第十九章含参变量的积分 s1含参变量的正常积分 1.求下列极限: (1)lim J. (2) lim J a2 cos at d.c: (3)lim J a 1+a 求F(x),其中 (1)F(x) (2)F()=os ev1-y dy F dy (4)J6|F(,s 3.设f(x)为连续函数, f(r+s+n)dn dE 求F"(x) 4.研究函数 F(y y f(a)d y2 的连续性,其中f(x)是[0,1上连续且为正的函数 5.应用积分号下求导法求下列积分:
第十九章 含参变量的积分 §1 含参变量的正常积分 1. 求下列极限： (1) lim a→0 R 1 −1 √ x 2 + a 2dx； (2) lim a→0 R 2 0 x 2 cos ax dx； (3) lim a→0 R 1+a a dx 1+x2+a 2 . 2．求F 0 (x)，其中： (1) F(x) = R x 2 x e −xy2 dy； (2) F(x) = R cos x sin x e x √ 1−y 2 dy； (3) F(x) = R b+x a+x sin(xy) y dy； (4) R x 0 hR x 2 t 2 f(t, s)dsi dt. 3．设f(x)为连续函数， F(x) = 1 h 2 Z x 0 ·Z x 0 f(x + ξ + η)dη¸ dξ 求F 00(x). 4．研究函数 F(y) = Z 1 0 yf(x) x 2 + y 2 dx 的连续性，其中f(x)是[0，1]上连续且为正的函数. 5．应用积分号下求导法求下列积分： (1) R π 2 0 ln(a 2 − sin2 x)dx (a > 1); 1
(2)Jo In(1-2a cos r+a2)dr(la)0.,b>0) (2)fo sin(In 1 )Inr"dz(a>0,b>0) 7.设∫/为可微函数,试求下列函数的二阶导数 (1)F(r)=Jo(a+y)f(y)dy (2)F(r)=o f(y)la-yldya<b); 证明:dh≠hyd 9.设F(y)=m√2+y2dx,问是否成立 F In vx2+ylv=od 10.设 F(a) ecos 8 cos (r sin e)de 求证F(x)≡2丌 11.设f(x)为两次可微函数,y(x)为可微函数,证明函数 1 (a, t)=of(a-at)+f(a+at))+ (a)d 满足弦振动方程 a- 及初始条件 u(x,0)=f(x),ut(x,0)=g(x)
(2) R π 0 ln(1 − 2a cos x + a 2 )dx(|a| 0, b > 0)； (2) R 1 0 sin ¡ ln 1 x ¢ x b−x a ln x dx (a > 0, b > 0). 7．设f为可微函数，试求下列函数的二阶导数： (1) F(x) = R x 0 (x + y)f(y)dy； (2) F(x) = R b a f(y)|x − y|dy (a < b)； 8．证明：R 1 0 dx R 1 0 x 2−y 2 (x2+y 2) 2 dy 6= R 1 0 dy R 1 0 x 2−y 2 (x2+y 2) 2 dx. 9．设F(y) = R 1 0 ln p x 2 + y 2dx，问是否成立 F 0 (0) = Z 1 0 ∂ ∂y lnp x 2 + y 2|y=0dx. 10．设 F(x) = Z 2π 0 e x cos θ cos(x sin θ)dθ 求证F(x) ≡ 2π. 11．设f(x)为两次可微函数，ϕ(x)为可微函数，证明函数 u(x, t) = 1 2 [f(x − at) + f(x + at)] + 1 2a Z x+at x−at ϕ(z)dz 满足弦振动方程 ∂ 2u ∂t2 = a 2 ∂ 2u ∂x2 及初始条件 u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) = ϕ(x). 2
§2含参变量的广义积分 证明下列积分在指定的区间内一致收敛: (1)/mdy(x2a>0 (2)/edy(-∞0x≥0); (5)J0xdr(p≥0) 2.讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性: (1)Jo vae-ar dr(00),(i)x∈0,; +∞-( (i)a0连续,0++f(d当入=a,A=皆收敛,且a<b 求证:t2f()d关于A在,列一致收敛 4.讨论下列函数在指定区间上的连续性: 1)F(x)=0~x+y0 3
§2 含参变量的广义积分 1．证明下列积分在指定的区间内一致收敛： (1) R +∞ 0 cos(xy) x2+y 2 dy (x ≥ a > 0)； (2) R +∞ 0 cos(xy) 1+y 2 dy (−∞ 0, x ≥ 0)； (5) R +∞ 0 sin x 2 1+xp dx (p ≥ 0). 2．讨论下列积分在指定区间上的一致收敛性： (1) R +∞ 0 √ αe−αx2 dx (0 0)，（ii）x ∈ [0, b]； (3) R +∞ −∞ e −(x−α) 2 dx， （i）a 0连续，R +∞ 0 t λ f(t)dt当λ = a, λ = b皆收敛，且a < b。 求证：R +∞ 0 t λ f(t)dt关于λ在[a, b]一致收敛. 4．讨论下列函数在指定区间上的连续性： (1) F(x) = R +∞ 0 x x2+y 2 dy，x ∈ (−∞, +∞)； 3
(2)F()=d, (3)F(x)=m(=D=d,x∈(.2) 5.若f(x,y)在{a,bx(,+∞)上连续,含参变量广义积分 I(r) f(r, y)dy 在,b)收敛,在x=时发散,证明(x)在a,b)不一致收敛 6.含参变量的广义积分()=f(x,y)dy在,可一致收敛的充要条 件是:对任一趋于+∞的递增数列{An}(其中A1=c),函数项级数 A n+1 ∑/,f(x,0)y=∑un) 在a,上一致收敛 7.用上题的结论证明含参变量广义积分(x)=∫f(x,y)dy在a,的 积分交换次序定理(定理19.12)和积分号下求导数定理(定理19.13) 利用微分交换次序计算下列积分 1)2()=~y(n为正整数,a>0) (2) -OO c-ar-br in mcdx (a>0.b>0) (3)Jo re-ar sin bcdr(a>0) 9.用对参数的积分法计算下列积分: (1)0s=dx(a>0,b>0) in mdr (a>0.b>0) 10.利用=60c-0(+x)dy计算拉普拉斯积分 cos a T L dr 1+x2 4
(2) F(x) = R +∞ 0 y 2 1+y x dy，x > 3； (3) F(x) = R π 0 sin y y x(π−y) 2−x dy，x ∈ (0, 2). 5．若f(x, y)在[a, b] × [c, +∞)上连续，含参变量广义积分 I(x) = Z +∞ c f(x, y)dy 在[a, b)收敛，在x = b时发散，证明I(x)在[a, b)不一致收敛. 6．含参变量的广义积分I(x) = R +∞ c f(x, y)dy在[a, b]一致收敛的充要条 件是：对任一趋于+∞的递增数列{An}（其中A1 = c），函数项级数 X∞ n=1 Z An+1 An f(x, y)dy = X∞ n=1 un(x) 在[a, b]上一致收敛. 7．用上题的结论证明含参变量广义积分I(x) = R +∞ c f(x, y)dy在[a, b]的 积分交换次序定理（定理19.12）和积分号下求导数定理（定理19.13）. 8．利用微分交换次序计算下列积分： (1) In(a) = R +∞ 0 dx (x2+a) n+1 （n为正整数，a > 0）； (2) R +∞ 0 e −ax−e −bx x sin mxdx（a > 0, b > 0）； (3) R +∞ 0 xe−αx2 sin bxdx (α > 0). 9．用对参数的积分法计算下列积分： (1) R +∞ 0 e −ax2 −e −bx2 x dx（a > 0, b > 0）； (2) R +∞ 0 e −ax−e −bx x sin mxdx（a > 0, b > 0）. 10．利用 1 1+x2 = R +∞ 0 e −y(1+x 2 )dy计算拉普拉斯积分 L = Z +∞ 0 cos αx 1 + x 2 dx 4
和 +∞ c SIn a T 11利用=c-(x>0计算傅伦涅尔积分 sin zada F1 利用已知积分 +∞ sin dr=2 计算下列积分: 1)0+∞sxdx; (2)2J0 (3) (4)Se-(ar+br+e)dr (a>0) (5)/+xe-(2+岁)dr(a>0) 13.求下列积分: (1)0∞1= e cos tdi;2 (2)∞1+ 14.证明: (1)/( cy)dyi在;,列(b>1)上一致收敛; (2)J在(-∞,b(b<1)上一致收敛
和 L1 = Z +∞ 0 x sin αx 1 + x 2 dx. 11．利用√ 1 x = √ 2 π R +∞ 0 e −xy2 dy(x > 0)计算傅伦涅尔积分 F = Z +∞ 0 sin x 2 dx = 1 2 Z +∞ 0 sin x √ x dx 和 F1 = Z +∞ 0 cos x 2 dx = 1 2 Z +∞ 0 cos x √ x dx. 12．利用已知积分 Z +∞ 0 sin x x dx = π 2 Z +∞ 0 e −x 2 dx = √ π 2 计算下列积分： (1) R +∞ 0 sin4 x x2 dx； (2) 2 π R +∞ 0 sin y cos yx y dy； (3) R +∞ 0 x 2 e −αx2 dx (a > 0)； (4) R +∞ 0 e −(ax2+bx+c)dx (a > 0)； (5) R +∞ −∞ e −(x 2+ a 2 x2 ) dx (a > 0). 13．求下列积分： (1) R +∞ 0 1−e t t costdt； (2) R +∞ 0 ln(1+x 2 ) 1+x2 dx. 14．证明： (1) R 1 0 ln(xy)dy在[ 1 b , b] (b > 1)上一致收敛； (2) R 1 0 dx xy在(−∞, b] (b < 1)上一致收敛. 5
3欧拉积分 利用欧拉积分计算下列积分 )+x (2)v-2ar (3)vr3(1-√a)d; (4)02ya2-x2)dr(a>0); (5)J sin r cos zdr (6)m (7)0+2ne-rd(n为正整数 (8)03 (9)J3in2nrdr(n为正整数); (10)Jxm(m1)-dr(m为正整数 2.将下列积分用欧拉积分表示,并求出积分的存在域: (1)J02dr; (2)5o vf=gm (3)J tan"cdz (4)(m)d (5)J0 3.证明
§3 欧拉积分 1．利用欧拉积分计算下列积分： (1) R 1 0 √ dx 1−x 1 4 ； (2) R 1 0 √ x − x 2dx； (3) R 1 0 p x 3(1 − √ x)dx; (4) R a 0 x 2 p a 2 − x 2)dx (a > 0)； (5) R π 2 0 sin6 x cos4 xdx ； (6) R +∞ 0 dx 1+x4； (7) R +∞ 0 x 2n e −x 2 dx （n为正整数）； (8) R π 0 √ dx 3−cos x； (9) R π 2 0 sin2n xdx （n为正整数）； (10) R 1 0 x m ¡ ln 1 x ¢n−1 dx (n为正整数). 2．将下列积分用欧拉积分表示，并求出积分的存在域： (1) R +∞ 0 x m−1 2+xn dx； (2) R 1 0 dx √n 1−xm ； (3) R π 2 0 tann xdx ； (4) R 1 0 ¡ ln 1 x ¢p dx； (5) R +∞ 0 x p e −αx ln xdx (α > 0). 3．证明： 6
(1)∫erdx=lr(l)(n>0) lim 证明 B(a, b) 1+ 7
(1) R +∞ −∞ e −x n dx = 1 n Γ( 1 n ) (n > 0)； (2) lim n→+∞ R +∞ −∞ e −x n dx = 1. 4．证明： B(a, b) = Z 1 0 x α−1 + x b−1 (1 + x) a+b dx Γ(α) = s α Z +∞ 0 x α−1 e −sxdx (s > 0). 7