第十章定积分的应用 §1平面图形的面积与立体的体积 例1求由曲线y=一与y=(x-3)2所围平面图形的面积(图10-10中的A),并求此图 形绕x轴旋转的旋转体体积。] 分析求双曲线xy=4与抛物线y=(x-3)2的交点 x(x-3)2=x3-6x2 (x-1)2(x-4)=0→x2=1x3=4 由此知道二曲线在x=1处相切,在x=4处相交 解根据以上分析所得结果,按平面图形的面积公式与旋转体的体积公式,可分别求 得: A (x-3)2d =81n2-3; 丌 例2如图10-1所示,由点M(2a0)向椭圆+2=1作两条切线MP和MQ(P,Q 为切点)。试求椭圆与切线所围阴影区域的面积A,并求该区域绕y轴旋转所得旋转体的体 积V 解本题的关键是求切线MP和MQ的方程,通常有两种解法 [解法一]求切线的斜率。设MP的方程为y=k(x-2a),当它与椭圆相切时,方程组 对x只有唯一解。为此消去y,得到关于x的二次方程: (b2+a2k2)x2-4a3k2x+4a4k2-a2b2=0 使其判别式为零,即
第十章 定积分的应用 §1 平面图形的面积与立体的体积 例 1 求由曲线 x y 4 = 与 2 y = (x − 3) 所围平面图形的面积（图 10-10 中的 A），并求此图 形绕 x 轴旋转的旋转体体积。] 分析 求双曲线 xy = 4 与抛物线 2 y = (x − 3) 的交点： ( 3) 6 9 4, 2 3 2 x x − = x − x + x = 即 ( 1) ( 4) 0 1, 4. 1,2 3 2 x − x − = x = x = 由此知道二曲线在 x =1 处相切，在 x = 4 处相交。 解 根据以上分析所得结果，按平面图形的面积公式与旋转体的体积公式，可分别求 得： 81 2 3; ( 3) 3 1 41 ( 3) 4 4 1 3 4 1 2 = − = − − = − − n nx x x dx x A . 5 27 ( 3) 5 1 5 16 ( 3) 4 4 1 5 4 1 4 2 = = − − − − − = x x dx x V 例 2 如图 10-11 所示，由点 M(2a,0) 向椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 作两条切线 MP 和 MQ（P，Q 为切点）。试求椭圆与切线所围阴影区域的面积 A，并求该区域绕 y 轴旋转所得旋转体的体 积 V。 解 本题的关键是求切线 MP 和 MQ 的方程，通常有两种解法。 [解法一] 求切线的斜率。设 MP 的方程为 y = k(x − 2a) ，当它与椭圆相切时，方程组 = − + = ( 2 ) 1, 2 2 2 2 y k x a b y a x 对 x 只有唯一解。为此消去 y，得到关于 x 的二次方程： ( ) 4 4 0. 2 2 2 2 3 2 4 2 2 2 b + a k x − a k x + a k − a b = 使其判别式为零，即
2)(4ak2-a2b2) 由此解出h2b2 k=±一.这就是MP和MQ的斜率 [解法二]求切点坐标。为此对椭圆方程b2x2+a2y2=a2b2两边分别对x求导数(把y 看作x的复合函数),得 并由此解出y,这是椭圆上任一点(xy)处的切线斜率。于是,过点(xy)的切 线方程为 b x(X-x)+ayr-y)=0 使它通过定点M(2a,0),即以X=2a,Y=0代入,得到 并有 这求得切点Ab(=45b 由于MP的方程为x=20-30y,借助对称性,可分别计算A和V如下: A=2 =22 (b2-y2)p √3m2b 说明根据图形特征,上面在计算A与Ⅴ时选择以y作为积分变量,这是很合理的。 例3如图10-12所示,为阿基米德螺线r=a(a>0.0≥0),图中S0,S1,S2,…分别表
16 4( )(4 ) 0, 6 4 2 2 2 4 2 2 2 a k − b + a k a k − a b = 由此解出 . 3 , 3 2 2 2 a b k a b k = = 这就是 MP 和 MQ 的斜率。 [解法二] 求切点坐标。为此对椭圆方程 2 2 2 2 2 2 b x + a y = a b 两边分别对 x 求导数（把 y 看作 x 的复合函数），得 2 2 0, 2 2 b x + a yy = 并由此解出 a y b x y 2 2 = − ，这是椭圆上任一点（x,y）处的切线斜率。于是，过点（x,y）的切 线方程为 ( ) ( ) 0. 2 2 b x X − x + a y Y − y = 使它通过定点 M(2a,0) ，即以 X = 2a,Y = 0 代入，得到 (2 ) 0, 2 2 2 b x a − x − a y = 并有 2 . 2 2 2 2 2 2 2 ab x = b x + a y = a b 这就求得切点 . 2 3 , 2 , 2 3 , 2 − b a b Q a P 由于 MP 的方程为 y b a x a 3 = 2 − ，借助对称性，可分别计算 A 和 V 如下： b y dy b a y b a A a b = − − − 2 3 0 3 2 2 2 2 b b y y b y b b a y b a a y 2 3 0 2 2 2 2 arcsin 2 2 3 2 2 = − − − + ; 3 3 ab − b y d y b a y b a V a b − − = − 2 3 0 2 2 2 2 2 ( ) 3 2 2 3 . 4 3 4 2 3 2 2 3 0 2 2 2 y d y a b b y b a b = = − + 说明 根据图形特征，上面在计算 A 与 V 时选择以 y 作为积分变量，这是很合理的。 例 3 如图 10-12 所示，为阿基米德螺线 r = a(a 0, 0) ，图中 S0 , S1 , S2 , 分别表
示螺线每相邻两卷之间的面积。证明S1,S2,…成等差数列。 证根据极坐标形式下的面积计算公式,先求出 A g (a0) de a2r(3k2+3k+1) 注意到 S0=A0,S1=A1-A0,S2=A2-A 故得 S,=A-A a2n3(3k2+3k+1)-(3k2-3k+1 =8a2丌3kk=12 由此可见S1,S2…成等差数列,公差为8a2r3 注意不要把A4误认为S4因为A4表示矢径从=2至=2kx+2x所扫过的面 积,它不仅扫过了S4,同时还扫过了S0,S1,…,S1 例4试求由参数方程 表示的曲线所围成图形的面积。 分析由 x=1(2-1),y=t2(2-D) 看出x(0)=x(2)=0,y(0)=y(2)=0.说明参数由t=0递增至t=2时,曲线上的动点从坐标原 点出发又回到坐标原点(该曲线的图像示于图10-13)。 解根据以上分析和前面在图10-6中给出的计算公式,便可求得该曲线所围成平面图 形的面积: 4=(2r2-r')21-1)dd
示螺线每相邻两卷之间的面积。证明 S1 , S2 , 成等差数列。 证 根据极坐标形式下的面积计算公式，先求出： + = (2 2) 2 2 ( ) 2 1 k k Ak a d (3 3 1), 3 4 2 3 2 = a k + k + k = 0,1,2, . 注意到 , , , , S0 = A0 S1 = A1 − A0 S2 = A2 − A1 故得 Sk = Ak − Ak −1 [(3 3 1) (3 3 1)] 3 4 2 3 2 2 = a k + k + − k − k + = 8a 2 3 k, k =1,2, 由此可见 S1 , S2 , 成等差数列，公差为 8 . 2 3 a 注意 不要把 Ak 误认为 . k S 因为 Ak 表示矢径从 = 2k 至 = 2k + 2 所扫过的面 积，它不仅扫过了 k S ，同时还扫过了 , , , . S0 S1 Sk −1 例 4 试求由参数方程 2 2 3 x = 2t − t , y = 2t − t 表示的曲线所围成图形的面积。 分析 由 (2 ), (2 ) 2 x = t − t y = t − t 看出 x(0) = x(2) = 0, y(0) = y(2) = 0. 说明参数由 t = 0 递增至 t = 2 时，曲线上的动点从坐标原 点出发又回到坐标原点（该曲线的图像示于图 10-13）。 解 根据以上分析和前面在图 10-6 中给出的计算公式，便可求得该曲线所围成平面图 形的面积： = − − 2 0 2 3 2 A (2t t )(2t t ) dt = − − 2 0 2 3 2 (2t t )(1 t)dt = − + 2 0 4 3 2 2 (t 3t 2t )dt . 15 8 15 4 = 2 − =
说明与前面问题3中所指出的结论相对照,这里的 yt)r'(t)di 为一负值,表示t在[0,2这一变化过程中,曲线上的动点(x(t),y(t))是按逆时针方向 例5求由双曲抛物面x=x2-y2、平面x=1与二=0所围立体的体积。 分析该立体如图10-14(a)所示。由于它不是一个旋转体,因此只能通过先求出截 面面积函数,而后再求定积分的方法来计算立体体积。从我们对双曲抛物面的认识可以知道, 垂直于z轴的截面形状是一族双曲线弓形(示于图10-14(b)),垂直于ⅹ轴的截面形状是 族抛物弓形(示于图10-14(c)。若能求得截面面积函九A(z)或A(x),便有 V=4(=)d=4(x) 解下面人出两种解法,以便于进行比较。 [解法一]在计算A(z)时,应把z看作在⑩,1上的任一固定实数。此时,水平截线 是一族双曲线x2-y2=2(每个z的值对应一条双曲线),或写作 于是所求双曲线弓形的面积为 √x 2-=1n(x+ 由此便有 =[M=-m+0)k+2mh 现分别计算右边三个积分如下 -In(1+ 2) dr(t t)dt= lIned= im2|:21n2
说明 与前面问题 3 中所指出的结论相对照，这里的 = − 2 0 15 8 y(t)x (t)dt 为一负值，表示 t 在[0,2]这一变化过程中，曲线上的动点（x（t），y（t））是按逆时针方向 运动的。 例 5 求由双曲抛物面 2 2 z = x − y 、平面 x =1 与 z = 0 所围立体的体积。 分析 该立体如图 10-14（a）所示。由于它不是一个旋转体，因此只能通过先求出截 面面积函数，而后再求定积分的方法来计算立体体积。从我们对双曲抛物面的认识可以知道， 垂直于 z 轴的截面形状是一族双曲线弓形（示于图 10-14（b）），垂直于 x 轴的截面形状是一 族抛物弓形（示于图 10-14（c））。若能求得截面面积函九 A（z）或 A（x），便有 = = 1 0 1 0 V A(z)dz A(x)dx. 解 下面人出两种解法，以便于进行比较。 [解法一] 在计算 A（z）时，应把 z 看作在[0,1]上的任一固定实数。此时，水平截线 是一族双曲线 x − y = z 2 2 （每个 z 的值对应一条双曲线），或写作 , [ ,1]. 2 y = x − z x z 于是所求双曲线弓形的面积为 A z x zdx z = − 1 2 ( ) 2 1 2 2 1 ( ) = = − − + − = x x z x x z z n x x z = 1− z − z1n(1+ 1− z + z1n z), 由此便有 = − − + − + 1 0 1 0 1 0 1 . 2 1 V 1 zdz z1n(1 1 z)dz z nzdz 现分别计算右边三个积分如下： ; 3 2 (1 ) | 3 2 1 0 1 2 3 1 0 − = − = zdz z − + − + − = + − + 1 0 1 0 2 1 0 2 4 1 1 1 1 (1 1 )| 2 1 1 (1 1 ) d z z z z z n z d z z n z = − + − = 1 0 2 2 ( 1 ) 1 (1 ) 2 1 dt t z t t ; 24 5 (1 ) 2 1 1 0 2 3 = − − + = t t t dt1 0 2 2 1 0 | 2 1 4 1 1 2 1 = − z z nzdz z nz 1 2 2 0 | 2 1 4 1 lim u u z z nz = − → +
lm u In- 所以V= 2511 3248 [解法二]类似地,在计算A(x)时应把ⅹ看作在[O.,1上取定的任一实数。此时,垂 直于x轴的截线是一族抛物线z=x2-y2(每个x的值对应一条抛物线)。因此所求抛物线 弓形的面积为 A(x)=2[(x2-y2地=2x 由此便有 说明比较解法一与解法二,显然后者要简单得多。由此可见,在利用截面面积求体 积的问题中,选择合适的截面是十分重要的。请读者再考察一下,本题若取垂直于y轴的截 面,则截面的形状是怎样的?计算A(y)以及计算Ⅴ的过程是否简便? §2平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 例1如图1019所示,悬链线y=1(+e”)在x∈0以]上的段弧长和曲边梯形 面积分别记为s(u)和A(u);该曲边梯形绕x轴旋转所得旋转体的体积和侧面积分别记为V(u) 和S(u);该旋转体在x=u处的端面积记为F(u)。试证: (1)s(u)=A(),S(u)=2(a),v>0 (2)hmS() 0F(u) 证(1)由于 y 因此有 ydx= lydx= A(u) S(u)=27LyV1+y dx=2rLy'dx=2v(u) (2)又因 Su0re+e°)h
= − − + → + 2 2 1 1 4 1 lim 2 2 0 u u nz u 8 1 = − 所以 . 3 1 8 1 24 5 3 2 V = − − = [解法二] 类似地，在计算 A（x）时应把 x 看作在[0,1]上取定的任一实数。此时，垂 直于 x 轴的截线是一族抛物线 2 2 z = x − y （每个 x 的值对应一条抛物线）。因此所求抛物线 弓形的面积为 . 4 3 ( ) 2 ( ) 3 0 2 2 A x x y dy x x = − = 由此便有 . 3 1 3 4 1 0 3 V = x dx = 说明 比较解法一与解法二，显然后者要简单得多。由此可见，在利用截面面积求体 积的问题中，选择合适的截面是十分重要的。请读者再考察一下，本题若取垂直于 y 轴的截 面，则截面的形状是怎样的？计算 A（y）以及计算 V 的过程是否简便？ §2 平面曲线的弧长与旋转曲面的面积 例 1 如图 101-19 所示，悬链线 ( ) 2 1 x x y e e − = + 在 x[0,u] 上的一段弧长和曲边梯形 面积分别记为 s(u)和 A(u)；该曲边梯形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积和侧面积分别记为 V(u) 和 S(u)；该旋转体在 x=u 处的端面积记为 F(u)。试证： （1） s(u) = A(u), S(u) = 2V(u),u 0; （2） 1. ( ) ( ) lim = →+ F u S u u 证 （1）由于 ( ) , 2 1 ( ) 4 1 1 1 2 2 y e e e e y x x x x + = + − = + = − − 因此有 = + = = u u s u y dx ydx A u 0 0 2 ( ) 1 ( ); ( ) 2 1 2 2 ( ). 0 2 0 2 S u y y d x y d x V u u u = + = = （2）又因 S u e e dx x x u 2 0 ( ) 4 1 ( ) 2 − = +
l) 丌 所以 →+0F(l)“→e+e+2 lim 例2图10-20所示为曳物线的生成原理——在平面上有一细杆PQ,长为a。起始位置 P在点(0,a),Q在坐标原点。然后一端Q沿ⅹ轴正向移动,另一端P被自由(即不受阻力) 地牵曳着而生成一条曲线,称为曳物线 (1)验证曳物线的方程为 a+ y (2)计算曳物线上两点(x,y1)与(x2,y2)间的弧长 (3)试求当端点Q运动到(x,0)时,端点P沿曳物线走过的路程s(x),并求l[x-s(x) 分析当细杆自由地被牵曳着运动时,在任一位置PQ恒为曳物线的切线。设 (x,y),PQ所在的切线为 /(X-x) 当￥=0时,x=x-2,故点Q的坐标为x-2,0由PQ=a,得到曳物线所满足的方 程为 解(1)根据以上分析,由y<0(曳物线为递减函数),解出 这就得到 a+ aIn 以ⅹ=0时y=a的初值条件代入,得C=0。于是解得曳物线方程为 r=al
= + + − u x x e e dx 0 2 2 ( 2) 2 ( 4 ), 4 2 2 e e u u u = + + − ( ) , 4 ( ) ( ) 2 u u 2 F u y u e e − = = + 所以 1. 2 4 lim ( ) ( ) lim 2 2 2 2 = + + − + = − − →+ →+ u u u u u u e e e e u F u S u 例 2 图 10-20 所示为曳物线的生成原理——在平面上有一细杆 PQ，长为 a。起始位置 P 在点（0,a），Q 在坐标原点。然后一端 Q 沿 x 轴正向移动，另一端 P 被自由（即不受阻力） 地牵曳着而生成一条曲线，称为曳物线。 （1）验证曳物线的方程为 1 ; 2 2 2 2 y a a y x a y n + − + − = （2）计算曳物线上两点 ( , ) 1 1 x y 与 ( , ) 2 2 x y 间的弧长； （3）试求当端点 Q 运动到（x,0）时，端点 P 沿曳物线走过的路程 s(x)，并求 lim [x s(x)]. x − →+ 分析 当细杆自由地被牵曳着运动时，在任一位置 PQ 恒为曳物线的切线。设 P(x, y),PQ 所在的切线为 Y − y = y (X − x). 当 Y=0 时， y y X x = − ，故点 Q 的坐标为 ,0 . − y y x 由 PQ = a ，得到曳物线所满足的方 程为 . 2 2 2 y a y y + = 解 （1）根据以上分析，由 y 0 （曳物线为递减函数），解出 y a y dy dx a y y y 2 2 2 2 − = − − = − 或 这就得到 1 , 2 2 2 2 2 2 a y C y a a y d y a n y a y x − − + + − = − = − 以 x=0 时 y=a 的初值条件代入，得 C=0。于是解得曳物线方程为 1 . 2 2 2 2 a y y a a y x a n − − + − =
(2)根据弧长公式,曳物线上点(x1,y1)与(x2,y2)之间弧段长度为 d dy 由于 a2-y2 因此易得 a (3)设端点Q到达(x0)时,端点P在位置(x0,y)。写出在该点的切线: dx Mo O yo 用Y=0,X=x代入,得到 y r=aln+? 由于动点P由点(0a)沿曳物线运动到点(x,y)时,走过的路程为s(x)=ana,因此有 x-s(r=aIn<x 又因当x→+∞时,x→+∞,随之又使y→0+,于是求得 lim x-s(x)= lim aln aln 这说明当走过的路程无限增大时,细杆两端走过路程的差趋近于a的1n2倍 例3试求椭圆x=as5y=bsm的渐屈线和在点t=处的曲率圆。 解先计算 x'=-asint, y=cost
（2）根据弧长公式，曳物线上点 ( , ) 1 1 x y 与 ( , ) 2 2 x y 之间弧段长度为 1 . 2 1 2 = + y t dy dy dx s 由于 1 1 , 2 2 2 2 2 = − − = + + y a y a y d y d x 因此易得 1 . 1 2 2 1 y y dy a n y a s y y = = （3）设端点 Q 到达（x,0）时，端点 P 在位置 ( , ) 0 0 x y 。写出在该点的切线： 0 0 ( , ) 0 0 ( ) | x y dy dx X − x = Y − y ( ) . 0 2 0 2 0 − = − − y a y Y y 用 Y=0，X=x 代入，得到 , 2 0 2 0 x − x = a − y 1 . 0 2 0 2 y a a y x a n + − = 由于动点 P 由点（0,a）沿曳物线运动到点 ( , ) 0 0 x y 时，走过的路程为 0 ( ) 1 y a s x = a n ，因此有 ( ) 1 . 2 0 2 a a a y x s x a n + − − = 又因当 x→+ 时， x0 → + ，随之又使 → + y0 0 ，于是求得 a a a y x s x a n x y 2 0 2 0 lim [ ( )] lim 1 0 + − − = → + →+ = a1n2. 这说明当走过的路程无限增大时，细杆两端走过路程的差趋近于 a 的 1n2 倍。 例 3 试求椭圆 x = a cost, y = bsin t 的渐屈线和在点 = 6 P t 处的曲率圆。 解 先计算 x = −a sin t, y = b cost
+y =a sin t+b cos" t, x'lyxy=ab( t+cos t)=ab 把它们代入渐屈线方程(26),得到 X=acost b cos(a sin- t +b-cos t) Y=bsin t asin(a t+b-cost) b bINt 前面图10-15所示者即为椭圆及其渐屈线的图形 当=时,椭圆上的点为a 6 2a.b:与之对应的曲率中心(以t=2代入渐屈线 6 方程)为(3√5(a2 所求曲率圆即为以G为圆心,|PG= (a2+3b2)2 为 半径的圆: a (a2+3b2)3 64a2b 例4证明:曲率中心是曲线的法线与其相邻法线的交点的极限位置(当后者无限靠近 前者时)。 证设曲线C:y=f(x),满足∫"(x)≠0。在C上已知点P与一个相近点P’处作出C 的法线,二法线的交点是G′。若P'沿C无限靠近P,则G′在固定点P的法线上移动(图 10-21)。写出在点P(xy)与点P'(x+△Ax,y+△y)处的法线议程分别为 (X-x)+f(x)Y-y)=0, (X-x-△x)+f(x+△x)Y-y-△y)=0 (2.12) 两式相减,得出 △x+f(x)(Y-y)-f(x+△x)(-y-Ay)=0 或 1-(Y-v/f(x+ Ax)-f'(x).Ay f(x+△x)=0 由于∫"(x)存在时,有lmf(x+Ax)=f(x),并有 f'(x), lim /(x+ Ax)f'(r) f"(x) Ax+0△x
x = −a cost, y = −bsin t, sin cos , 2 2 2 2 2 2 x + y = a t + b t (sin cos ) . 2 2 x y − x y = ab t + t = ab 把它们代入渐屈线方程（2.6），得到 − = − + = + − = + = − sin . sin ( sin cos ) sin cos , cos( sin cos ) cos 3 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 t b b a a b a t a t b t Y b t t a a b a b b a t b t X a t 前面图 10-15 所示者即为椭圆及其渐屈线的图形。 当 6 t = 时，椭圆上的点为 P a b 2 1 , 2 3 ；与之对应的曲率中心（以 6 t = 代入渐屈线 方程）为 − − b b a a a b G 8 , 8 3 3( ) 2 2 2 2 ；所求曲率圆即为以 G 为圆心， ab a b PG 8 ( 3 ) | | 2 2 3 / 2 + = 为 半径的圆： . 64 ( 3 ) 8 8 3 3( ) 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 a b a b b b a y a a b x + = − + − − − 例 4 证明：曲率中心是曲线的法线与其相邻法线的交点的极限位置（当后者无限靠近 前者时）。 证 设曲线 C : y = f (x) ，满足 f (x) 0 。在 C 上已知点 P 与一个相近点 P 处作出 C 的法线，二法线的交点是 G 。若 P 沿 C 无限靠近 P，则 G 在固定点 P 的法线上移动（图 10-21）。写出在点 P（x,y）与点 P(x + x, y + y) 处的法线议程分别为 (X − x) + f (x)(Y − y) = 0, (2.11) (X − x − x) + f (x + x)(Y − y − y) = 0. (2.12) 两式相减，得出 x + f (x)(Y − y) − f (x + x)(Y − y − y) = 0, 或 ( ) 0. ( ) ( ) 1 ( ) + = + + − − − f x x x y x f x x f x Y y 由于 f (x) 存在时，有 lim ( ) ( ) 0 f x x f x x + = → ，并有 ( ), ( ) ( ) lim ( ), lim 0 0 f x x f x x f x f x x y x x = + − = → →
因此对上式取Ax→0的极限,便得 1-(Y-y)f"(x)+f"2(x)=0 f"(x) 把它代入(2.11)式,又得 f"(x) 可见法线(2.11)与(2.12)的交点(X,Y)的极限位置(仍记为(X,Y))即为由(27)式 指出的曲率中心 说明本题虽与定积分没有直接联系,但它对于认识曲率中心的几何特征是很有帮助 例5试求星形线x=acos3t,y=asn3(ax0)绕直线y=x旋转所成旋转曲面的面 积 分析如图10-22所示,曲线上任一点(x,y)至旋转轴y=x的距离为 h 这就是曲面上任一点的旋转半径 解根据以上分析,并利用对称性,可得 4 Ly(t-x(ol x2(0)+y2()dt +/4[(sin't-cos'1V9a2 idt 12mx2 22/J2( tsn costdt+ (sint-cos'(sin t cost )a In t+cos t) (sint+cos't) 12m21(,√2
因此对上式取 x → 0 的极限，便得 1 ( ) ( ) ( ) 0, 2 − Y − y f x + f x = 即 . ( ) 1 ( ) ( ) 2 f x f x Y f x + = + 把它代入（2.11）式，又得 . ( ) ( )[1 ( )] 2 f x f x f x X x + = − 可见法线（2.11）与（2.12）的交点（X,Y）的极限位置（仍记为（X,Y））即为由（2.7）式 指出的曲率中心。 说明 本题虽与定积分没有直接联系，但它对于认识曲率中心的几何特征是很有帮助 的。 例 5 试求星形线 cos , sin ( 0) 3 3 x = a t y = a t a 绕直线 y = x 旋转所成旋转曲面的面 积。 分析 如图 10-22 所示，曲线上任一点（ x, y ）至旋转轴 y = x 的距离为 , 2 | y x | h − = 这就是曲面上任一点的旋转半径。 解 根据以上分析，并利用对称性，可得 x t y t dt y t x t S ( ) ( ) 2 | ( ) ( )| 4 4 2 2 3 4 + − = t t a t tdt a 4 2 2 2 3 4 3 3 (sin cos ) 9 sin cos 2 4 = − = − + 2 4 3 3 2 (sin cos )sin cos 2 12 t t t tdt a t t t t dt − − 4 3 4 3 3 (sin cos )( sin cos ) = + − + 4 3 2 2 5 5 4 5 5 2 (sin cos ) 5 1 (sin cos ) 5 1 2 12 t t t t a (4 2 1) . 5 3 5 1 4 2 1 5 1 2 12 2 2 a a = − + = −
§3定积分在物理中的某些应用 例1洒水车上的水箱是一个横放着的长为4m的椭圆柱体,其椭圆端面的机警向长半 轴为b=lm,纵向短半轴为a=二m。试计算当水箱装有深度为-a=-m的水时每个端面所 受的静压力。 解如图1026所示,当纵向坐标为x∈|-,a时,水深为x+,故所求静压力为 F=2vCx+a.ba-xdx dvb x+aNa'-x'dx 现分别计算: 21b 2vbia-xY a-b 12=vbl ab 从而求得 38 最后以a=2,b=1,v=9.8代入上式,得到 F=93533×10°(N) 问题:本题所求的静压力是否等于装满水时整个端面上的静压力减去x∈-a,-那 弓形部分上的静压力之差?请说明理由
§3 定积分在物理中的某些应用 例 1 洒水车上的水箱是一个横放着的长为 4m 的椭圆柱体，其椭圆端面的机警向长半 轴为 b=1m，纵向短半轴为 a m 4 3 = 。试计算当水箱装有深度为 a m 8 9 2 3 = 的水时每个端面所 受的静压力。 解 如图 10-26 所示，当纵向坐标为 − a a x , 2 时，水深为 2 a x + ，故所求静压力为 a x dx a a b F v x a a 2 2 2 2 2 − = + − . 2 2 2 2 2 a x dx a x a vb a a − = + − 现分别计算： x a x dx a vb I a a − = − 2 2 2 1 2 a a a x a vb 2 2 3 2 2 ( ) 3 2 − = − − ; 4 3 2 = va b I vb a x dx a a − = − 2 2 2 2 a a a x x a x a vb 2 2 2 2 arcsin 2 − = − + . 8 3 3 2 va b = + 从而求得 . 8 3 3 3 2 F I1 I 2 va b = + = + 最后以 , 1, 9.8 4 3 a = b = v = 代入上式，得到 9.3533 10 ( ) 3 F = N 问题：本题所求的静压力是否等于装满水时整个端面上的静压力减去 − − 2 , a x a 那一 弓形部分上的静压力之差？请说明理由
