¶ ï î ï í ì = ¹ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + - ¶ ¶ + + - = ¶ ¶ 0, ( , ) (0,0), ( , ) , ( , ) (0,0); 0, ( , ) (0,0), ( , ) , ( , ) (0,0); 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y y xy x y x y x y f x y x y x y x y x y x xy x y x y y x f x y 因而 y x f y = - ¶ ¶ (0, ) , 得 1 (0, ) 2 = - ¶ ¶ ¶ y x f y . 而 x y f x = ¶ ¶ ( ,0) , 得 1 ( ,0) 2 = ¶ ¶ ¶ x y f x . 特别的, 1 (0,0) 1 (0,0) 2 2 = - ¶ ¶ ¶ = ¹ ¶ ¶ ¶ y x f x y f . 在微积分中求导顺序可交换是一个基本要求, 否则会给许多计算和应用带来麻烦. 从 另一个角度, 在初等数学中我们有加法和数乘这样基本的运算, 微积分中我们引进了极限、 求导、求积分等运算, 这些运算都有线性性, 即其与加法和数乘都是可交换的（或者说是相 容的）. 一个自然的问题是这些运算之间是否可交换. 这一点我们将在以后函数级数和参变 量积分中进行更详细的讨论. 上例说明我们需要加上合适的条件才能保证这样的交换是一 般可行的. 为此我们需要回到偏导数的定义. 由定义得 [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]. 1 1 lim lim ( , ) ( , ) lim ( , ) ( , ) lim 1 lim ( , ) 0 0 0 0 0 2 f x x y y f x x y f x y y f x y x y y f x y y f x y y f x x y y f x x y x y x f x y x y x y y + D + D - + D - + D + D D = ú û ù ê ë é D + D - - D + D + D - + D D = ¶ ¶ ¶ D ® D ® D ® D ® D ® 同理得 [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]. 1 1 lim lim ( , ) 0 0 2 f x x y y f x x y f x y y f x y y x x y f x y y x + D + D - + D - + D + D D = ¶ ¶ ¶ D ® D ® 因此偏导可交换的问题等价于两个极限过程 0 0 lim lim Dx® Dy® 与 0 0 lim lim Dy® Dx® 可交换. 极限 0 0 lim lim Dx® Dy® 称
为累次极限,其一般交换性将在以后讨论这里我们利用重极限给出其可交换的一个充分条 件 定理1:设x是集合AcR的极限点,y是集合B的极限点,∫(x,y)是AxB上的 函数.如果y∈B,单极限lmf(x,y)=g(y)存在,且重极限lmnf(x,y)存在,则累次 y→o 极限 lm lim f(x,y)存在并与重极限相等 y→yX→x 证明:设lmf(x,y)=c,则VE>0,36>0,只要0sx-x<6,0sy-yo<6 (xy)∈AxB,就有f(xy)-d<E.令x→x得g(y)-c≤E,即 lm g()=lmlm f(x,y)=c 推论:在定理1中如果假设单极限Imf(x,y)也存在,则累次极限 lm lim f(x,y)和 lm lim f(x,y)都存在且相等 由这一推论,要得到_2 我们只需重极限 lm[f(x+△x,y+4y)-f(x+△x,y)-f(x,y+△y)+f(x,y)] →0△x·A 存在即可 定理2:设f(x,y)在(x,y)邻域上有一阶偏导了(xy),可(x,y)和二阶偏导 a2f(xy).并且 02f(x,y在(x0,y0)连续,则CJ(x0,y0)存在并与(xn,y) 相等 axa Oxo dxdy 证明:一阶偏导存在保证了单极限 △x→0△x△y [f(x0+△x,y0+△y)-f(x0+△x,y)-f(xy0+4y)+f(xo,y U(o+ Ax,yo +Ay)-f(x,+ Ax, yo)-f(xo, yo+Ay)+f(xo,yo)I 匀→△x△y
9 为累次极限, 其一般交换性将在以后讨论. 这里我们利用重极限给出其可交换的一个充分条 件. 定理 1: 设 0 x 是集合 A Ì R 的极限点, 0 y 是集合 B 的极限点, f (x, y) 是 A´ B 上的 函数. 如果"y Î B , 单极限 lim ( , ) ( ) 0 f x y g y x x = ® 存在, 且重极限 lim ( , ) 0 0 f x y y y x x ® ® 存在, 则累次 极限 lim lim ( , ) 0 0 f x y y® y x®x 存在并与重极限相等. 证明: 设 f x y c y y x x = ® ® lim ( , ) 0 0 , 则"e > 0, $d > 0 , 只要0 £ x - x0 < d, 0 £ y - y0 < d , ( x, y) Î A´ B , 就有 f (x, y) -c < e . 令 0 x ® x , 得 g(y) - c £ e , 即 g y f x y c y y y y x x = = ® ® ® lim ( ) lim lim ( , ) 0 0 0 . 推论: 在定理 1 中如果假设单极限 lim ( , ) 0 f x y y® y 也存在, 则累次极限 lim lim ( , ) 0 0 f x y y® y x®x 和 lim lim ( , ) 0 0 f x y x®x y® y 都存在且相等. 由这一推论, 要得到 y x f x y f ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ 2 2 , 我们只需重极限 [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )] 1 lim 0 0 f x x y y f x x y f x y y f x y x y y x + D + D - + D - + D + D × D D ® D ® 存在即可. 定理 2: 设 f (x, y) 在 ( , ) 0 0 x y 邻域上有一阶偏导 x f x y ¶ ¶ ( , ) , y f x y ¶ ¶ ( , ) 和二阶偏导 x y f x y ¶ ¶ ¶ ( , ) 2 , 并且 x y f x y ¶ ¶ ¶ ( , ) 2 在( , ) 0 0 x y 连续, 则 y x f x y ¶ ¶ ¶ ( , ) 0 0 2 存在并与 x y f x y ¶ ¶ ¶ ( , ) 0 0 2 相等. 证明: 一阶偏导存在保证了单极限 [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )] 1 lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x y y f x x y f x y y f x y x x y + D + D - + D - + D + D ® D D 以及 [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )] 1 lim 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x y y f x x y f x y y f x y y x y + D + D - + D - + D + D ® D D
存在.而利用微分中值定理得 (x0+△x,y0+4y)-f(x0+△x,y)-(f(x0,y+△y)-f(xn,y) △x△ 1 9(+Ax, yo+0, 4y)_a(xo: yo+0, 4y) ay a2f(x+02△x,y+0△y) 其中00 ax ay ay(ax §25复合函数求导,方向导数与梯度 设D是R"中开集,F:D→Rm是D上向量函数,表示为 F:(x1…,xn)→(f1(x1,…,xn),…,f厂n(x1,…xn) 称F存在偏导,如果F的每一个分量函数∫(x1…,xn)都存在偏导.称F为C′的映射
10 存在. 而利用微分中值定理得 [( ) ( )] , ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 0 2 0 1 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 x y f x x y y y f x y y y f x x y y x f x x y y f x x y f x y y f x y x y ¶ ¶ ¶ + D + D = ú û ù ê ë é ¶ ¶ + D - ¶ ¶ + D + D D = + D + D - + D - + D - D D q q q q 其 中 0 < q1 <1, 0 <q2 < 1 . 由 x y f x y ¶ ¶ ¶ ( , ) 2 在 ( , ) 0 0 x y 连 续 , 得重极限存在并与 x y f x y ¶ ¶ ¶ ( , ) 0 0 2 相等. 定理得证. 定义: 设 D 是 2 R 中的区域, 称 f (x, y) C (D) r Î , 如果对 D 的每一点, f (x, y) 的所 有r 阶偏导都存在且连续. 不难看出, 如果 f C (D) r Î , 则 f 的所有小于等于 r 阶的偏导都连续, 因而求导与顺 序无关. 一般的, 设 ( , , ) 1 n f x L x 有r 阶连续偏导, 由于其导数与顺序无关, 因此将其导数按变 元顺序表示为 n i n i n r x x f x x ¶ ¶ ¶ L L 1 1 1 ( , , ) , 其中i i r 1 +L+ n = . 例: 设 2 ( , ) ( 4 5)sin 3 2 y f x y = x + x - e , 求 4 6 10 ( , ) x y f x y ¶ ¶ ¶ . 解: 由 0 4 4 = ¶ ¶ x f , 而 ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ ¶ ¶ = ¶ ¶ ¶ 4 4 6 6 4 6 10 ( , ) x f x y y f x y , 得 0 ( , ) 4 6 10 = ¶ ¶ ¶ x y f x y . §2.5 复合函数求导, 方向导数与梯度 设 D 是 n R 中开集, m F : D ® R 是 D 上向量函数, 表示为 :( , , ) ( ( , , ), , ( , , )) 1 n 1 1 n m 1 n F x L x ® f x L x L f x L x , 称 F 存在偏导, 如果 F 的每一个分量函数 ( , , ) i 1 n f x L x 都存在偏导. 称 F 为 r C 的映射