第三章极限与函数的连续性 §2数列的极限 1.用定义证明下列数列的极限为零: (5)im(√n+1-√m) 证明首先, 所以v>0,取N=[]则当n>N时,有 √n+1-vn≤ 由极限定义,这表示 提示 on 10 12 10310 9! 2.用定义证明: n k n 3,其中 Bn n=3k+1(k=1,2,…) 3k+
第三章 极限与函数的连续性 §2 数列的极限 1. 用定义证明下列数列的极限为零： (5) limn→∞ ( √ n + 1 − √ n)； 证明 首先， | √ n + 1 − √ n| = (n + 1) − n √ n + 1 + √ n ≤ 1 √ n 所以∀ε > 0, 取N = [ 1 ε 2 ], 则当n > N时，有 | √ n + 1 − √ n| ≤ 1 √ n ≤ ε 由极限定义，这表示 limn→∞ ( √ n + 1 − √ n) = 0 (6) limn→∞ 10n n! ； 提示： 10n n! = 10 1 · 10 2 · · · 10 1 0 · · · 10 n ≤ 109 9! · 10 n 2．用定义证明： (4) limn→∞ xn = 3，其中xn = 3, n = 3k 3n+1 n , n = 3k + 1(k = 1, 2, · · ·) 2 + 1+n 3− √ n+n , n = 3k + 2. 1
证明当n=3k,k=1,2,…时 当n=3k+1,k=1,2,…时 In-3I 3n+1 当n=3k+2,k=1,2,…时, ln-3 -2+√n n+n +n (当n≥9时) 综上,当n≥9时 |xn-3 故ve>0,取N=max9,,则当n>N时,有 4 n /n 所以 lim n=3 求下列极限 (1)im(+2 提示 +1)n-n+
证明 当n = 3k, k = 1, 2, · · ·时， |xn − 3| = 0 当n = 3k + 1, k = 1, 2, · · ·时， |xn − 3| = | 3n + 1 n − 3| ≤ 1 n 当n = 3k + 2, k = 1, 2, · · ·时， |xn − 3| = |2 + 1 + n 3 − √ n + n − 3| ≤ −2 + √ n 3 − √ n + n ≤ √ n − n 2 + n , (当n ≥ 9时) ≤ √ 2 n 综上，当n ≥ 9时， |xn − 3| ≤ 1 n + 2 √ n ≤ 4 √ n 故∀ε > 0, 取N = max 9, 16 ε 2 , 则当n > N时，有 |xn − 3| ≤ 4 √ n < ε 所以 limn→∞ xn = 3 8．求下列极限： (1) limn→∞ ( 1 1·2 + 1 2·3 + · · · + 1 n(n+1))； 提示： 1 n(n+1) = 1 n − 1 n+1 . 2
(2)im(+a+…+2) 提 2 1+1m n)2 1 n (5)mim(1-2)cn 提示:极限不存在 (8)lim[(m+1)2-n],0<a<1: 提示:因为0<a<1,所以 (9)lim是 解法1由于 (2m-1)+(2n+1) 2 1)(2n+1) 所以 5√3√3,√②-②n+ 所以由 n=y√2n+70 lim 3
(2) limn→∞ ( 1 n2 + 1 (n+1)2 + · · · + 1 (2n) 2 )； 提示： 1 n2 + 1 (n + 1)2 + · · · + 1 (2n) 2 ≤ 1 n2 + 1 n2 + · · · + 1 n2 1 n (5) limn→∞ (1 − 1 √n 2 ) cos n； 提示：极限不存在。 (8) limn→∞ [(n + 1)α − n α]，0 < a < 1； 提示：因为0 < a < 1, 所以 (n + 1)α − n α = n α [(1 + 1 n ) α − 1] ≤ n α [(1 + 1 n ) − 1] = 1 n1−α (9) limn→∞ 1 2 · 3 4 · · · · · 2n−1 2n ； 解法1 由于 2n = (2n − 1) + (2n + 1) 2 ≥ p (2n − 1)(2n + 1) 所以 1 2 · 3 4 · · · · · 2n − 1 2n ≤ 1 √ 1 · 3 · 3 √ 3 · 4 · · · · · 2n − 1 p (2n − 1)(2n + 1) ≤ 1 √ 2n + 1 所以由 limn→∞ 1 √ 2n + 1 = 0 3
使知 13 2n-1 解法2记 1 3-44-5 则易见 2n+1 n≤yn 所以 V2n+1 故由 lim √2n+1 0 使知 0 2 16.设iman=a,证明 (1)lim++n=a;(又问,它的逆命题成立否?) 证明v>0,3N1∈N,使得当n>M1时,有 lanI 对这取定的N1,a1+a2+…+aN是一个固定的数,因此可以取N>N1,使 得当n>N时,有 a1+a2+…+aN\22
使知 limn→∞ 1 2 · 3 4 · · · · · 2n − 1 2n = 0 解法2 记 xn = 1 2 · 3 4 · · · · · 2n − 1 2n yn = 2 3 · 4 5 · · · · · 2n 2n + 1 则易见 xnyn = 1 2n + 1 且 xn ≤ yn 所以 xn ≤ √ xnyn ≤ r 1 2n + 1 故由 limn→∞ 1 √ 2n + 1 = 0 使知 limn→∞ 1 2 · 3 4 · · · · · 2n − 1 2n = 0 16．设 limn→∞ an = a，证明： (1) limn→∞ a1+a2+···+an n = a；（又问，它的逆命题成立否？） 证明 ∀ε > 0, ∃N1 ∈ N, 使得当n > N1时，有 |an| N1,使 得当n > N时，有 | a1 + a2 + · · · + aN1 n | < ε 2 4
于是,利用三角不等式,得 a1+a2+ a1+a2+…+aN1,aN1+1+aN1+2+……+ a1+a2+…+a +/-+1+aN2+2+…+an 逆命题不成立,例如:an=(-1)n (2)若an>0,则 lim va1a2…an=a 提示:利用上题的结论。 18.用定义证明下列数列为无穷大量 1 解对任意正整数n,存在正整数k,使得2≤n0,不等式 2h2>M等价于m>22
于是，利用三角不等式，得 | a1 + a2 + · · · + an n | = | a1 + a2 + · · · + aN1 n + aN1+1 + aN1+2 + · · · + an n | ≤ |a1 + a2 + · · · + aN1 n | + | aN1+1 + aN1+2 + · · · + an n | 0，则 limn→∞ √n a1a2 · · · an = a. 提示：利用上题的结论。 18．用定义证明下列数列为无穷大量： (4) 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n . 解 对任意正整数n，存在正整数k，使得2 k ≤ n 0, 不等式 ln n 2 ln 2 > M等价于n > 2 2M 5
因此取N=21,则当n>M时,有 M 结论证毕。 3函数的极限 3.设f(x)>0,证明:若limf(x)=A,则 lim vf(x)=vA,其中 工一x0 正整数n≥2 提示:若A=0,则结论易证。下设A>0,此时 VAl If()-Al (vf(r)n-I+(vf(r)n-2VA+.+(VA)n-1 (VA)n 5.求下列函数字所示点的左右极限 x>0, (5)f(x)=0.x=0.在x=0 x<0 提示:先用定义证明 lim 2=1 18.设函数f(x)在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x),且limf(x) A,证明: ∫(x)≡A,x∈(0,+∞) 证明对任意的x∈(0,+∞),有 f(x)=f(2x)=f(2x)=…=f(22x),正整数n
因此取N = [22M], 则当n > M时，有 1 + 1 2 + 1 3 + · · · + 1 n > M 结论证毕。 §3 函数的极限 3．设f(x) > 0，证明：若 limx→x0 f(x) = A，则 limx→x0 pn f(x) = √n A，其中 正整数n ≥ 2. 提示：若A = 0, 则结论易证。下设A > 0, 此时 | pn f(x) − √n A| = |f(x) − A| ( pn f(x))n−1 + (pn f(x))n−2 √n A + · · · + (√n A) n−1 ≤ |f(x) − A| ( √n A) n−1 5．求下列函数字所示点的左右极限： (5) f(x) = 2 x , x > 0, 0, x = 0, 1 + x 2 , x < 0 在x = 0. 提示：先用定义证明 lim x→0 2 x = 1 18．设函数f(x)在(0, +∞)上满足方程f(2x) = f(x)，且 lim x→+∞ f(x) = A，证明： f(x) ≡ A, x ∈ (0, +∞). 证明 对任意的x ∈ (0, +∞)，有 f(x) = f(2x) = f(22x) = · · · = f(2nx), ∀正整数n 6
上式两边令n→∞取极限,即得 f(a)=lim f(2" x)=lim f(r) §4函数的连续性 9.若f(x)和g(x)都在a,b连续,试证明max(f(x),g(x) 和min(f(x),g(x)都在{a,b连续 提 max(f(), g(a)) ∫(x)+g(x)+|f(x)-9(x) min(f(a), g(ar)) (f(x)+g(x)-|f(x)-9(x) §5无穷小量与无穷大量的比较 3.当x→0时,下列等式成立吗? (1)o( 解成立.因为 lim o(z2)-lim o(z2) x=0 (2)O(x2)=o(x); 解成立.因为 lim m (3)x·o(x2)=0(x3); 解成立.因为 (2)=1imr2 7
上式两边令n → ∞取极限，即得 f(x) = limn→∞ f(2nx) = lim x→+∞ f(x) = A §4 函数的连续性 9． 若f(x)和g(x)都 在[a, b]连 续 ， 试 证 明max(f(x), g(x)) 和min(f(x), g(x)) 都在[a, b]连续. 提示： max(f(x), g(x)) = (f(x) + g(x)) + |f(x) − g(x)| 2 min(f(x), g(x)) = (f(x) + g(x)) − |f(x) − g(x)| 2 §5 无穷小量与无穷大量的比较 3．当x → 0时，下列等式成立吗？ (1) o(x 2 ) = o(x)； 解 成立. 因为 lim x→0 o(x 2 ) x = lim x→0 o(x 2 ) x 2 · x = 0 (2) O(x 2 ) = o(x) ； 解 成立. 因为 lim x→0 O(x 2 ) x = lim x→0 O(x 2 ) x 2 · x = 0 (3) x · o(x 2 ) = o(x 3 )； 解 成立. 因为 lim x→0 x · o(x 2 ) x 3 = lim x→0 o(x 2 ) x 2 = 0 7
(6)o(x)=O( 解不成立例如f(x)=x,则f(x)=o(x,但f(x)≠o(x2)
(6) o(x) = O(x 2 ). 解 不成立. 例如f(x) = x 3 2 , 则f(x) = o(x), 但f(x) 6= o(x 2 ) 8