习题选解 第一章实数集与函数 §1实数 6.设a、b、c∈R(R,表示全体正实数集合)证明: 你能说明此不等式的几何意义吗? 证利用根式有理化的方法,有 b+cllb-c +b+√a2+
习题选解 第一章 实数集与函数 §1 实数 6．设 a、b、c R+ （ R+ 表示全体正实数集合）.证明： a + b − a + c b − c 2 2 2 2 . 你能说明此不等式的几何意义吗？ 证 利用根式有理化的方法，有 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a c b c b c a b a c + + + + − + − + =
b+d G+b2+G2+cb-c≤b-4 关于不等式的几何意义请读者通过画图自行解答 8.设p为正整数证明:若p不是完全平方数,则√P是无理数 证用反证法假若√P是有理数,设 √P=“,u,为正整数,互质,且v≠0 于是有 方面,p为非平方数,故v2≠1.另一方面,因u与v互质,故意u2与v2也互质:但由 u2=pv2,y2为2的一个整数因子,故必有v2=1,矛盾由此可见√P为无理数
≤ | | 2 2 2 2 b c a b a c b c − + + + + ≤ b − c . 关于不等式的几何意义请读者通过画图自行解答. 8．设 p 为正整数.证明：若 p 不是完全平方数，则 P 是无理数. 证 用反证法.假若 P 是有理数，设 P = u v v u , , 为正整数，互质，且 v 0 ， 于是有 P = 2 2 v u . 一方面，p 为非平方数，故 1 2 v .另一方面，因 u与v 互质，故意 2 2 u 与v 也互质；但由 2 2 2 2 u = pv ,v 为u 的一个整数因子，故必有 1 2 v = ，矛盾.由此可见 P 为无理数
§2数集·确界原理 8.设a>0,a≠1,x为有理数,证明 spy为有理数 mrp为有理数r1,需证: (i)Vr<x,r为有理数,a'^≤ax; (i)va<a2,彐有理数r,r<x,使得a<a'<a2. 因为rx都是有理数,由有理数指数性质可得(i).再证(i,因为0<a<a2,所以lg。a<x, 由有理数的稠密性,彐有理数r,log,a<r<x,于是a<a<a2 同理可证0<a<1的情形
§2 数集·确界原理 8．设 a>0,a≠1,x 为有理数，证明： = inf , , 1. sup , , 1, a r r x a a r r x a a r r x 为有理数 当 为有理数 当 证 首先把要证的结论用确界的定义确切地写出来.不妨设 a>1，需证： （i） r x，r 为有理数， r x a a ； （ii） x r x a ,有理数r,r x,使得 a a . 因为 r,x 都是有理数，由有理数指数性质可得（i）.再证（ii），因为 x 0 a ，所以 x log a ， 由有理数的稠密性， 有理数 r， r x log a ，于是 r x a a . 同理可证 0<a<1 的情形
§3函数概念 12.证明关于函数y=[x]的如下不等式 (1)当x>0时,1-x0的,1 -1<-≤-,即1-x<x-≤1 x (2)当x<0时 1<-|≤-,因为x<0,所以1 <1-x
§3 函数概念 12．证明关于函数 y =[x] 的如下不等式： （1）当 x>0 时， 1 1 1 − x x x ； （2）当 x0 时， x x x 1 1 1 1 − ，即 1 1 1 − x x x . （2）当 x<0 时， x x x 1 1 1 1 − ，因为 x<0，所以 x x x − 1 1 1
§4具有某些特性的函数 1l.证明:f(x)=x+snx在R上严格递增 ∈R.x> f(x2)-f(r,=x2-x,+sin x2-sin x, x 2 x2-X1 x2-x1 x2-x1+(x2-x1)=0 其中应用了不等式nx<|(x≠0) 12.设定义在[a,+∞)上的函数∫在任何闭区间[ab]上有界,定义[a,+∞)上的函数:
§4 具有某些特性的函数 11．证明： f (x) = x + sin x 在 R 上严格递增. 证 设 1 2 2 1 x , x R, x x ， 2 1 2 1 2 1 f (x ) − f (x ) = x − x + sin x − sin x 2 sin 2 2cos 2 1 2 1 2 1 x x x x x x + − = − + ≥ 2 2sin 2 1 2 1 x x x x − − + x2 − x1 + (x2 − x1 ) = 0 ， 其中应用了不等式 sin x x ,(x 0) . 12．设定义在 [a,+) 上的函数 f 在任何闭区间[a,b]上有界，定义 [a,+) 上的函数：
m(x)= inf f(), M(x)=sup f(y) assr 试讨论m(x)与M(x)的图像,其中 (1)f(x)=cosx,x∈[O,+∞);(2)f(x)=x2,x∈[-1,+∞) coS x 答(1)m(x)= 1,丌<x<+∞; M(x)=1,0≤x<+0 (2)m(x) l≤x≤0, 10.,0<x<+∞ M(x)= 几1 x21<x<+ 第二章数列极限
m(x) inf f (y),M(x) sup f (y) a y x a y x = = . 试讨论 m(x) 与 M(x) 的图像，其中 （1） f (x) = cos x, x[0,+) ；（2） ( ) , [ 1, ) 2 f x = x x − + 答 （1） m(x) = − + 1, ; cos , 0 , x x x M(x) 1,0 x +. （2） m(x) = + − 0, 0 ; , 1 0, 2 x x x M(x) = + − ,1 . 1, 1 1, 2 x x x 第二章 数列极限
§1数列极限概念 4.证明:若iman=a,则对任一正整数k,有 lim a=a 提示由man=a可知:VE>0,3N,当n>N时,{n-40,丑N,当n>N时 7.证明:若lman=a,则lm|anHa|当且仅当a为何值时反之亦成立 若man=a,则VE>0,3N,当n>N时,p,一d<E:由不等式|-1sn-,可知 lm a, Hal 可证当且仅当a=0时由lm|an同a可推得iman=a
§1 数列极限概念 4．证明：若 an a n = → lim ，则对任一正整数 k，有 an k a n + = → lim . 提示 由 an a n = → lim 可知： 0, , N1 当 n N1 时， a − a n .需证： 0,N, 当 n N 时， − an+k a . 7．证明：若 an a n = → lim ，则 lim | a | | a | n n = → .当且仅当 a 为何值时反之亦成立. 证 若 an a n = → lim ，则 0,N, 当 n N 时， a − a n .由不等式 an − a an − a ，可知 lim | a | | a | n n = → . 可证当且仅当 a=0 时由 lim | a | | a | n n = → 可推得 an a n = → lim
先证若a=0,且mnan=0,则vE>0,3N,当n>N时,|-0=nd<E,于是man=0 若由lmn|anHa可得lman=a,则必有a=0.不然的话,若a≠0,令an=(-1)a,则 im|anHa,但是ln(-1)"a不存在 §2收敛数列的性质 5.设{an}与{}中一个是收敛数列,另一个是发散数列证明{an±bn}是发散数列又问{,bn}和 (b.≠0)是否必为发散数列 证设{an}是收敛数列,{bn}是发散数列用反证法,假若{n±bn}是收敛数列设an±bn≠Cn
先证若 a=0，且 lim = 0 → n n a ，则 0,N, 当 n N 时， − = an 0 an−0 ，于是 lim = 0 → n n a . 若由 lim | a | | a | n n = → 可得 an a n = → lim ，则必有 a=0. 不然的话，若 a≠0，令 a a n n = (−1) ，则 lim | a | | a | n n = → ，但是 a n n lim(−1) → 不存在. §2 收敛数列的性质 5．设 an 与 bn 中一个是收敛数列，另一个是发散数列.证明 an bn 是发散数列.又问 an bn 和 n n b a （ bn 0 ）是否必为发散数列. 证 设 an 是收敛数列， bn 是发散数列.用反证法，假若 an bn 是收敛数列.设 n n n a b c
则bn=土(cn-an),由四则运算性质可知{n}也是收敛数列,与所设矛盾,于是{an±bn}是发散数 列 在题设条件下,{b,}未必是发散数列,可以考虑反例:a=1, 9.设a1a2,…,an为m个正数,证明: lmar+a2+…+an=mln,a1…,an} 设a=max{a1a1…,an},有 a=wa"={a+a2+…+am≤wm"=Vm:a, 令n→O,利用极限mm=1,由迫敛性可得 im{a1+a2+…+am=a
则 ( ) n n an b = c − ，由四则运算性质可知 bn 也是收敛数列，与所设矛盾，于是 an bn 是发散数 列. 在题设条件下， an bn 未必是发散数列，可以考虑反例： b n n an = , n = 1 . 9．设 a1 , a2 , , am为m 个正数，证明： n n m n n n a + a + + a → lim 1 2 = maxa1 , a1 , , am . 证 设 a = maxa1 , a1 , , am ，有 a a a a a ma m a n n n n n m n n n n = = + ++ = 1 2 ， 令 n→ ，利用极限 lim =1 → n n m ，由迫敛性可得 a a a a n n m n n n + + + = → lim 1 2
§3数列极限存在的条件 8.证明:若{an}为递增(递减)有界数列,则 lim a,=supa, Kinf a,) 又问逆命题成立否? 证1不妨设{an}为递增有界数列由确界原理,存在n=sup{n},由确界定义, VE>0,3n,7-En时,-E0,3n,当n>n时,{n-川<E,即man=sup{an} 反之不然,反例:an=1-(+(-1)") 例2设man=a,由an≤η,由保不等式性质有an≤η,设法证明an<η是不可能的(请读
§3 数列极限存在的条件 8．证明：若 an 为递增（递减）有界数列，则 lim sup (inf ) n n n n a = a a → . 又问逆命题成立否？ 证 1 不 妨设 an 为 递 增 有 界 数列. 由 确 界原 理 ，存 在 = supan ， 由 确 界 定义 ， 0 0 0, , an − an ，由 an 的递增性， 当 n n0 时， − + an0 an . 由此可见： 0 0,n ，当 n n0 时， − an ，即 n n n lim a = sup a → . 反之不然，反例： (1 ( 1) ) 2 1 1 n n n a = − + − . 例 2 设 an a n = → lim ，由 an ，由保不等式性质有 an ，设法证明 an 是不可能的（请读