第十六章偏导数与全微分 §1偏导数与全微分的概念 1.求下列函数的偏导数: In (2)u=( +y) cos(ry); (3)u=arctan (5) (6)u=ry+y 2.设 y2≠0 f(a, y) 考察函数在(0,0)点的偏导数 3.证明函数a=√r2+y2在(00点连续但偏导数不存在 4.求下列函数的全微分: (1) +e-1+y 5.求下列函数在给定点的全微分: 在点(10)和(0,1 (2)u=ln(x+y2)在点(0.1)和(11);
第十六章 偏导数与全微分 §1 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) u = x 2 ln(x 2 + y 2 )； (2) u = (x + y) cos(xy)； (3) u = arctan x y； (4) u = xy + x y； (5) u = xyesin(xy)； (6) u = x y + y x . 2．设 f(x, y) = y sin 1 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数u = p x 2 + y 2在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) u = p x 2 + y 2 + z 2； (2) u = xeyz + e −x + y. 5．求下列函数在给定点的全微分： (1) u = √ x x2+y 2在点(1,0)和(0,1)； (2 ) u = ln(x + y 2 )在点(0,1)和(1,1)； 1
(3)u=2在点(1 (4u=x+(-1) arcsin在点(0,1) 6.考察函数f(x,y)在(0,0)点的可微性,其中 y511x-7, x2+y2≠0 f(a,)= 0. 7.证明函数 +y2≠0, ∫(x,y) 在(0,0)点连续且偏导数存在,但在此点不可微。 8.证明函数 f(a, y) (x2+y2)sn+,x2+y2≠0 的偏导数存在,但偏导数在(0,0)点不连续,且在(00)点的任何邻域中无 界,而f在原点(00)可微 9.设 F,2+2≠0 证明器和在(0)点连续 10.设 ∫1=n2,2+2≠0 0 证明f(x,y)在(0,0)点可微,并求(0,0) 11.设 x2+y2≠0, ∫(x,y)
(3) u = qx y在点(1,1,1)； (4) u = x + (y − 1) arcsinqx y在点（0，1）. 6．考察函数f(x, y)在(0,0)点的可微性，其中 f(x, y) = xy sin 1 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 7．证明函数 f(x, y) = x 2 y x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 8．证明函数 f(x, y) = (x 2 + y 2 ) sin 1 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无 界，而f在原点(0,0)可微。 9．设 f(x, y) = x 2 y 2 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 证明∂f ∂x和∂f ∂y在(0,0)点连续. 10．设 f(x, y) = 1−e x(x 2+y 2) x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 证明f(x, y)在(0,0)点可微，并求df(0, 0). 11．设 f(x, y) = x 3 x2+y 2 , x2 + y 2 6= 0, 0, x2 + y 2 = 0. 2
(1)x=x(t),y=y()是通过原点的任意可微曲线(即x2(0)+y2(0 0;t≠0时,x2(t)+y2(t)≠0,x(t)、y(t)可微)求证f(x(t,y(t)可微 (2)f(x,y)在(0,0)不可微 12.设r,y很小,利用全微分推出下列各式的近似公式 (1)(1+x)m(1+y)2; (2) arctan 1+ry 13.设u=f(x,y)在矩形:a<x<b,c<y<d内可微,且全微分dn恒 为零,问∫(x,y)在该矩形内是否应取常数值?证明你的结论 14.设器在(x00)在,在(x0)连续,求证f(x,y)在(x0m)可微 15.求下列函数的所有二阶偏导数 (1) + (3)u=asin(a +y)+y cos(a +y); 16.求下列函数指定阶的偏导数 (2)u= arctan,求所有三阶偏导数 (3)u=sim(2+y2)求,别 (4)=xyc++,求mm; (5)=出(x≠),求m; 3
(1) x = x(t), y = y(t)是通过原点的任意可微曲线（即x 2 (0) + y 2 (0) = 0;t 6= 0时，x 2 (t) + y 2 (t) 6= 0, x(t)、y(t)可微）.求证f(x(t), y(t))可微. (2) f(x, y)在(0,0)不可微. 12．设|x| , |y|很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (1 + x) m(1 + y) n ; (2) arctan x+y 1+xy . 13．设u = f(x, y)在矩形：a < x < b, c < y < d内可微，且全微分du恒 为零，问f(x, y)在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论. 14．设∂f ∂x在(x0, y0)存在，∂f ∂y在(x0, y0)连续，求证f(x, y)在(x0, y0)可微. 15．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) u = ln p x 2 + y 2； (2) u = xy + y x； (3) u = x sin(x + y) + y cos(x + y)； (3) u = e xy . 16．求下列函数指定阶的偏导数： (1) u = x 3 sin y + y 3 sin x,求 ∂ 6u ∂x3∂y3； (2) u = arctan x+y 1−xy，求所有三阶偏导数； (3) u = sin(x 2 + y 2 ),求∂ 3u ∂x3，∂ 3u ∂y3； (4) u = xyzex+y+z ,求 ∂ p+q+ru ∂xp∂yq∂zr； (5) u = x+y x−y (x 6= y)，求 ∂ m+nu ∂xm∂yn； 3
(6)=ln(ax+by)求m 17.验证下列函数满足 m2+=0 (3)u=e cos y; (4)u=arctan g 18.设函数u=9(x+v(y),证明 a2u au 22, ax away dy ax2 19.设fx,f在点(xo,30)的某邻域内存在且在点(xo,y)可微,则有 fru(ao, yo)= fur(o, yo) §2复合函数与隐函数微分法 1.求下列函数的所有二阶偏导数: (1)u=f(ar, by) (2)u=f(x+y,x-y); (5)u=f(x2+y2+2);
(6) u = ln(ax + by),求 ∂ m+nu ∂xm∂yn . 17．验证下列函数满足 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0. (1) u = ln(x 2 + y 2 )； (2) u = x 2 − y 2； (3) u = e x cos y； (4) u = arctan y x . 18．设函数u = ϕ(x + ψ(y))，证明 ∂u ∂x ∂ 2u ∂x∂y = ∂u ∂y ∂ 2u ∂x2 . 19．设fx, fy在点(x0, y0)的某邻域内存在且在点(x0, y0)可微，则有 fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). §2 复合函数与隐函数微分法 1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) u = f(ax, by)； (2) u = f(x + y, x − y)； (3) u = f(xy2 , x2 y)； (4) u = f( x y , y z )； (5) u = f(x 2 + y 2 + z 2 )； 4
(6)u=f(a +y, ry, I 2.设z 其中∫是可微函数,验证 1 az 1 az 2 r ar y ay y2 3.设=19(t-2),c为常数,函数g-阶可导, x2+y2 证明+卾+票=淵 4.若函数f(x,y,2)对任意正实数满足关系 f(tr, ty, ta)=t'f(a, y, 2) 则称f(x,y,x)为n次齐次函数设f(x,y,z)可微,试证明f(x,y,2)为n次齐次 函数的充要条件是 af af x+ya+22=n(,,3 5.验证下列各式: 1)a=(x2+y2)则y-x物=0 (2)=y(2-y2,则y+物= (3)=9(x+y)+(x+,则尝-2需+影=0 (4)u=x9(2)+0(2)则2+2mym1+y2=0 6.设u=f(x,y)可微,在极坐标变换x=rcos,y=rsinθ下,证明 这时称(2+(是一个形式不变量 8.设函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程 ax2 ay2
(6) u = f(x + y, xy, x y ). 2．设z = y f(x2−y 2)，其中f是可微函数，验证 1 x ∂z ∂x + 1 y ∂z ∂y = z y 2 . 3．设v = 1 r g(t − r c )，c为常数，函数g二阶可导，r = p x 2 + y 2 + z 2。 证明∂ 2 v ∂x2 + ∂ 2 v ∂y2 + ∂ 2 v ∂z2 = 1 c 2 ∂ 2 v ∂t2 . 4．若函数f(x, y, z)对任意正实数t满足关系 f(tx, ty, tz) = t n f(x, y, z) 则称f(x, y, z)为n次齐次函数.设f(x, y, z)可微，试证明f(x, y, z)为n次齐次 函数的充要条件是 x ∂f ∂x + y ∂f ∂y + z ∂f ∂z = nf(x, y, z). 5．验证下列各式： (1) u = ϕ(x 2 + y 2 ),则y ∂u ∂x − x ∂u ∂y = 0； (2) u = yϕ(x 2 − y 2 ),则y ∂u ∂x + x ∂u ∂y = xu y ； (3) u = xϕ(x + y) + yψ(x + y),则∂ 2u ∂x2 − 2 ∂ 2u ∂x∂y + ∂ 2u ∂y2 = 0； (4) u = xϕ( y x ) + ψ( y x ),则x 2 ∂ 2u ∂x2 + 2xy ∂ 2u ∂x∂y + y 2 ∂ 2u ∂y2 = 0. 6．设u = f(x, y)可微，在极坐标变换x = r cos θ，y = r sin θ 下，证明 ( ∂z ∂x) 2 + (∂z ∂y ) 2 = (∂z ∂u) 2 + (∂z ∂v ) 2 . 这时称( ∂z ∂x) 2 + ( ∂z ∂y ) 2是一个形式不变量. 8．设函数u = f(x, y)满足拉普拉斯方程 ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0 5
证明在下列变换下形状保持不变,即仍有+ ost, y=e sint; (3)x=(s,1),y=v(s,满足=,=-这组方程称为柯西 黎曼方程. 9.作自变量的变换,取5,n,为新自变量 (1)=x,n=2+y2,变换方程-=0 (2)5=x,n=y-x,(=2-x,变换方程+物+祟=0 10.作自变量和因变量的变换,取u,v为新的自变量,v=v(u,)为 新的因变量 (1)设u=x+y,0=2,=,变换方程 a22 a2z a2 0 a2 Oray ay (2)设u=E,U=x,=x2-y,变换方程 a22 a2 2 11.求下列方程所确定的函数z=f(x,y)的一阶和二阶偏导数: (2)x+y+z=ex+y+2; (3)xyz=.+y+z: (4)x2+y2+ +2y-4z-5=0. 12.求由下列方程所确定的函数的全微分dz;
证明在下列变换下形状保持不变，即仍有∂ 2u ∂s2 + ∂ 2u ∂t2 = 0. (1) x = s s 2+t 2 ,y = t s 2+t 2； (2) x = e s cost, y = e s sin t； (3) x = ϕ(s, t), y = ψ(s, t)满足∂ϕ ∂s = ∂ψ ∂t , ∂ϕ ∂t = − ∂ψ ∂s .这组方程称为柯西－ 黎曼方程. 9．作自变量的变换，取ξ, η, ζ为新自变量： (1) ξ = x, η = x 2 + y 2 ,变换方程y ∂z ∂x − x ∂z ∂y = 0； (2) ξ = x, η = y − x, ζ = z − x,变换方程∂u ∂x + ∂u ∂y + ∂u ∂z = 0. 10．作自变量和因变量的变换，取u, v为新的自变量，w = w(u, v)为 新的因变量： (1) 设u = x + y, v = y x , w = z x，变换方程 ∂ 2 z ∂x2 − 2 ∂ 2 z ∂x∂y + ∂ 2 z ∂y2 = 0 (2) 设u = x y , v = x, w = xz − y，变换方程 y ∂ 2 z ∂y2 + 2 ∂z ∂y = 2 x . 11．求下列方程所确定的函数z = f(x, y)的一阶和二阶偏导数： (1) e −xy − 2z + e x = 0； (2) x + y + z = e x+y+z； (3) xyz = x + y + z； (4) x 2 + y 2 + z 2 − 2x + 2y − 4z − 5 = 0. 12．求由下列方程所确定的函数的全微分dz； 6
(1)z=f(x,z-y); (2)F(x-y,y-2,z-x)=0 3)f(x+y+2,x2+y2+z2) (4)f(x,y)+9(y,x)=0. 13.设z=2(x,y)由方程x2+y2+2=yf()所确定,证明(x2 +2y 14.设z=x2+y2,其中y=f(x)为由方程x2-xy+y2=1所确定的隐 函数,求华和 15.设u=x2+y2+2,其中z=f(x,y)为由方程x3+y3+23=3ryz所 确定的隐函数,求,器 16.求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数 求出,; ()x2-n2-y=0求器,需 y-2-x=0, U=3x+ 22 求器物,需 求影,需 17.下列方程组定义z为x,y的函数,求,器 7
(1) z = f(xz, z − y)； (2) F(x − y, y − z, z − x) = 0； (3) f(x + y + z, x2 + y 2 + z 2 ) = 0； (4) f(x, y) + g(y, z) = 0. 13．设z = z(x, y)由方程x 2 + y 2 + z 2 = yf( z y ) 所确定，证明(x 2 − y 2 − z 2 ) ∂z ∂x + 2xy ∂z ∂y = 2xz。 14．设z = x 2 + y 2，其中y = f(x)为由方程x 2 − xy + y 2 = 1所确定的隐 函数，求dz dx和d 2 z dx2 . 15．设u = x 2 + y 2 + z 2，其中z = f(x, y)为由方程x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz所 确定的隐函数，求∂u ∂x，∂ 2u ∂x2 . 16．求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数： (1） x 2 + y 2 + z = a 2 , x 2 + y 2 = ax, 求dy dx, dz dx； (2) x 2 − u 2 − yv = 0, y − v 2 − xu = 0, 求∂u ∂x, ∂v ∂x, ∂u ∂y , ∂v ∂y； (3) u 2 − v = 3x + y, u − 2v 2 = x − 2y, 求∂u ∂x, ∂u ∂y , ∂v ∂x, ∂v ∂y； (4) u = xyz, x 2 + y 2 + z 2 = 1, 求∂ 2u ∂x2 , ∂ 2u ∂y2 , ∂ 2u ∂x∂y . 17．下列方程组定义z为x, y的函数，求∂z ∂x，∂z ∂y . 7
+U y= cos y 3几何应用 1.求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程 (1)x=asin2t,y= b t cos t,z=ccos2t,在点t=; (2)2x2+3y2+2=9,2=3x2+y2在点(1,-1,2); (3)x2+y2+2=6,x+y+z=0,在点(1,-2,1) (4)x=t-cost,y=3+sin2t,z=1+cos3t在点t=号 2.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程: 在点(1,1,2) ()++=1在点( (3)z=2x2+4y2在点(2,1 (4)x=cosv,y= u sin u,2=a在点P(u0,0) 3.证明曲线x= ae cos t,y= ae sin t,z=ae在锥面x2+y2=2的母线 相交成同一角度 4.求平面曲线x2/3+y2/3=a2/(a>0)上任一点的切线方程,并证明 这些切线被坐标轴所截取的线段等长 5.求曲面x2+2y2+32=21的切平面,使它平行于平面x+4y+62z=0 6.证明:曲面F(x-az,y-bz)=0的切平面与某一定直线平行,其 中a,b为常数
(1) x = cos θ cos ϕ, y = cos θ sin ϕ z = sin θ; , (2) x = u + v, y = u 2 + v 2 z = u 3 + v 3 . , §3 几何应用 1．求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程 (1) x = a sin2 t, y = b sin t cost, z = c cos2 t,在点t = π 4； (2) 2x 2 + 3y 2 + z 2 = 9, z2 = 3x 2 + y 2 ,在点(1,-1,2)； (3) x 2 + y 2 + z 2 = 6, x + y + z = 0,在点(1,-2,1)； (4) x = t − cost, y = 3 + sin2 t, z = 1 + cos 3t,在点t = π 2 . 2．求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程： (1) y − e 2x−z = 0，在点（1,1,2）； (2) x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1在点(√a 3 , √ b 3 , √c 3 )； (3) z = 2x 2 + 4y 2在点(2,1,12)； (4) x = u cos v, y = u sin v, z = av在点P0(u0, v0). 3．证明曲线x = aet cost, y = aet sin t, z = aet在锥面x 2 + y 2 = z 2的母线 相交成同一角度. 4．求平面曲线x 2/3 + y 2/3 = a 2/3 (a > 0)上任一点的切线方程，并证明 这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 5．求曲面x 2+2y 2+3z 2 = 21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z = 0. 6．证明：曲面F(x − az, y − bz) = 0的切平面与某一定直线平行，其 中a, b为常数. 8
7.证明曲面z=xe的每一切平面都通过原点 8.求两曲面 y,z)=0,G(x,y,2)=0 的交线在Oxy平面上的投影曲线的切线方程 §4方向导数 1.设f(x,y,x)=x+y2+23,求f在点P0(1,1,1)沿到点l=(2,-2,1)的方 向导数 2.求函数u=xy2在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向 导数 3.求 (1)=l(x2+y2),(xro,y)=(1,1),l与轴正向的夹角为60°; (2)u=rery,(xo,vo)=(1,1),l与向量(1,1)同向 4.设函数f(x,y)在(m0)可微,单位向量h=( 1=1,8fa af(ro, yo) 0,确定l使得 af(ao, yo) 5.设f在P(2,0)可微,f(x,y)在P指向1=(2,-2)的方向导数是1, 指向原点的方向导数是一3,试回答: (1)指向P2=(2,1)的方向导数是多少? (2)指向P3=(3,2)的方向导数是多少? 5泰勒公式
7．证明曲面z = xe x y的每一切平面都通过原点. 8．求两曲面 F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 的交线在Oxy平面上的投影曲线的切线方程. §4 方向导数 1．设f(x, y, z) = x + y 2 + z 3，求f在点P0(1, 1, 1)沿到点l = (2, −2, 1)的方 向导数. 2．求函数u = xyz在点A(5, 1, 2)处沿到点B(9, 4, 14)的方向−→AB上的方向 导数. 3．求 ∂u ∂l ¯ ¯ (x0, y 0) ; (1) u = ln(x 2 + y 2 )，(x0, y0) = (1, 1)，l与x轴正向的夹角为60◦ ; (2) u = xexy,(x0, y0) = (1, 1), l与向量(1, 1)同向. 4． 设 函 数f(x, y)在(x0, y0)可 微 ， 单 位 向 量l1 = (√ 1 2 , √ 1 2 )，l2 = (−√ 1 2 , √ 1 2 )，∂f(x0,y0) ∂l1 = 1，∂f(x0,y0) ∂l2 = 0，确定l使得 ∂f(x0, y0) ∂l = 7 5 √ 2 . 5．设f在P0(2, 0)可微，f(x, y)在P0指向P1 = (2, −2)的方向导数是1， 指向原点的方向导数是－3，试回答： (1) 指向P2 = (2, 1)的方向导数是多少？ (2) 指向P3 = (3, 2)的方向导数是多少？ §5 泰勒公式 9
1.写出下列函数在指定点的泰勒公式: (1)f(x,y)=2x2-xy-y2-6x-3y+5,在(1,-2)点 (2)f(x,y)=x2+xy+y2+3x-2y+4,在(-1,1)点 2.求函数f(x,y)=在(1,1)点邻域的n阶带拉格朗日余项的泰勒公式 3.求函数f(x,y)=近在(11)点邻域的二阶泰勒公式,并写出拉格朗 日余项. 4.求下列函数在(0,0)点邻域的四阶泰勒公式: (1)f(x,y)=sin(x2+y2); (2)f(a,y)=e In(1+ (3)f(x,y)=√1+x2+y2 (4)f(a, y)=ecos yo 5.证明泰勒公式的唯一性:若∑Ax2y2+o(p)=0(p→0),其 中p=√r2+y2求证A=0(ij为非负整数,i+j=0,1,…,n),并利用 唯一性求f(x,y)=ln(1+x+y)带拉格朗日余项的n阶泰勒展开式 6.通过对f(x,y)= sIn t cos y用中值定理,证明存在θ∈(0,1),使 66 7.设f(x,y)在区域D内有偏导数存在,且fx(x,y)=f(x,y)≡0证 明f(x,y)在D为常数 8.若x,是很小的量,导出下列函数准确到二次项的近似公式: (1)COsT:(2)arctan ty
1．写出下列函数在指定点的泰勒公式： (1)f(x, y) = 2x 2 − xy − y 2 − 6x − 3y + 5，在(1,-2)点. (2) f(x, y) = x 2 + xy + y 2 + 3x − 2y + 4，在(-1,1)点. 2．求函数f(x, y) = x y在(1,1)点邻域的n阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 3．求函数f(x, y) = y 2 x2在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式，并写出拉格朗 日余项. 4．求下列函数在(0, 0)点邻域的四阶泰勒公式： (1) f(x, y) = sin(x 2 + y 2 )； (2) f(x, y) = e x ln(1 + y)； (3) f(x, y) = p 1 + x 2 + y 2; (4) f(x, y) = e x cos y。 5．证明泰勒公式的唯一性：若 Pn i+j=0 Aijx i y i + o(ρ n ) = 0 (ρ → 0)，其 中ρ = p x 2 + y 2.求证Aij = 0（i, j为非负整数，i + j = 0, 1,. . . , n），并利用 唯一性求f(x, y) = ln(1 + x + y)带拉格朗日余项的n阶泰勒展开式. 6．通过对f(x, y) = sin x cos y用中值定理，证明存在θ ∈ (0, 1)，使 3 4 = π 3 cos πθ 3 cos πθ 6 − π 6 sin πθ 3 sin πθ 6 . 7．设f(x, y)在区域D内有偏导数存在，且fx(x, y) = fy(x, y) ≡ 0.证 明f(x, y)在D 为常数. 8．若|x| , |y|是很小的量，导出下列函数准确到二次项的近似公式： (1) cos x cos y；(2) arctan 1+x+y 1−xy . 10