《数学分析》课程教学资源（试题集锦）释疑解惑释疑解惑 第一章

释疑解惑 第一章实数集与函数 §1实数 问题1为什么2001与20009999…示同一实数? 答因为 0.00l= =3×0.0003333… =0.0009999 于是20001与20009999…表示同一实数为了实数的无限十进小数表示的唯一性,约定把2001 表示为20009999… 问题2为什么有理数P(p,q为互质的整数,q≠0)可以表示为无限十进循环小数? 答不妨设有理数P∈(0,1),p(q由实数的阿基米德性可知:存在a1和r,使得 q 10p=a1q+r1,0≤a1≤9,0≤F≤q-1 (注:对10p,q,(i)若10pq 由实数的阿基米德性,存在正整数a1,010p,a1q≤10p,于是r=10pa1q 于是 p al rI 1010 同样成立 10r1=a2q+r2,0≤a2≤9,0≤r2≤q-1, 于是 02g,0≤ P 1010210 重复以上步骤可得 0r;=a,q+ 10rn1=anq+r,0≤an≤9,0≤rn≤q-1

释疑解惑 第一章 实数集与函数 §1 实数 问题 1 为什么 2.001 与 2.000 999 9…表示同一实数？ 答 因为 0.001= 1000 1 =3× 3000 1 =3×0.000 333 3… =0.000 999 9…， 于是 2.0001 与 2.000 999 9…表示同一实数. 为了实数的无限十进小数表示的唯一性，约定把 2.001 表示为 2.000 999 9…. 问题 2 为什么有理数 q p （p，q 为互质的整数，q≠0）可以表示为无限十进循环小数？ 答 不妨设有理数 q p ∈（0，1），pq， 由实数的阿基米德性，存在正整数 1 a ，010p， 1 a q≤10p，于是 1 r =10p- 1 a q.） 于是 q a r q p 10 10 1 1 = + ，0≤ q r 10 1 < 10 1 同样成立 10 1 r = 2 a q+ 2 r ，0≤ 2 a ≤9，0≤ 2 r ≤q-1， 于是 q a r q r 2 2 2 1 2 10 10 10 = + ，0≤ q r 2 2 10 < 2 10 1 ， q a a r q p 2 2 2 1 2 10 10 10 = + + 重复以上步骤可得 10 1 1 p = a q + r 10 1 2 2 r = a q + r ………… （1.1） n n n r = a q + r 10 −1 ，0≤ n a ≤9，0≤ n r ≤q-1

于是有 p aa an+,0≤h0,当 同理可证infS=1.但是supS,infS关不是S的最大、最小数 若非空有界数集S的上确界supS∈S,则supS是最大数;若S的下确界infS∈S,则infS是最 小数.故对于有界无限数蒋来说,其上(下)确界可以看作最大(小)数的推厂 问题2怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述? 答无下界集:设数集ScR,若VL,丑x∈S,使得x0,丑x∈S,使得|x>M,则称S是无界集 例如,S=+nrhm=12…}是无下界集这是因为vL,3 比较有界集与无界集的定义,把有界集定义中“彐M>0”换成“VM>0”;“Vx∈S”换成“彐x∈S

于是有 q a a a r q p n n n n 10 10 10 10 2 1 2 = + ++ + ，0≤ q r n n 10 0，当 同理可证 inf S=-1.但是 sup S，inf S 关不是 S 的最大、最小数. 若非空有界数集 S 的上确界 sup S  S，则 sup S 是最大数；若 S 的下确界 inf S  S，则 inf S 是最 小数. 故对于有界无限数蒋来说，其上（下）确界可以看作最大（小）数的推广. 问题 2 怎样给出无下界数集和无界数集的正面了陈述？ 答 无下界集：设数集 S  R，若 L ，x S ，使得 x0，x S ，使得|x|>M，则称 S 是无界集. 例如，S= ( )  1,2,  1 − = − n n n 是无下界集. 这是因为 L ，n = 比较有界集与无界集的定义，把有界集定义中“ M >0”换成“ M >0”；“ xS ”换成“ x S ”；

不等式“冈≤M”换成“kx>M”,即可得无界集的正面陈述无上界集的含义是任何M都不是数集 的上界.把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解,有利于掌握否定形式的陈述 问题3怎样给出数不是数集S的上确界的正面陈述? 答若不是数集S的上确界,则或者不是S的上界,或者是S的上界,但不是最小上界 于是数∠不是数集S的上确界的正面陈述为: (i)3x∈S,使得x0);或者 (i)3a01,试问复合函数fg和gf是否存在? 答设有两函数 y=f(u),u∈D,u=g(x),x∈E, 记E*={xg(x)∈D}∩E,若E*≠0,则f与g可以复合成函数 y=f(g(x),x∈E* 1,u为有理数 (1)对f(u) D=R,g(x)=-,k>1,E={x|>1},有E*={xg(x)∈D∩E=E 0,u为无理数 于是f与g可以复合成f”g,其定义域为E (2)对g(u=一,D={uu>1} x为有理数, f(x)= 0,x为无理数 xf(x)∈D;∩E=0 于是g与f不能复合为g°f 问题2等式 arcsin(sinx)=x,x∈R是否正确?若不正确,它与f((x)=x,x∈D(其中f-1 是f的反函数)是否有矛盾? 答x∈R,等式 arcsin(sinx)=是错误的这是因为 arcsin y是反正弦函数的主值,-z iny≤, arcsin(sinx)的值应当取在[ 丌丌 23/k

不等式“|x|≤M”换成“|x|>M”，即可得无界集的正面陈述. 无上界集的含义是任何 M 都不是数集 的上界. 把数学形式的陈述与其直观意义结合在一起理解，有利于掌握否定形式的陈述. 问题 3 怎样给出数  不是数集 S 的上确界的正面陈述？ 答 若  不是数集 S 的上确界，则或者  不是 S 的上界，或者  是 S 的上界，但不是最小上界. 于是数  不是数集 S 的上确界的正面陈述为： （i） x0 S ，使得 0 x >  ；或者 （ii）  0 1，试问复合函数 fºg 和 gºf 是否存在？ 答 设有两函数 y=f（u），u  D，u=g（x），x  E， 记 E*={x|g(x)  D}∩E，若 E*≠Ø，则 f 与 g 可以复合成函数 y=f(g(x)),x  E*. 1，u 为有理数， （1）对 f（u）= D=R，g(x)= x 1 ，|x|>1，E={x||x|>1}，有 E*={x|g(x)  D}∩E=E ≠Ø， 0， u 为无理数， 于是 f 与 g 可以复合成 fºg，其定义域为 E. （2）对 g(u)= u 1 ，D={u||u|>1}， 1， x 为有理数， f(x)= E=R 0， x 为无理数， E*={x|f(x)  D}∩E=Ø， 于是 g 与 f 不能复合为 gºf. 问题 2 等式 arcsin(sinx)=x， x  R 是否正确？若不正确，它与 f (f (x)) = x −1 ，x  D（其中 −1 f 是 f 的反函数）是否有矛盾？ 答 x R ，等式 arcsin（sin x）=x 是错误的. 这是因为 arcsin y 是反正弦函数的主值， 2  − ≤ arcsiny≤ 2  ，arcsin(sinx)的值应当取在[ 2  − ， 2  ]上. 当

于是 这与f((x)=x,x∈D并不矛盾这是因为定义反函数f时,vy∈f(D),规定D中有且 仅有一个x使得f(x)=y;但现在是vy∈[-,1,有无限多个x∈R,使得sinx=y.如果把x的取值限 制在-x,x ]上,则等式 arcsin(sinx)=x,x∈[ 兀1是正确的。 §4具有某些特性的函数 问题1怎样给出数集D上无上(下)界函数和无界函数的正面陈述? 答在D上无上界函数f(x)的定义如下: M,丑x∈D,使得∫(x0)》M 在D上无下界函数fx)的定义如下: L,Bx0∈D,使得f(x)0,3x0∈D,使得f(x0)>M 问题2由§2,习题7可知:若A,B皆为有界数集,则有 sup(A+B)=sup A+ sup B 而本节教材例2中,若f,g为D上的有界函数,则 sup{f(x)+g(x)}≤sup∫(x)+supg(x) (4,2) 而且可能成立严格不等式.上面二式(41)与(42)是否有矛盾?为什么? 答(4.1)与(4.2)并不矛盾,这是因为 {f(x)+g(x)x∈D}c{f(x)x∈D}+{g(x)x∈D},(4.3) 而且在包含关系(43)中左、右两边的集合可能不相等例如,f(x)=x,g(x)=x,D=[0,1,易见 {f(x)+g(x)∈D}={0}, f(x)x∈[0,1}+{g(x)x∈[O,1}=[-1,1], 于是 f(x)+g(xx∈D}E{f(xx∈D}+g(x)xED 出现不等的原因在于数集{f(x)x∈D}+{g(刈x∈D}中x是独立地取自D中.若把(43)式中左、右 两边的数集看作相同而应用(41),将导致错误的结论 问题3试问周期函数的定义域是是否必定是(-∞,+∞)? 答否例如x)=√simx,其周期o=2

于是 这与 f (f (x))= x −1 ，x  D 并不矛盾. 这是因为定义反函数 −1 f 时， y  f (D) ，规定 D 中有且 仅有一个 x 使得 f(x) = y；但现在是 y[−1,1] ，有无限多个 x  R，使得 sinx = y. 如果把 x 的取值限 制在[ 2  − ， 2  ]上，则等式 arcsin(sinx) = x，x  [ 2  − ， 2  ]是正确的。 §4 具有某些特性的函数 问题 1 怎样给出数集 D 上无上（下）界函数和无界函数的正面陈述？ 答 在 D 上无上界函数 f(x)的定义如下： M ， x0  D ，使得 ( ) 0 f x >M； 在 D 上无下界函数 f(x)的定义如下： L ， x0  D ，使得 ( ) 0 f x 0， x0  D ，使得 ( ) 0 f x >M. 问题 2 由§2，习题 7 可知：若 A，B 皆为有界数集，则有 sup（A+B）=sup A + sup B. (4,1) 而本节教材例 2 中，若 f，g 为 D 上的有界函数，则 sup{ f (x) g(x)} x D +  ≤ sup f (x) xD + sup g(x) xD (4,2) 而且可能成立严格不等式. 上面二式（4.1）与（4.2）是否有矛盾？为什么？ 答 （4.1）与（4.2）并不矛盾，这是因为 {f(x)+g(x)|x  D}  {f(x)| x  D }+{g(x)| x  D }, (4.3) 而且在包含关系（4.3）中左、右两边的集合可能不相等. 例如，f(x)=x，g(x)=-x，D=[0，1]，易见 {f(x)+g(x)|x  D}={0}， {f(x)| x  [0,1] }+{g(x)| x  [0,1] }= [-1,1]， 于是 {f(x)+g(x)|x  D}   {f(x)| x  D }+{g(x)| x  D }. 出现不等的原因在于数集{f(x)| x  D }+{g(x)| x  D }中 x 是独立地取自 D 中. 若把（4.3）式中左、右 两边的数集看作相同而应用(4.1)，将导致错误的结论. 问题 3 试问周期函数的定义域是是否必定是（-∞，+∞）？ 答 否.例如 f(x)= sin x ，其周期σ=2

由此可见周期函数的定义域不一定为(-∞,+∞) 问题4试问周期函数是否必定有基本周期(最小正周期 答否.例如,常数函数,狄利克雷函数都是周期函数任何正实数都是常数函数的周期,任何 正的有理数都是狄利克雷函数的周期,但是这两个函数都无最小正周期(见本节习题第10题) 问题5一般定义在区间I上的函数f不一定是单调的.试问是否必定有在一个子区间I*cI, 使得f在I*上是单调的? 答否.例如狄利克雷函数不存在单调子区间(参见范例3) 问题6怎样给出函数f在区间I上不是严格单调的正面陈述? 答 f在I上不是严格单调◇→f在I上不是严格递减,也不是严格递增; f在I上不是严格递减分彐a12a2∈l,a10,把a-a适当放大后化为 an-al|≤…≤G(n)N1时G(n)N0,最后取 N=max No, N, 如本节教材第24页中,在例3验证lmn =3时,取N=3,G( 9 E又得N1 (也可取N1=-),最后得到N=max{3,-}.在例4验证lmq”=0(q<1)时 G(n)=-,这里h= 9~1,由q°0K<E易解出N=一·又在例5验证ma=1(1)时, 取G(n)= 由a"-1≤<ε易解出N= 这些例题都是这样处理的

由此可见周期函数的定义域不一定为（-∞，+∞）. 问题 4 试问周期函数是否必定有基本周期（最小正周期）？ 答 否. 例如，常数函数，狄利克雷函数都是周期函数. 任何正实数都是常数函数的周期，任何 正的有理数都是狄利克雷函数的周期，但是这两个函数都无最小正周期（见本节习题第 10 题）. 问题 5 一般定义在区间 I 上的函数 f 不一定是单调的. 试问是否必定有在一个子区间 I*  I， 使得 f 在 I*上是单调的？ 答 否. 例如狄利克雷函数不存在单调子区间（参见范例 3）. 问题 6 怎样给出函数 f 在区间 I 上不是严格单调的正面陈述？ 答 f 在 I 上不是严格单调  f 在 I 上不是严格递减，也不是严格递增； f 在 I 上不是严格递减  1 2 1 a , a  I, a 0，把| an − a |适当放大后化为 | an − a |≤…≤G（n） N1 时 G（n） N0 ，最后取 N=max| N0 , N1 |. 例如本节教材第 24 页中，在例 3 验证 3 3 3 lim 2 2 = → n − n n 时，取 N0 =3，G（n）= n 9 ，由 3 3 3 2 2 − n − n 1）时， 取 G（n）= n a −1 ，由 n a 1 -1≤ n a −1 <ε易解出 N=  a −1 . 这些例题都是这样处理的

问题2如何用e-N方法给出Iman≠a的正面陈述?并验证|n2|和|(-1)"|是发散数列 答lman≠a的正面陈述:彐c0>0,N∈N,丑n≥N,使得 ≥E0 数列{an}发散分Va∈R, lim a≠a (1)an=n2Ya,3n=,WN∈N,只要取n=maxl+1N},便可使n2-a|=≥n2-|al l+-1a|≥,于是{n2}为发散数列 (2)an=(-1).若a=1,E0=1,取m为任何奇数时,有|an-1=2>5o.若a=-1,彐E0=1, 取n为任何偶数时,有an-(-1)=2>E0·若a≠±1,E0=min{a+1a-1},对任何n∈N 有|an-a|≥E0·故|(-1)|为发散数列 §2收敛数列的性质 问题1数列{an}的子列{an}的下标n,是n在变动还是k在变动? 答子列{an}的下标n4是随着k变动的例如{ax}是由{an}中偶数项组成的子列,其中 n=2k.子列的下标n满足①n0和{an}的子列{an},使得 Eo 答这是因为lma≠a,于是彐E。>0,VN>0,彐n》,使得 取N=1,3n11,使得|an-a≥E 取N=1,丑n1》1,使得|an-a|≥E0, 彐n>n4,使得|an-a|≥

问题 2 如何用ε-N 方法给出 an a n  → lim 的正面陈述？并验证| 2 n |和| n (−1) |是发散数列. 答 an a n  → lim 的正面陈述： 0  >0，N  N+ ，n  ≥N，使得 | an  − a |≥ 0  数列{ n a }发散  a  R ， an a n  → lim . （1） an = n .a 2 ， 0  = 4 1 ，N  N+ ，只要取             n  = a + , N 2 1 max ，便可使 | | 2 n  − a ≥ | | 2 n  − a ≥ | | 2 1 2 a  − a      + ≥ 4 1 ，于是{ 2 n }为发散数列. （2） n an = (−1) . 若 a=1， 0  =1，取 n  为任何奇数时，有 | an  −1|= 2 > 0  .若 a=-1， 0  =1， 取 n  为任何偶数时，有 | an  − (−1)|= 2 > 0  . 若 a≠  1， 0  = min{| 1|,| 1|} 2 1 a + a − ，对任何 n  N+ ， 有| an − a |≥ 0  . 故| n (−1) |为发散数列. §2 收敛数列的性质 问题 1 数列{ n a }的子列{ nk a }的下标 k n ，是 n 在变动还是 k 在变动？ 答 子列{ nk a }的下标 k n 是随着 k 变动的. 例如{ k a2 }是由{ n a }中偶数项组成的子列，其中 k n =2k. 子列的下标 k n 满足① k n 0 和{ n a }的子列{ nk a }，使得 | nk a - a |≥ 0  ？ 答 这是因为 an a n  → lim ，于是 0  >0，N >0，n  >N，使得 | an  - a |≥ 0  . 取 N=1， n1 >1，使得| n1 a - a |≥ 0  ， 取 N=1， n1 >1，使得| n2 a - a |≥ 0  ， ………… 取 N= nk −1， nk > nk −1 ，使得| nk a - a |≥ 0 

这样就选出{an}的一个子列{an}满足 注这是由man≠a选出子列{an},使得|an-a|≥E0的方法.这种方法在以后类似的的问题 中将会多次遇到 §3数列极限存在的条件 问题1如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述 答柯西收敛准则的否定形式是 {an}发散3E6。>0,VN>0,3n0,mN,使|an1-an|≥E0·它的直观意义是:总存在正数 E0,不论N怎样大,总存在大于N的n,m,使得an与am之间的距离大于或等于 上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性,例如a,=1++…+-为一发散数列. 这是因为:彐=1,vN,Bn,2m>N,使得 1≥n=1 这个结论在级数理论中将有重要的作用 问题2试对验证数列收敛和发散的一些充要条件或充分条件加以总结 答验证数列收敛的一些方法如下 (1)按定义验证: iman=a分VE>0,3N,hn洲N,有|a-a|0,在U(a;ε)外最多只有数列{an}中有限项 (3)子列定理 iman=aevn}n},有lman= {a收敛∞v}{},有{an}收敛 (4)柯西准则 an|收敛分VE>0,彐,n,mN,有|an-a|<e (5)单调有界定理: 若{n}单调有界→{an}收敛

………… 这样就选出{ n a }的一个子列{ nk a }满足 | nk a - a |≥ 0  注 这是由 an a n  → lim 选出子列{ nk a }，使得| nk a - a |≥ 0  的方法. 这种方法在以后类似的的问题 中将会多次遇到. §3 数列极限存在的条件 问题 1 如何给出柯西收敛准则的否定形式的正面陈述？ 答 柯西收敛准则的否定形式是： { n a }发散  0  >0，N >0，n0 ， m0 >N，使| n0 m0 a − a |≥ 0  .它的直观意义是：总存在正数 0  ，不论 N 怎样大，总存在大于 N 的 0 n ， m0 ，使得 n0 m0 a 与a 之间的距离大于或等于 0  . 上述准则的一个重要应用是可以用它证明数列的发散性,例如 n a =1+ 2 1 +…+ n 1 为一发散数列. 这是因为： 0  = 2 1 ，N ， n ，2n>N，使得 n n n ab a n 2 1 2 1 1 1 | | 2 + + + + + − =  ≥ 2 1 2 = n n . 这个结论在级数理论中将有重要的作用. 问题 2 试对验证数列收敛和发散的一些充要条件或充分条件加以总结. 答 验证数列收敛的一些方法如下—— （1）按定义验证： =  → an a n lim >0， N ，n >N，有| n a - a |0，在 U（a；ε）外最多只有数列{ n a }中有限项. （3）子列定理： n  n   n  n a a a a k =   → lim ，有 a a nk n = → lim . an an  an  k { }收敛  ，有{ nk a }收敛. （4）柯西准则： | |收敛   an >0， N ，n ，m>N，有| an − a |<ε. （5）单调有界定理： 若 an  单调有界  an  收敛

(6)迫敛性:若an≤c≤b,且 lim a =lim b=a,则imcn=a 验证数列发散的一些方法如下 (1)按极限定义的否定形式验证: an}发散台如a,lman≠a iman≠a台彐E0>0,HN, (2)用邻域形式验证: iman≠a分350>0,在U(aE0)外存在数列{an}中无限多项 (3)用子列验证: 若n}c{a,{n}发散→an}发散 若两个子列{}{},ma=a ai"ca,j a'≠a"→{n}发散 (4)用柯西准则否定形式验证: 发散e360)0,VN,3n,mN,{n一an|≥6 (5)若数列{n}无界→{an}发散 第三章函数极限 §1函数极限概念 问题1在函数极限的E-8定义中,怎样理解ε的“任意”和“给定”这两个性质? 答E-8方法是用“静态”的定量形式描述动态的极限过程.“对给定的ε>0,36()>0,当 0<x-x0|<8时,有f(x)-A|<ε”,形式上是一个“静态”的描述;当ε变动趋向于零时,一系 列“静态”描述就刻画了动态的极限过程.由此可见正数ε的“任意”和“给定”这两个特性在上 述过程中是相辅相成的 问题2试总结当f(x)为分式时,用e-8方法验证lmf(x)=A的具体步骤 答(1)简化分式∫(x)的形式:当分子分母有当x→x时的零化因子(x-x0)时,则应消去这

（6）迫敛性：若 n a ≤ n c ≤ n b ，且 n n a → lim = n n b → lim = a ，则 n n c → lim = a . 验证数列发散的一些方法如下—— （1）按极限定义的否定形式验证： an  发散  a ， n n a → lim ≠ a . n n a → lim ≠ a 0   >0，N ，n  >N，| an  − a |≥ 0  . （2）用邻域形式验证： n n a → lim ≠ a 0   >0，在 U（ 0 a; ）外存在数列 an  中无限多项. （3）用子列验证： 若 an  an  k   ，  nk a 发散  an  发散. 若  两个子列 an  an  k   ， a a nk k  =  → lim ， an  an  k   ， a a nk k  =  → lim ， a   a   an  发散. （4）用柯西准则否定形式验证：   0 发散   an >0，N ，n0 ， m0 >N， n0 m0 a − a ≥ 0  . (5)若数列 an  无界  an  发散. 第三章 函数极限 §1 函数极限概念 问题 1 在函数极限的ε-δ定义中，怎样理解ε的“任意”和“给定”这两个性质？ 答 ε-δ方法是用“静态”的定量形式描述动态的极限过程.“对给定的ε>0，  ( ) >0，当 0<| 0 x − x |<δ时，有| f (x) − A |<ε”，形式上是一个“静态”的描述；当ε变动趋向于零时，一系 列“静态”描述就刻画了动态的极限过程. 由此可见正数ε的“任意”和“给定”这两个特性在上 述过程中是相辅相成的. 问题 2 试总结当 f (x) 为分式时，用ε-δ方法验证 f (x) A x x = → 0 lim 的具体步骤. 答 （1）简化分式 f (x) 的形式：当分子分母有当 0 x → x 时的零化因子 ( ) 0 x − x 时，则应消去这

些因子 (2)把|f(x)-A|化简为下述形式: f(x)-Al=lp(x)x-xoI (3)选取合适的n>0,当xeU°(xin)时,估算得|(x)≤M,即估计p(x)在U°(x;n) 内的上界 4)对任给c),求得=mM,当0x=x(B时,()-4K 问题3如何给出imf(x)≠A和imf(x)≠A的正面陈述? 答limf(x)≠A的正面陈述: 360)0,v6>0,丑x',00,无论δ多么小,在点x0的空心邻域U(x0;δ)内总存在点x'’,使得f(x')gU(AE) imf(x)≠A的正面陈述: 彐E。>0,VM>0,彐x3>M,使得 J(x)-A≥ 或者:存在0>0,无论M多大,在U(+∞)={xx>M}中总存在点x,使得f(x1)eU(AEn) §2函数极限的性质 问题1区间(a,b)上的函数f(x)若在定义域中每点处局部有界,试问f(x)是否在 上有界?是否存在(a,b)上的函数f(x),它在定义域中任何点处都不是局部有界的? 答设函数f(x),x∈(a,b),x∈(a,b),若存在U(x),f(x)在U(x0)内有界,则称f(x)在 x。局部有界.函数的局部有界性是局部性概念,而函数在(a,b)上的有界性是整体性概念,两者 含义不同 (a,b)上的有界函数一定在(a,b)内每点局部有界;但在(a,b)内每点处局部有界的函 数不一定是有界函数.例如

些因子. （2）把| f (x) − A |化简为下述形式： | f (x) − A |= ( ) 0  x x − x . （3）选取合适的η>0，当 x U （ x0 ; ）时，估算得 (x) ≤M，即估计 (x) 在 U （ x0 ; ） 内的上界. （4）对任给ε>0，求得       = M   min , ，当 00，  0 ， x  ，00，无论  多么小，在点 0 x 的空心邻域 Uº（ x0 ; ）内总存在点 x  ，使得 ( ) ( ; ) 0 f x  U A  . f x A x  →+ lim ( ) 的正面陈述： 0  >0，M  0， x  >M，使得 f (x ) − A ≥ 0  . 或者：存在 0  >0，无论 M 多大，在 U(+) = x x  M 中总存在点 x  ，使得 ( ) ( ; ) 0 f x  U A  . §2 函数极限的性质 问题 1 区间（a，b）上的函数 f (x) 若在定义域中每点处局部有界，试问 f (x) 是否在（a，b） 上有界？是否存在（a，b）上的函数 f (x) ，它在定义域中任何点处都不是局部有界的？ 答 设函数 f (x) ，x(a,b) ， ( , ) x0  a b ，若存在 ( ) 0 U x ， f (x) 在 ( ) 0 U x 内有界，则称 f (x) 在 0 x 局部有界. 函数的局部有界性是局部性概念，而函数在（a，b）上的有界性是整体性概念，两者 含义不同. （a，b）上的有界函数一定在（a，b）内每点局部有界；但在（a，b）内每点处局部有界的函 数不一定是有界函数. 例如：

f(x)=-,x∈(0.1) x0∈(0,1),lm=-,由函数极限的局部有界性定理可知f(x)在点x0处局有部界,但是 f(x)在(0,1)上是无界的 存在(0,1)上的函数f(x),它在(O,1)内任何点都不是局部有界的.例如:定义在(0,1) 上的函数 当x=2,p,q为互质正整数 f(x) 0,当x为(0,1)内的无理数 yxn∈(01),彐有理数列{x,},严格递增,且x1→x,设x1=P,数列{qn}必定无界,这是 qs 因为假如{q}有界,则{x}中最多有限项互不相等,与{x}的严格递增性相矛盾.对x的任何邻域 U(x0),丑K>0,当k>K时,x∈U(x0).由{q4}的无界性,M>0,3x1(k>K),使得 f(x4)=q4>M,即f(x)在点x的任何邻域内无界,即f(x)在(0,1)中任何点处都不是局部有 界的 问题2极限除法法则(2.4)中为什么只假设limg(x)≠0,而不假设g(x)≠0? 答若lmg(x)≠0,由函数极限局部保号性,彐邻域U(x。),ⅵx∈U°(x),f(x)≠0,这就 保证了分式J(x0)内有意义,且mf(x)mf(x) x→g(x)limg(x) 若只设g(x)≠0,有可能img(x)=0,于是极限除法法则不成立.例如g(x)=(x-x0)2,当 x≠x0时,g(x)≠0,但是Img(x)=0 §3函数极限存在的条件 问题1设∫为定义在U°(x0)上的单调有界函数,则f(x0+0)存在但在(3.8)中,若∫为 U°(x0)上的单调函数,则f(x0+0)也存在,那里并不要求有界性条件,为什么? 答在那里∫在U°(x0)上的递增性,保证了∫在U°+(x0)内的有下界性.这是因为取定 x'∈U°(x),x∈U°,(x0),有f(x)≥f(x),即f(x)为f(x)在U°,(x0)内的一个下界,于是 由函数极限的单调有界定理

x f x 1 ( ) = ， x(0,1) . (0,1) x0  ， 0 1 1 lim 0 x x x x = → ，由函数极限的局部有界性定理可知 f (x) 在点 0 x 处局有部界，但是 f (x) 在（0，1）上是无界的. 存在（0，1）上的函数 f (x) ，它在（0，1）内任何点都不是局部有界的. 例如：定义在（0，1） 上的函数 q, 当 q p x = ，p，q 为互质正整数， f (x) = 0， 当 x 为（0，1）内的无理数. (0,1) x0  ，  有理数列 xk  ，严格递增，且 0 x x k → . 设 k k k q p x = ，数列 { } qk 必定无界，这是 因为假如 { } qk 有界，则 xk  中最多有限项互不相等，与 xk  的严格递增性相矛盾. 对 0 x 的任何邻域 ( ) 0 U x ， K  0 ，当 k>K 时， ( ) 0 x U x k  . 由 { } qk 的无界性， M  0 ， x (k K)  k  ，使得 f (xk ) = qk  M ，即 f (x) 在点 0 x 的任何邻域内无界，即 f (x) 在（0，1）中任何点处都不是局部有 界的. 问题 2 极限除法法则（2.4）中为什么只假设 lim ( ) 0 0  → g x x x ，而不假设 g(x)  0 ？ 答 若 lim ( ) 0 0  → g x x x ，由函数极限局部保号性，  邻域 ( ) 0 U x ， ( ) 0 xU x ， f (x) ≠0，这就 保证了分式 ( ) ( ) g x f x 在 ( ) 0 U x 内有意义，且 lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 g x f x g x f x x x x x x x → → → = . 若只设 g(x)  0 ，有可能 lim ( ) 0 0 = → g x x x ，于是极限除法法则不成立. 例如 2 0 g(x) = (x − x ) ，当 0 x  x 时， g(x)  0 ，但是 lim ( ) 0 0 = → g x x x . §3 函数极限存在的条件 问题 1 设 f 为定义在 ( ) 0 U x +  上的单调有界函数，则 ( 0) f x0 + 存在. 但在（3.8）中，若 f 为 ( ) 0 U x 上的单调函数，则 ( 0) f x 0+ 也存在，那里并不要求有界性条件，为什么？ 答 在那里 f 在 ( ) 0 U x 上的递增性，保证了 f 在 ( ) 0 U x +  内的有下界性. 这是因为取定 ( ) 0 x U x −   ，x ( ) 0 U x +  ，有 f (x) ≥ f (x ) ，即 f (x ) 为 f (x) 在 ( ) 0 U x +  内的一个下界，于是 由函数极限的单调有界定理