第十章数项级数 1级数问题的提出 1证明:若微分方程xy”+y+xy=0有多项式解 y=a0+a1+a2 则必有a1=0(i=1,2,……,n) 2.试确定系数a0,a1,…,an,…使∑anx满足勒让德方程 (1-x2)y2-2ry/+l(+1)y=0 2数项级数的收敛性及其基本性质 求下列级数的和 (1)∑(6m-0n Ane-i 3)∑{ (4)∑m1; a sinn r, rI<1 n=1 (6)∑rn cOS n T lrl n=1 2.讨论下列级数的敛散性:
第十章 数项级数 §1 级数问题的提出 1.证明：若微分方程xy” + y 0 + xy = 0有多项式解 y = a0 + a1x + a2x 2 + · · · + anx n , 则必有ai = 0(i = 1, 2, · · · , n). 2．试确定系数a0, a1, · · · , an, · · · ,使 P∞ n=0 anx n满足勒让德方程 (1 − x 2 )y” − 2xy 0 + l(l + 1)y = 0. §2 数项级数的收敛性及其基本性质 1．求下列级数的和： (1) P∞ n=1 1 (5n−4)(5n+1); (2) P∞ n=1 1 4n2−1 ; (3) P∞ n=1 (−1)n−1 2 n−1 ; (4) P∞ n=1 2n−1 2 n ; (5) P∞ n=1 r n sin nx, |r| < 1; (6) P∞ n=1 r n cos nx, |r| < 1. 2．讨论下列级数的敛散性： (1) P∞ n=1 n 2n−1 ; 1
∑(+品) (4)∑(=20n+1 n=1 3.证明定理10.2. 4.设级数∑n各项是正的,把级数的项经过组合而得到新级 数∑Un,即 Un+1=ukn+1+kn+2+…+kn+n=0,1,2,… 其中和=0,k0<k<k<…<k<kn+1<…若∑Un收敛,证明原来 的级数也收敛. 3正项级数 1.判别下列级数的收敛性: n=1 Vn-+n 2n-1 n=1 n=122 (4)∑sinm
(2) P∞ n=1 ( 1 2 n + 1 3 n ); (3) P∞ n=1 cos π 2n+1 ; (4) P∞ n=1 1 (3n−2)(3n+1); (5) P∞ n=1 √ 1 n(n+1)(√ n+ √ n+1) . 3．证明定理10.2. 4．设级数 P∞ n=1 un各项是正的，把级数的项经过组合而得到新级 数 P∞ n=1 Un,即 Un+1 = ukn+1 + ukn+2 + · · · + ukn+1 , n = 0, 1, 2, · · · 其中k0 = 0, k0 1); 2
(6)∑n [n(n+1) (9)∑2+(=1 n=1 (10)∑22 sin 3n; (12)∑ (13)∑m2 (14)∑mB (15)∑x (1+x)(1+x2)-(1+rn (17)++钙++ (18) 9 (In (21)∑3 3
(6) P∞ n=1 1 n √n n ; (7) P∞ n=1 ( 1 2n+1 ) n ; (8) P∞ n=1 1 [ln(n+1)]n ; (9) P∞ n=1 2+(−1)n 2 n ; (10) P∞ n=1 2 n sin π 3 n ; (11) P∞ n=1 n n n! ; (12) P∞ n=1 n ln n 2 n ; (13) P∞ n=1 n!2n nn ; (14) P∞ n=1 n!3n nn ; (15) P∞ n=1 n 2 (n+ 1 n ) n ; (16) P∞ n=1 x n (1+x)(1+x2)···(1+xn) (x ≥ 0); (17) 3 1 + 3·5 1·4 + 3·5·7 1·4·7 + 3·5·7·9 1·4·7·10 + · · · ; (18) P∞ n=1 1 nln n ; (19) P∞ n=1 1 (ln n) ln n ; (20) P∞ n=1 1 2 ln n ; (21) P∞ n=1 1 3 ln n ; 3
(23)∑3 n=1 2.利用泰勒公式估算无穷小量的阶,从而判别下列级数的收敛性: e-(1+)y]P; (2)∑ Incas a (3)∑(Vm+1-mPnn (4)∑(Vn+a-vm2+n+b) 3.已知两正项级数∑un和辶发散, n=1 问∑max(n,n),∑min(un,tn)两级数的收敛性如何? 4.若正项级数∑an收敛,an+1≤an(n=1,2,…),求证 lim nan=0. 5.设 n=是,n≠k2,k=1,2, 是,k=1 求证:(1)∑an收敛; (2) lim nan≠0. 6.讨论下列级数的收敛性: (1)
(22) P∞ n=1 1 3 √n ; (23) P∞ n=1 n 3 √n . 2．利用泰勒公式估算无穷小量的阶，从而判别下列级数的收敛性： (1) P∞ n=1 [e − (1 + 1 n ) n ] p ; (2) P∞ n=3 lnp cos π n ; (3) P∞ n=1 ( √ n + 1 − √ n) p ln n−1 n+1 ; (4) P∞ n=1 ( √ n + a − √4 n2 + n + b). 3． 已 知 两 正 项 级 数 P∞ n=1 un和 P∞ n=1 vn发 散 ， 问 P∞ n=1 max(un, vn)， P∞ n=1 min(un, vn)两级数的收敛性如何？ 4．若正项级数 P∞ n=1 an收敛，an+1 ≤ an(n = 1, 2, · · ·)，求证 limn→∞ nan = 0. 5．设 an = 1 n2 , n 6= k 2 , k = 1, 2, · · · , ak 2 = 1 k 2 , k = 1, 2, · · · , 求证:(1) P∞ n=1 an收敛; (2) limn→∞ nan 6= 0. 6．讨论下列级数的收敛性: (1) P∞ n=2 1 n(ln n) p ; (2) P∞ n=2 1 n·ln n·ln ln n ; 4
n(nn)l+o In In 2=2n(nn)P(In Inn 利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: ()(P是实数; =1 (2)+4+n=1(a>0,B>0 8.设an>0,且lim"士=1,求证 lim van=反之是否成立? 9.利用级数收敛的必要条件证明 (1)1ma=0 (2)lim2a2=0(a>1 10.设an≥0,且数列{nan}有界证明级数∑a2收敛 11.设正项级数∑an收敛证明∑√anan+1也收敛 n=1 12.设lman=l,求证: 1)当>1时,∑n收敛 (2)当<1时,∑m发散 问l=1时会有什么结论? §4一般项级数 1.讨论下列级数的收敛性:
(3) P∞ n=2 1 n(ln n) 1+σ ln ln n (σ > 0); (4) P∞ n=2 1 n(ln n) p(ln ln n) q . 7．利用拉阿比判别法研究下列级数的收敛性: (1) P∞ n=1 [ (2n−1)!! (2n)!! ] p (p是实数); (2) P∞ n=1 α(α+1)···(α+n−1) n! 1 nβ (α > 0, β > 0). 8．设an > 0,且 limn→∞ an+1 an = l,求证 limn→∞ √n an = l.反之是否成立? 9．利用级数收敛的必要条件证明: (1) limn→∞ n n (n!)2 = 0; (2) limn→∞ (2n)! a n! = 0(a > 1). 10．设an ≥ 0,且数列{nan}有界,证明级数 P∞ n=1 a 2 n收敛. 11．设正项级数 P∞ n=1 an收敛,证明 P∞ n=1 √anan+1也收敛. 12．设 limn→∞ an = l,求证: (1) 当l > 1时, + P∞ n=1 1 nan 收敛; (2) 当l < 1时, P∞ n=1 1 nan 发散. 问l = 1时会有什么结论? §4 一般项级数 1．讨论下列级数的收敛性: 5
(1)∑(-1ym+m Inn sin nt n1+5+…+ (4)∑+ SIn (丌Vn2+1); n=1 1) (7)∑(p>0 (8)∑sin; ()∑(-1y∞2; (10)∑(-1) (11)∑(-1)sin(x≠0); (12)∑{ n=1 (13)2 3-1 3+1 +-- 4∑=m(a>0) (15)∑(a+) sIn n sin nl n=1
(1) P∞ n=1 (−1)n √ n n+100 ; (2) P∞ n=1 ln n n sin nπ 2 ; (3) P∞ n=1 (−1)n 1+1 2+···+ 1 n n ; (4) P∞ n=2 (−1)n √ n+(−1)n ; (5) P∞ n=1 sin(π √ n2 + 1); (6) P∞ n=1 (−1) n(n−1) 2 3 n ; (7) P∞ n=1 (−1)n np (p > 0); (8) P∞ n=1 1 3 n sin nπ 2 ; (9) P∞ n=1 (−1)n cos 2n n ; (10) P∞ n=1 (−1)n sin2 n n ; (11) P∞ n=1 (−1)n sin x n (x 6= 0); (12) P∞ n=1 (−1)nn (n+1)2 ; (13) √ 1 2−1 − √ 1 2+1 + √ 1 3−1 − √ 1 3+1 + · · · + √ 1 n−1 − √ 1 n+1 + · · · ; (14) P∞ n=1 (−1)n+1 n a 1+a n (a > 0); (15) P∞ n=1 sin(n+ 1 n ) n ; (16) P∞ n=1 sin n sin n 2 n . 6
2.讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛 sinnE(00; n=1 (10)∑(-1)yrn+vm(r>0) n=1 (11)∑n!(a)n; n=1 ln(1+ n+( (14)∑m+=元 3.利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性: 7
2．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛: (1) P∞ n=1 (−1)n n+x ; (2) P∞ n=1 sin(2nx) n! ; (3) P∞ n=1 sin nx n (0 0); (6) P∞ n=2 (−1)n [n+(−1)n] p (p > 0); (7) P∞ n=1 (−1)n n p+ 1 n ; (8) P∞ n=1 (−1)n−1 2n sin2n x n ; (9) P∞ n=1 ( x an ) n , limn→∞ an = a > 0; (10) P∞ n=1 (−1)n r n+ √ n (r > 0); (11) P∞ n=1 n!( x n ) n ; (12) P∞ n=1 ln(1 + (−1)n np ); (13) P∞ n=1 (−1)n [ √ n+(−1)n−1] p ; (14) P∞ n=1 sin n 4 π np+sin n 4 π . 3．利用柯西收敛原理判别下列级数的敛散性: 7
(1)a+a1q+a2g2+…+anq+…,lql0收敛则级数∑a2收敛但反之不成立请 举出例子 5.若级数∑an收敛,且lim如=1,问是否能断定∑bn也收敛?研究例 /n 6.证明:若级数∑an(A4)及∑bn(B)都收敛且 n=1 an≤Cn≤bhn(n=1,2,…) 则级数∑cm(C)也收敛若级数(4)与(B)都发散问级数(C)的收敛性如何? 7.证明若∑告收敛则当x>xo时,∑也收敛.若∑m发散则 当x<xo时,∑也发散 s.求证:若数列{ma有极限∑n 收敛,则∑an也收敛 9.求证:若∑(an-an-1)绝对收敛∑bn收敛则∑anbn收敛 n=1 10.求证:若级数∑a和∑都收敛,则级数 n=1 a∑ln+bn)2 也收敛 11.设正项数列{xn}单调上升且有界,求证 ∑(1 =
(1) a0 + a1q + a2q 2 + · · · + anq n + · · · , |q| x0时, P∞ n=1 an nx也收敛. 若 P∞ n=1 an nx0 发散,则 当x < x0时, P∞ n=1 an nx也发散. 8．求证:若数列{nan}有极限, P∞ n=1 n(an − an−1)收敛,则 P∞ n=1 an也收敛. 9．求证:若 P∞ n=1 (an − an−1)绝对收敛, P∞ n=1 bn收敛,则 P∞ n=1 anbn收敛. 10．求证:若级数 P∞ n=1 a 2 n和 P∞ n=1 b 2 n都收敛,则级数 X∞ n=1 |anbn|, X∞ n=1 ]n + bn) 2 , X∞ n=1 |an| n 也收敛. 11．设正项数列{xn}单调上升且有界,求证: X∞ n=1 (1 − xn xn+1 ) 8
收敛 12.对数列{an},{bn},定义Sn=∑ak,△b=bk+1-bk,求证: (1)如果{Sn}有界,∑|△bn收敛,且bn→0n→∞),则∑anbn收敛,且有 (2)如果∑an与∑|△b都收敛,则∑anb2收敛 13.设∑an收敛,且lim 0,求证 收敛,并且 14.下列是非题对的请给予证明,错的请举出反例: (1)若an>0,则a1-a1+a2-a2+a3-a3+…收敛; (2)若an→0,则a1-a1+a2-a2+a3-a3+…收敛; (3)若∑an收敛,则∑(-1)"an收敛; (4)若∑a收敛则∑a绝对收敛 5)若∑an发散则a不趋于0 n=1 (6)若∑an收敛,ln→1,则∑anb2收敛; (7)若∑{an收敛,bn→1,则∑anbn收敛;
收敛. 12．对数列{an}, {bn},定义Sn = Pn k=1 ak, ∆bk = bk+1 − bk,求证: (1) 如果{Sn}有界, P∞ n=1 |∆bn|收敛,且bn → 0(n → ∞),则 P∞ n=1 anbn收敛,且有 X∞ n=1 anbn = − X∞ n=1 Sn · ∆bn; (2) 如果 P∞ n=1 an与 P∞ n=1 |∆bn|都收敛,则 P∞ n=1 anbn收敛. 13．设 P∞ n=1 an收敛,且 limn→∞ nan = 0,求证: X∞ n=1 n(an − an+1) 收敛,并且 X∞ n=1 n(an − an+1) = X∞ n=1 an 14．下列是非题,对的请给予证明,错的请举出反例: (1) 若an > 0,则a1 − a1 + a2 − a2 + a3 − a3 + · · ·收敛; (2) 若an → 0,则a1 − a1 + a2 − a2 + a3 − a3 + · · ·收敛; (3) 若 P∞ n=1 an收敛,则 P∞ n=1 (−1)nan收敛; (4) 若 P∞ n=1 a 2 n收敛,则 P∞ n=1 a 3 n绝对收敛; (5) 若 P∞ n=1 an发散,则an不趋于0; (6) 若 P∞ n=1 an收敛,bn → 1，则 P∞ n=1 anbn收敛; (7) 若 P∞ n=1 |an|收敛, bn → 1，则 P∞ n=1 anbn收敛; 9
(8)若∑an收敛,则∑a2收敛 n=1 ()若∑a1收敛an>0,.则hmmn=0 求下列极限(其中p>1) i(+++y (2)1im( n+2 5无穷级数与代数运算 1.不用柯西准则求证如果∑|al,则∑an也收敛 2.设∑an收敛求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相 n=1 同的和数 3.求证:由级数∑(重排所得的级数 √v√+√√ 发散. 4.证明若∑an条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有 子数列趋向于+∞,有一子数列趋向-∝ 5.已知Hn=1++…+是=c+ln+rn,c是欧拉常数,imrn=0,求 (1)号+1+…+2=是1nm+是c+是rm; (2)若把级数1-+3一1+…的各项重排而使依次p个正项的一组与 依次q个负项的一组相交替则新级数的和为m2+1m2
(8) 若 P∞ n=1 an收敛,则 P∞ n=1 a 2 n收敛; (9) 若 P∞ n=1 an收敛,an > 0，则 limn→∞ nan = 0. 15．求下列极限(其中p > 1) (1) limn→∞ ( 1 (n+1)p + 1 (n+2)p + · · · + 1 (2n) p ); (2) limn→∞ ( 1 p n+1 + 1 p n+2 + · · · + 1 p 2n ). §5 无穷级数与代数运算 1．不用柯西准则,求证:如果 P∞ n=1 |an|,则 P∞ n=1 an也收敛. 2．设 P∞ n=1 an收敛,求证:将相邻奇偶项交换后所成的级数收敛,且具有相 同的和数. 3．求证:由级数 P∞ n=1 (−1)n−1 √ n 重排所得的级数 1 + 1 √ 3 − 1 √ 2 + 1 √ 5 + 1 √ 7 − 1 √ 4 + · · · 发散. 4．证明:若 P∞ n=1 an条件收敛,则可把级数重排,使新级数部分和数列有一 子数列趋向于+∞,有一子数列趋向−∞. 5．已知Hn = 1 + 1 2 + · · · + 1 n = c + ln n + rn,c是欧拉常数, limn→∞ rn = 0,求 证: (1) 1 2 + 1 4 + · · · + 1 2m = 1 2 ln m + 1 2 c + 1 2 rm; (2) 若把级数1 − 1 2 + 1 3 − 1 4 + · · ·的各项重排,而使依次p个正项的一组与 依次q个负项的一组相交替,则新级数的和为ln 2 + 1 2 ln p q . 10