第九章再论实数系 §2实数闭区间的紧致性 1.利用有限覆盖定理9.2证明紧致性定理9.4. 提示:关键是要证明在a,中存在一点x0,使得xo的任意一个邻域都 存在数列{xrn}中的无穷多项,应用反证法。 10.设f(x)是(a,b)上的凸函数,且有上界,求 证:limf(x),limf(x)存在 提示:取=(a+b)/2,注意到函数F(x)=)=为(a,b)上的增函 数 12.设f(x)在0,+∞)上连续且有界,对任意a∈(-∞,+∞),f(x)=a 在0,+∞)上只有有限个根或无根,求证:limf(x)存在 提示:用闭区间套套出imf(x)的极限值。 §3实数的完备性 1,设f(x)在(a,b)连续,求证:f(x)在(a,b)一致连续的充要条件 是limf(x)与limf(x)都存在 提示:必要性应用柯西收敛原理。 2.求证数列xn=1+1 当n→∞时的极限不存在
第九章 再论实数系 §2 实数闭区间的紧致性 1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 提示：关键是要证明在[a, b]中存在一点x0, 使得x0的任意一个邻域都 存在数列{xn}中的无穷多项，应用反证法。 10． 设f(x) 是(a, b) 上 的 凸 函 数 ， 且 有 上 界 ， 求 证： lim x→a+ f(x), lim x→b− f(x) 存在． 提示：取x0 = (a + b)/2,注意到函数F(x) = f(x)−f(x0) x−x0 为(a, b)上的增函 数。 12．设f(x) 在[0, +∞) 上连续且有界，对任意a ∈ (−∞, +∞), f(x) = a 在[0, +∞) 上只有有限个根或无根，求证： lim x→+∞ f(x) 存在． 提示：用闭区间套套出 lim x→+∞ f(x)的极限值。 §3 实数的完备性 1，设f(x) 在(a, b) 连续，求证：f(x) 在(a, b) 一致连续的充要条件 是 lim x→a+ f(x)与 lim x→b− f(x) 都存在. 提示：必要性应用柯西收敛原理。 2．求证数列xn = 1 + √ 1 2 + · · · + √ 1 n 当n → ∞ 时的极限不存在． 1
提示:应用柯西收敛原理。注意到n>0,有 1=+n+2 n+n 3.利用柯西收敛原理讨论下列数列的收敛性: 提示:应用柯西收敛原理。注意到n,p>0,有 l -anl 1)n+2 +(-y +p+1 n+p √n+2 n+ n+1√n+2 +(-1)2+11 1 n+ 6.证明下列极限不存在: (1)In=n- cos 2nt 提示:分别考虑xn的两个子列 3k+ k 的极限。 7.设f(x)在(a,+∞)上可导,f(x)单调下降,且limf(x)存在, 求证imrf"(x)
提示：应用柯西收敛原理。注意到∀n > 0, 有 |x2n − xn| = 1 √ n + 1 + 1 √ n + 2 + · · · + 1 √ n + n ≥ n √ 2n = 1 2 3．利用柯西收敛原理讨论下列数列的收敛性： (3) xn = 1 − 1 2 + 1 3 · · · + (−1)n+1 1 n . 提示：应用柯西收敛原理。注意到∀n, p > 0, 有 |xn+p − xn| = |(−1)n+2 1 √ n + 1 + (−1)n+3 1 √ n + 2 + · · · + (−1)n+p+1 1 √ n + p | = | 1 √ n + 1 − 1 √ n + 2 + · · · + (−1)p+1 1 √ n + p | = 1 √ n + 1 − 1 √ n + 2 + · · · + (−1)p+1 1 √ n + p ≤ 1 √ n + 1 6．证明下列极限不存在： (1) xn = n−1 n+1 cos 2nπ 3 ; 提示：分别考虑xn的两个子列 x3k = 3k − 1 3k + 1 , x3k+1 = 3k 3k + 2 cos 2 3 π 的极限。 7．设f(x) 在(a, +∞) 上可导，|f 0 (x)| 单调下降，且 lim x→+∞ f(x) 存在， 求证 lim x→+∞ xf0 (x) = 0 ． 2
提示:应用柯西中值定理。 8.设f(x)在(-∞,+∞)可导,且f(x)≤k0,有 In+i-EnI= f(an)-f(In-1) f′(n)(xn-xn-1)(5n在xn和xn-1之间) 从而有 p- nl =l(nti 1)+…+(xn+2-xn+1) ≤|xn+p-xn+p-1|+…+|xn+2-xn+1 ≤(k ntp- n+)lC1-Tol 1-k §4再论闭区间上连续函数的性质 1.设f(x)在a,上连续,并且最大值点xo是唯一的,又设xn∈{a, 使limf(xn)=f(xo),求证 lim r=x0 3
提示：应用柯西中值定理。 8．设f(x) 在(−∞, +∞) 可导，且|f 0 (x)| 6 k 0, 有 |xn+1 − xn| = |f(xn) − f(xn−1)| = |f 0 (ξn)(xn − xn−1)| (ξn在xn和xn−1之间) ≤ k|xn − xn−1| ≤ k 2 |xn−1 − xn−2| ≤ · · · ≤ k n |x1 − x0| 从而有 |xn+p − xn| = |(xn+p − xn+p−1) + · · · + (xn+2 − xn+1)| ≤ |xn+p − xn+p−1| + · · · + |xn+2 − xn+1| ≤ (k n+p−1 + · · · + k n+1)|x1 − x0| ≤ k n+1(1 − k p ) 1 − k ≤ k n+1 1 − k . §4 再论闭区间上连续函数的性质 1．设f(x) 在[a, b] 上连续，并且最大值点x0 是唯一的，又设xn ∈ [a, b] ，使 limn→∞ f(xn) = f(x0) ，求证 limn→∞ xn = x0 3
提示:利用2习题6的结论。 3.设f(x)在a,b连续,f(a)0),求证:存在∈(a,b), 使f(5)=0,且f(x)>0(50} 则集合A非空且有下界。利用确界原理知A有下确界,再证明这个下确界 即为所求的 5可积性 判断下列函数在区间0,1上的可积性: (1)f(x)在0,1上有界,不连续点为x=是(n=1,2,…); 提示:利用的收敛性。 3.设f(x),(x)都在{a,上可积,证明: M(r)=max(f(a), g(a)), m(a)= min((a), g(a)) 在,上也是可积的 提示 max(f(a), g()) (f(x)+g(x)+|f(x)-9(x) min(f(x),y(2)(f(x)+g(x)-|f(x)-9(x) 8.若函数f(x)在[A,B可积,证明 lim/If(a+h)-f(r)ld. =0
提示：利用§2习题6的结论。 3．设f(x) 在[a, b] 连续，f(a) 0) ，求证：存在ξ ∈ (a, b) ， 使f(ξ) = 0 ，且f(x) > 0(ξ 0} 则集合A非空且有下界。利用确界原理知A有下确界，再证明这个下确界 即为所求的ξ. §5 可积性 1．判断下列函数在区间[0, 1] 上的可积性： (1) f(x) 在[0, 1] 上有界，不连续点为x = 1 n (n = 1, 2, · · ·) ； 提示：利用1 n的收敛性。 3．设f(x), g(x) 都在[a, b] 上可积，证明： M(x) = max(f(x), g(x)), m(x) = min(f(x), g(x)) 在[a, b] 上也是可积的． 提示： max(f(x), g(x)) = (f(x) + g(x)) + |f(x) − g(x)| 2 min(f(x), g(x)) = (f(x) + g(x)) − |f(x) − g(x)| 2 8．若函数f(x) 在[A, B] 可积，证明： lim h→0 Z b a |f(x + h) − f(x)|dx = 0, 4
其中A<a<b<B(这一性质称为积分的连续性) 提示:利用习题5的结论。 9.设f(x)≥0,f"(x)≤0,对任意∈a,b成立,求证: 2 f(x)≤ f(ar)d 提示:由于函数是下凸的的,所以 ∫(x)-f(a)、f(b)-f(a) b-a 11.设f(x)在n,b可积,求证;存在连续函数序列≠n(x),n=1,2 使 lim f(rd 提示:利用习题5的结论
其中A 0, f00(x) 6 0, 对任意x ∈ [a, b] 成立，求证： f(x) 6 2 b − a Z b a f(x)dx. 提示：由于函数是下凸的的，所以 f(x) − f(a) x − a ≥ f(b) − f(a) b − a 11．设f(x) 在[a, b] 可积，求证；存在连续函数序列ϕn(x), n = 1, 2, · · · ，使 limx→∞ Z b a ϕn(x)dx = Z b a f(x)dx. 提示：利用习题5的结论。 5