第十三章幂级数 §1幂级数的收敛半径与收敛区域 1.求下列各幂级数的收敛域 (2)∑+n+1 n=1 (3)∑[(+1)n n=1 )∑B+(1 2n+1 + =1 (1)2>{mn (12)∑(1++…+是)x" n=1 (13)∑nx n=1
第十三章 幂级数 §1 幂级数的收敛半径与收敛区域 1. 求下列各幂级数的收敛域. (1) P∞ n=1 (2x) n n! ; (2) P∞ n=1 ln(x+1) n+1 x n+1; (3) P∞ n=1 [(n+1 n ) nx] n ; (4) P∞ n=1 x n 2 2 n ; (5) P∞ n=1 [3+(−1)n ] n x n ; (6) P∞ n=1 3 n+(−2)n n (x + 1)n ; (7) P∞ n=1 (2n)!! (2n+1)!!x n ; (8) P∞ n=1 (1 + 1 n ) −n62x n ; (9) P∞ n=1 (−1)n n √n n x n ; (10) P∞ n=1 x n 5 n+7n ; (11) P∞ n=1 (n!)2 (2n)!x n ; (12) P∞ n=1 (1 + 1 2 + · · · + 1 n )x n ; (13) P∞ n=1 nxn ; 1
(15)∑a"xn2(0<a (16)∑需 2.设幂级数∑anm的收敛半径为R,∑∞bn的收敛半径为Q,讨 论下列级数的收敛半径 (an +bn)r (n=0.,1, 0),求证:当 有 收敛 §2幂级数的性质 1.设f()=∑an当<r时收敛,那么当∑中收敛时有 + 不论∑anx当x=r时是否收敛 2利用上题证明/1==-∑是
(14) P∞ n=1 (x−2)2n−1 (2n−1)! ; (15) P∞ n=1 a n 2 x n (0 0)，求证：当0 < x < x1 时， 有 (1) P∞ n=0 anx n 收敛； (2) ¯ ¯ ¯ ¯ P∞ n=0 anx n ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ M. §2 幂级数的性质 1．设f(x) = P∞ n=0 anx n 当|x| < r 时收敛，那么当 P∞ n=0 an n+1 r n+1 收敛时有 Z r 0 f(x)dx = X∞ n=0 an n + 1 r n+1 不论 P∞ n=0 anx n当x = r时是否收敛. 2. 利用上题证明R 1 0 1n(1−x) x dx = − P∞ n=1 1 n2 . 2
3.用逐项微分或逐项积分求下列级数的和: (3)∑m(n+1) 1)n3 (8)∑(2n+1-1)x 2n+ 4.求下列级数的和: 5.证明: (1)满足方程y=y 3
3. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和： (1) P∞ n=1 x n n ; (2) P∞ n=1 nxn ; (3) P∞ n=1 n(n + 1)x n ; (4) P∞ n=1 (−1)n−1 n(2n−1)x 2n ; (5) P∞ n=1 n 2+1 n!2n x n ; (6) P∞ n=1 (−1)nn 3 (n+1)! x n ; (7) P∞ n=0 x 4n−1 4n+1 ; (8) P∞ n=0 (2n+1 − 1)x n ; (9) P∞ n=1 n 2x n−1 ; (10) P∞ n=1 (2n+1)2 n! x 2n+1 . 4. 求下列级数的和： (1) P∞ n=1 2n−1 2 n ; (2) P∞ n=1 1 n(2n+1) . 5. 证明： (1) P∞ n=0 x 4n (4n)!满足方程y (4) = y ； 3
满足方程xy+y′-y=0 6.设f(x)是幂级数∑anxn在(-R,R)上的和函数,若f(x)为奇函 数,则级数中仅出现奇次幂的项;若f(x)为偶函数,则级数中仅出现偶 次幂的项 7.设f(x)=∑ (1)求证:f(x)在-1,1连续,f(x)在(-1,1)内连续 (2)求证:f(x)在点x=-1可导; (3)求证 (4)求证:f(x)在点x=1不可导 3函数的幂级数展开 利用基本初等函数的展式,将下列函数展开为麦克劳林级数,并 说明收敛区间 ≠0 (2) (5)sina
(2) P∞ n=0 x n (n!)2满足方程xy00 + y 0 − y = 0 . 6．设f(x) 是幂级数 P∞ n=0 anx n 在(−R, R) 上的和函数，若f(x) 为奇函 数，则级数中仅出现奇次幂的项；若f(x) 为偶函数，则级数中仅出现偶 次幂的项. 7．设f(x) = P∞ n=1 x n n2 ln(1+n) . (1) 求证：f(x) 在[−1, 1] 连续，f 0 (x) 在(−1, 1) 内连续； (2) 求证：f(x) 在点x = −1 可导； (3) 求证： lim x→1− f 0 (x) = +∞； (4) 求证：f(x) 在点x = 1 不可导. §3 函数的幂级数展开 1. 利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并 说明收敛区间. (1) 1 a−x , a 6= 0; (2) 1 (1+x) 2 ; (3) 1 (1+x) 3 ; (4) cos2 x ; (5) sin3 x ; (6) √ x 1−3x ; (7) (1 + x)e −x ; 4
(8)ln(x+√1+x2); 1-3x+2a (11)ln(1 (12) r arctan r-ln√1+x (13)Jd (14)Jo cos tdt 2.利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式: arctan r (3)ln2(1 3.将下列函数在指定点x0展开为泰勒级数: (1)a1x,x0=b(≠a (3)ln 2 4.展开是(=)为z的幂级数,并推出1=∑ 5.试将f(x)=l展开成的幂级数 6.设函数f(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在M>0
(8) ln(x + √ 1 + x 2); (9) 1 1−3x+2x2 ; (10) arcsin x; (11) ln(1 + x + x 2 ); (12) x arctan x − ln √ 1 + x 2; (13) R x 0 sin t t dt; (14) R x 0 cost 2dt. 2．利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式： (1) ln(1+x 2 ) 1+x ; (2) (arctan x) 2 ; (3) ln2 (1 − x). 3．将下列函数在指定点x0 展开为泰勒级数： (1) 1 a−x , x0 = b(6= a); (2) ln 1 2+2x+x2 , x0 = −1; (3) ln x, x0 = 2; (4) e x , x0 = 1. 4．展开 d dx( e x−1 x ) 为x 的幂级数，并推出1 = P∞ n=1 n (n+1)!. 5．试将f(x) = ln x展开成x−1 x+1 的幂级数. 6．设函数f(x) 在区间(a, b) 内的各阶导数一致有界，即存在M > 0， 5
对一切x∈(a,b),有 Jf)(x)|≤M,n=1 证明:对(a,b)内任意点x与x0,有 (m)(col(r-co)
对一切x ∈ (a, b) ，有 |f (n) (x)| ≤ M, n = 1, 2, ..., 证明：对(a, b) 内任意点x 与x0 ，有 f(x) = X∞ n=0 f (n) (x0) n! (x − x0) 2 . 6
