第二十章重积分 s1重积分的概念 证明性质(4),性质(6) 2.证明有界闭区域上的连续函数必可积 3.设Ω是可度量的平面图形或空间立体,f,g在g上连续,证明 (1)若在9上f(P)≥0,且f(P)≠0,则∫f(P)d2 )若在9的任何部分区域92c9上,有 f(P) g(P)ds, 则在上有f(P)=g(P) 4.设f(x)在a,b可积,g(y)在c,d可积,则f(x)g(y)在矩形区 域Da,b×(,上可积,且 f(a)dr/ g(y)dy 5.若f(x,y)在D上可积,那么D上是否可积?考察函数 f(x,y)=J1,若x,y都是有理数 1,若x,y至少有一个是无理数 在[,]×(0,1]上的积分 6.设D=[0,1×0,1 1,x是有理数 ∫(x,y) 0,x是无理数 证明f(x,y)在D上不可积 2重积分化累次积分
第二十章 重积分 §1 重积分的概念 1．证明性质（4），性质（6）． 2．证明有界闭区域上的连续函数必可积． 3．设Ω 是可度量的平面图形或空间立体，f, g 在Ω 上连续，证明： (1) 若在Ω 上f(P) > 0, 且f(P)≡/ 0 ，则R Ω f(P)dΩ ； (2) 若在Ω 的任何部分区域Ω 0 ⊂ Ω 上，有 Z Ω f(P)dΩ = Z Ω g(P)dΩ, 则在Ω 上有f(P) = g(P) ． 4． 设f(x) 在[a,b]可 积 ，g(y) 在[c,d]可 积 ， 则f(x)g(y) 在 矩 形 区 域D[a, b] × [c, d]上可积，且 ZZ D f(x)g(y)dxdy = Z b a f(x)dx Z d c g(y)dy. 5．若|f(x, y)| 在D 上可积，那么D 上是否可积？考察函数 f(x, y) = 1,若x, y都是有理数, −1,若x, y至少有一个是无理数 在[0,1]×[0,1]上的积分． 6．设D = [0, 1] × [0, 1] ， f(x, y) = 1, x是有理数 0, x是无理数 证明f(x, y) 在D 上不可积． §2 重积分化累次积分 1
1.计算下列二重积分: (1)∫∫(y-2x)ddy,D=[3,5]×[1,2 (2)∫cos(x+y)ddy,D=0.,2×[0,; (3)rye+y dxdy, D=(a, b]x[c,d) (4)∫+ Leddy,D=0,1×0,1 2.将二重积分J∫f(x,y)drdy化为不同顺序的累次积分: (1)D由x轴与x2+y2=r2(y>0)所围成; (2)D由y=x,x=2及y=l(x>0)所围成 (3)D由y=x2,y=2n3,y=1和y=2围成; (4)D={(x,y)x+|≤1} 3.改变下列累次积分的次序: (1)Jo dy 2f(, y)d.c (2)Ji d:e f(a, y)dy (3)o dr f(r, y)dy +r dxf (3-2)f(r, y)dy 4.设f(x,y)在所积分的区域D上连续,证明 f(a,y)dy=/dy/f(r,y)da 5.计算下列二重积分 (1) famedrdy(m,k>0),D是由y2=2p(p>0),x=号围成的区域
1. 计算下列二重积分： (1) RR D (y − 2x)dxdy, D = [3, 5] × [1, 2] ； (2) RR D cos(x + y)dxdy, D = [0, π 2 ] × [0, π] ； (3) RR D xyex 2+y 2 dxdy, D = [a, b] × [c, d] ； (4) RR D x 1+xy dxdy, D = [0, 1] × [0, 1] ． 2. 将二重积分RR D f(x, y)dxdy 化为不同顺序的累次积分： (1) D由x 轴与x 2 + y 2 = r 2 (y > 0) 所围成； (2) D由y = x, x = 2 及y = 1 x (x > 0) 所围成； (3) D 由y = x 2 , y = 2x 3 , y = 1 和y = 2 围成； (4) D = {(x, y)||x| + |y| 6 1}． 3. 改变下列累次积分的次序： (1) R 2 0 dy R 3y y 2 f(x, y)dx ； (2) R 2 1 dx R 2 √ x f(x, y)dy ； (3) R 1 0 dx R x 2 0 f(x, y)dy + R 3 1 dx R 1 2 (3−x) 0 f(x, y)dy. 4. 设f(x, y) 在所积分的区域D 上连续，证明 Z b a dx Z x a f(x, y)dy = Z b a dy Z b y f(x, y)dx. 5. 计算下列二重积分： (1) RR D x my kdxdy(m, k > 0), D 是由y 2 = 2px(p > 0), x = p 2 围成的区域； 2
(2) frdcdy,D是由y=0,y=sin2,x=0和x=√围成的区域: (3)∫∫ Ved rdy,D:x2+y2≤x ∫∫|ryd +y2≤ (5)∫f(x+y)drdy,D由y=er,y=1,x=0,x=1所围成 (6)J0x2y2drdy,D由x=y2,x=0,x=2,y=2+x所围成 (7)∫(x+y)drdy,D是以(2,2),(2,3)和(3,1)为顶点的三角形; (8)∫ sin macdaddy,D由y=x2,y=4x和y=4所围成 6.求下列二重积分: (1)I=dx/2 (2)I=Jo dlx2e-ydy: (3)I=2dy 7.设y轴将平面有界区域D分成对称的两部分D1和D2,证明: (1)若f(x,y)关于x为奇函数,即f(-x,y)=-f(x,y),则 ∫(x,y)drdy=0 (2)若f(x,y)关于x为偶函数,即f(-x,y)=f(x,y),则 f(,y)dady=2//f(c, y)d rdy=2//f(a, y)dardy 8.计算下列三重积分: (1)∫(x+y+2) d.edyd,v:x2+y2+2≤a2 3
(2) RR D xdxdy, D 是由y = 0, y = sin x 2 , x = 0 和x = √ π 围成的区域； (3) RR D √ xdxdy, D : x 2 + y 2 6 x; (4) RR D |xy|dxdy, D : x 2 + y 2 6 a 2 ; (5) RR D (x + y)dxdy, D 由y = e x , y = 1, x = 0, x = 1 所围成； (6) RR D x 2 y 2dxdy, D 由x = y 2 , x = 0, x = 2, y = 2 + x 所围成； (7) RR D (x + y)dxdy, D 是以(2, 2),(2, 3) 和(3, 1) 为顶点的三角形； (8) RR D sin nxdxdy, D 由y = x 2 , y = 4x 和y = 4 所围成． 6. 求下列二重积分： (1) I = R 1 0 dx R 1 x e −y 2 dy ； (2) I = R 1 0 dx R 1 x x 2 e −y 2 dy ； (3) I = R √π 2 0 dy R √π 2 y y 2 sin x 2dx ． 7. 设y 轴将平面有界区域D 分成对称的两部分D1 和D2 ，证明： (1) 若f(x, y) 关于x 为奇函数，即f(−x, y) = −f(x, y) ，则 ZZ D f(x, y)dxdy = 0. (2) 若f(x, y) 关于x 为偶函数，即f(−x, y) = f(x, y) ，则 ZZ D f(x, y)dxdy = 2 ZZ D1 f(x, y)dxdy = 2 ZZ D2 f(x, y)dxdy. 8. 计算下列三重积分： (1) RRR V (x + y + z)dxdydz, V : x 2 + y 2 + z 2 6 a 2 ; 3
(2)∫ r ad. cyd,V由曲面z=x2+y2,2=1,2=2所围成 (3)∫(1+x4)ddgd,V由曲面x2=2+y2,x=2,x=4所围成; (4)∫J3 /zd.cyd,V是由曲面x2+y2+2=1,x=0,y=0,z2=0围成 的位于第一卦限的有界区域 (5)∫xy23 d. zdydz,V由曲面z=xvy,y=x,z=0,x=1所围成 (6)∫ycos(x+2) dodd,V是由y=√,y=0,2=0及x+z=所围 成的区域 9.改变下列累次积分的次序 (1)Jo dr Jo dyJos f(a, y,a)dx (2)Jo da o dy Jo ts f(r,y, a)dz: (3)Jo dxo dy__y f(r, y, a)d (4)1山/+f(x,,2)d 10.求下列立体之体积: (1)V由x2+y2+2≤r2,x2+y2+2≤2rz所确定; (2)V由z≤x2+y2,y≤x2,zV2所确定; (3)V是由坐标平面及x=2,y=3,x+y+z=4所围成的角柱体 §3重积分的变量代换 1.用极坐标变换将∫f(x,y)drdy化为累次积分: (1)D:半圆x2+y2≤a2,y≥0
(2) RRR V zdxdydz, V 由曲面z = x 2 + y 2 , z = 1, z = 2所围成； (3) RRR V (1 + x 4 )dxdydz, V 由曲面x 2 = z 2 + y 2 , x = 2, x = 4 所围成； (4) RRR V x 3 yzdxdydz, V 是由曲面x 2 + y 2 + z 2 = 1, x = 0, y = 0, z = 0 围成 的位于第一卦限的有界区域； (5) RRR V xy2 z 3dxdydz, V 由曲面z = xy, y = x, z = 0, x = 1 所围成； (6) RRR V y cos(x + z)dxdydz, V 是由y = √ x, y = 0, z = 0 及x + z = π 2所围 成的区域． 9. 改变下列累次积分的次序： (1) R 1 0 dx R 1−x 0 dy R x+y 0 f(x, y, z)dz ； (2) R 1 0 dx R 1 0 dy R x 2+y 2 0 f(x, y, z)dz； (3) R 1 0 dx R 1 0 dy R 0 1−x−y f(x, y, z)dz ； (4) R 1 −1 dx R √ 1−x2 − √ 1−x2 dy R√ 1 x2+y 2 f(x, y, z)dz ． 10．求下列立体之体积： (1) V 由x 2 + y 2 + z 2 6 r 2 , x2 + y 2 + z 2 6 2rz 所确定； (2) V 由z 6 x 2 + y 2 , y 6 x 2 , zV 2 所确定； (3) V 是由坐标平面及x = 2, y = 3, x + y + z = 4 所围成的角柱体． §3 重积分的变量代换 1. 用极坐标变换将RR D f(x, y)dxdy 化为累次积分： (1) D ：半圆x 2 + y 2 6 a 2 , y > 0 ； 4
(2)D:半环a2≤x2+y2≤b2,x≥0; (3)D:圆x2+y2≤ay(a>0); (4)D:正方形0≤x≤a,0≤y≤a 2.用极坐标变换计算下列二重积分: ()iy+pbDi≤x+p≤42 (2)∫f(x+y)drdy,D是圆x2+y2≤x+y的内部 3)∫(x2+y2drd,D由双纽线(x2+y2)2=a2(x2-y2)围成 (4)∫ddy,D由阿基米德螺线r=和半射线=x围成; 5)∫ ruddy,D由对数螺线r=c和半射线O=丌围成 3.在下列积分中引入新变量u,,将它们化为累次积分: dzf2-rf(, y)dy, tu=x+g, v=x-y )So.x or f(a, y)dy(00), 若x+y=u,y=u 4.作适当的变量代换,求下列积分: (1)∫∫(x2+y2)drd,D是由x4+y4=1围成的区域 )∫(x+y)dxdy,D由y=4x2,y=9n2,x=4y2,x=9y2围成
(2) D ：半环a 2 6 x 2 + y 2 6 b 2 , x > 0 ； (3) D ：圆x 2 + y 2 6 ay(a > 0) ； (4) D ：正方形0 6 x 6 a, 0 6 y 6 a ． 2. 用极坐标变换计算下列二重积分： (1) RR D sin p x 2 + y 2dxdy, D : π 2 6 x 2 + y 2 6 4π 2 ； (2) RR D (x + y)dxdy, D 是圆x 2 + y 2 6 x + y 的内部； (3) RR D (x 2 + y 2 )dxdy, D 由双纽线(x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 − y 2 ) 围成； (4) RR D xdxdy, D 由阿基米德螺线r = θ 和半射线θ = π 围成； (5) RR D xydxdy, D 由对数螺线r = e θ 和半射线θ = π 围成． 3. 在下列积分中引入新变量u, v ，将它们化为累次积分： (1) R 2 0 dx R 2−x 1−x f(x, y)dy, 若u = x + y, v = x − y ； (2) R b a dx R βx αx f(x, y)dy(0 0, y > 0} ， 若x = u cos4 v, y = u sin4 v ； (4) RR D f(x, y)dxdy ，其中D = {(x, y)|x + y 6 a, x > 0, y > 0}(a > 0)， 若x + y = u, y = uv ． 4. 作适当的变量代换，求下列积分： (1) RR D (x 2 + y 2 )dxdy, D 是由x 4 + y 4 = 1 围成的区域； (2) RR D (x + y)dxdy, D 由y = 4x 2 , y = 9x 2 , x = 4y 2 , x = 9y 2 围成； 5
(3)∫(x2+y2) dcdy,D由xy=2,xy=4,y=x,y=2r围成 5.利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积: (1)z=xy,x2+y2=a2,z=0; (2)2=hvm2+y2,=0.,x2+y2=R2; (3)球面x2+y2+2=a2与圆柱面x2+y2=ar(a>0)的公共部分 (4)+层+=1,+}=5(=>0) (5)2=+5,2=于+等 +y2,z=+y 6.求曲线(2+)2=所围成的面积 7.用柱坐标变换计算下列三重积分 )1e+ypdn由曲面=+,2=4.2=16成 (2)∫(yx2+y2)3ddyd,V由曲面x2+y2=9,x2+y2 z≥0围成 8.用球坐标变换计算下列三重积分: (1)∫(x+y+2) drdy,v:n2+y2+2≤P2; (2)∫yx2+y2+2)5 dady,v由x2+y2+2=2z围成; (3)∫2x2dydz,v由x2+y2=2,x2+y2+z2=8围成 9.作适当的变量代换,求下列三重积分: (1)SC22y2zdxdydx, V z=2+, x=v, ay=c, ry=d,y=az, y
(3) RR D (x 2 + y 2 )dxdy, D 由xy = 2, xy = 4, y = x, y = 2x 围成． 5. 利用二重积分求由下列曲面围成的立体的体积： (1) z = xy, x2 + y 2 = a 2 , z = 0 ； (2) z = h R p x 2 + y 2, z = 0, x2 + y 2 = R2 ； (3) 球面x 2 + y 2 + z 2 = a 2 与圆柱面x 2 + y 2 = ax(a > 0)的公共部分； (4) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1, x 2 a 2 + y 2 b 2 = z 2 c 2 (z > 0)； (5) z 2 = x 2 4 + y 2 9 , 2z = x 2 4 + y 2 9 ； (6) z = x 2 + y 2 , z = x + y ． 6. 求曲线( x 2 a 2 + y 2 b 2 ) 2 = xy c 2 所围成的面积． 7. 用柱坐标变换计算下列三重积分： (1) RRR V (x 2 + y 2 )dxdydz, V 由曲面z = x 2 + y 2 , z = 4, z = 16 围成； (2) RRR V ( p x 2 + y 2) 3dxdydz, V 由曲面x 2 + y 2 = 9, x2 + y 2 = 16, z2 = x 2 + y 2 , z > 0 围成． 8. 用球坐标变换计算下列三重积分： (1) RRR V (x + y + z)dxdydz, V : x 2 + y 2 + z 2 6 R2 ； (2) RRR V ( p x 2 + y 2 + z 2) 5dxdydz, V 由x 2 + y 2 + z 2 = 2z 围成； (3) RRR V x 2dxdydz, V 由x 2 + y 2 = z 2 , x2 + y 2 + z 2 = 8 围成． 9. 作适当的变量代换，求下列三重积分： (1) RRR V x 2 y 2 zdxdydz, V 由z = x 2+y 2 a , z = x 2+y 2 b , xy = c, xy = d, y = αx, y = 6
Bx围成的立体,其中00)围成; drdd,V由++=1围成 6)ld0=y/=x2=2 10.求下列各曲面所围立体之体积: (1)z=x2+y2,z=2(x2+y2) (2)(a+影)2+()2=1(x≥0,y≥0,2≥0,a≥0,b≥0,c≥0) §4曲面面积 1.求下列曲面的面积 1)z=axy包含在圆柱x2+y2=a2内的部分 (2)锥面x2+y2=32与平面x+y+z=2a(a>0)所界部分的表面 (3)锥面z=√2+y2被柱面2=2x所截部分 (4)曲面z=√2xy被平面x+y=1,x=1及y=1所截下的部分 2.螺旋面x=rcos,y= rsIn y,z=hy(0<r<a,0<9<2)的面积 3.求环面x=(b+ a cos yy)cosg,y=(b+acos)siny,z= a sin y(0<a≤ b)被两条经线y=y1,p=y2和两条纬线v=1,v=v2所围成部分的面 积,并求出整个环面的面积. §5重积分的物理应用 7
βx 围成的立体，其中0 0, 0 0) 围成； (4) RRR V e q x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 dxdydz, V 由x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1 围成； (5) R 1 0 dx R √ 1−x2 0 dy R 2−x 2−y 2 √ x2+y 2 z 2dz. 10．求下列各曲面所围立体之体积： (1) z = x 2 + y 2 , z = 2(x 2 + y 2 ), y = x, y = x 2 ； (2) (x a + y b ) 2 + ( z c ) 2 = 1(x > 0, y > 0, z > 0, a > 0, b > 0, c > 0). §4 曲面面积 1. 求下列曲面的面积： (1) z = axy包含在圆柱x 2 + y 2 = a 2 内的部分； (2) 锥面x 2 + y 2 = 1 3 z 2 与平面x + y + z = 2a(a > 0)所界部分的表面； (3) 锥面z = p x 2 + y 2 被柱面z 2 = 2x 所截部分； (4) 曲面z = √ 2xy 被平面x + y = 1, x = 1 及y = 1 所截下的部分． 2. 螺旋面x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = hϕ(0 < r < a, 0 < ϕ < 2π) 的面积． 3. 求环面x = (b + a cos ψ) cos ϕ, y = (b + a cos ψ) sin ϕ, z = a sin ψ(0 < a 6 b)被两条经线ϕ = ϕ1, ϕ = ϕ2 和两条纬线ψ = ψ1, ψ = ψ2 所围成部分的面 积，并求出整个环面的面积． §5 重积分的物理应用 7
求下列均匀密度的平面薄板的质心: (1)半椭圆+≤1,y≥0 (2)高为h,底分别为a和b的等腰梯形; (3)r=a(1+cosy)0≤y≤π)所界的薄板; (4)ay=x2,x+y=2a(a>0)所界的薄板 2.求下列密度均匀的物体的质心: (1)z≤1 y2.z≥0 (2)由坐标面及平面x+2y-2=1所围成的四面体; (3)z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0围成的立体; (4)2=x2+y2(≥0)和平面z=h围成的立体 (5)半球壳a2≤x2+y2+2≤b2,z≥0. 3.求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量: (1)边长为a和b,且夹角为φ的平行四边形,关于底边b的转动惯 量 (2)y=x2,y=1所围平面图形关于直线y=-1的转动惯量. 4.求由下列曲面所界均匀体的转动惯量 (1)z=x2+y2,x+y=±1,x-y=±1,z=0关于z轴的转动惯量 2)长方体关于它的一棱的转动惯量 (3)圆筒a2≤x2+y2≤b2,-h≤z≤h关于x轴和z轴的转动惯量
1. 求下列均匀密度的平面薄板的质心： (1) 半椭圆x 2 a 2 + y 2 b 2 6 1, y > 0 ； (2) 高为h ，底分别为a 和b 的等腰梯形； (3) r = a(1 + cos ϕ)(0 6 ϕ 6 π) 所界的薄板； (4) ay = x 2 , x + y = 2a(a > 0) 所界的薄板． 2. 求下列密度均匀的物体的质心： (1) z 6 1 − x 2 − y 2 .z > 0 ； (2) 由坐标面及平面x + 2y − z = 1 所围成的四面体； (3) z = x 2 + y 2 , x + y = a, x = 0, y = 0, z = 0 围成的立体； (4) z 2 = x 2 + y 2 (z > 0) 和平面z = h 围成的立体； (5) 半球壳a 2 6 x 2 + y 2 + z 2 6 b 2 , z > 0. 3. 求下列密度均匀的平面薄板的转动惯量： (1) 边长为a 和b ，且夹角为ϕ 的平行四边形，关于底边b 的转动惯 量； (2) y = x 2 , y = 1 所围平面图形关于直线y = −1 的转动惯量． 4. 求由下列曲面所界均匀体的转动惯量： (1) z = x 2 + y 2 , x + y = ±1, x − y = ±1, z = 0 关于z 轴的转动惯量； (2) 长方体关于它的一棱的转动惯量； (3) 圆筒a 2 6 x 2 + y 2 6 b 2 , −h 6 z 6 h 关于x 轴和z 轴的转动惯量． 8
5.设球体x2+y2+2≤2x上各点的密度等于该点到坐标原点的距 离,求这球的质量 6.求均匀薄片x2+y2≤R2,z=0对x轴上一点(0,0,c)(c>0)处单位质 点的引力 7.求均匀柱体x2+y2≤a2,0≤z≤h对于(0,0,c)(c>b)处单位质点的
5. 设球体x 2 + y 2 + z 2 6 2x 上各点的密度等于该点到坐标原点的距 离，求这球的质量． 6. 求均匀薄片x 2 + y 2 6 R2 , z = 0 对x 轴上一点(0, 0, c)(c > 0) 处单位质 点的引力． 7. 求均匀柱体x 2 + y 2 6 a 2 , 0 6 z 6 h 对于(0, 0, c)(c > h)处单位质点的 引力． 9
