华东师范大学2004数学分析 、(30分)计算题 1、求lm(cosx-)x 2、若y=e-x+ xsn arctan x),求y 4、求幂级数∑nx"的和函数f(x) 5、L为过00)和A(2,0)的曲线y=anx(a>0)求(x+y3)+(2+y asin x dy= dasin x= acos xdx 6、求曲面积分(2x+)dd+d,其中z=x2+y2,(0≤≤1),取上侧 (30分)判断题(正确的证明,错误的举出反例) 1、若{xn,n=1,2,…,}是互不相等的非无穷大数列,则{xn}至少存在一个聚点 x0∈(-∞,+∞) 2、若f(x)在(a,b)上连续有界,则f(x)在(a,b)上一致连续 3、若f(),)在上可积,则l1∑/(x)=C(xgxk 4、若∑an收敛,则∑a2收敛 5、若在R2上定义的函数f(x,y)存在偏导数f2(x,y),f(x,y)且∫2(x,y),f(xy)在 (0,0)上连续,则∫(x,y)在(0,0)上可微 6、f(x,y)在R2上连续,D(x0y)={(x,y)(x-x0)2+(y-y)2≤r2}若 v(x0,1)vr>O,Df(xytd=0,则f(x,y)=0(x,y)∈R2 三、(15分)函数∫(x)在(-∞,+∞).上连续,且imf(x)=A,求证:f(x)在(-∞,+∞)上
1 华东师范大学 2004 数学分析 一、（30 分）计算题。 1、求 2 1 2 0 ) 2 lim (cos x x x x − → 2、若 sin(arctan )), 2 ln y e x x x = + − 求 ' y . 3、求 − − dx x xe x 2 (1 ) . 4、求幂级数 n=1 n nx 的和函数 f (x) . 5、 L 为过 O(0,0) 和 ,0) 2 ( A 的曲线 y = asin x(a 0) ,求 + + + L (x y )dx (2 y)dy. 3 y = asin x,dy = dasin x = a cos xdx 6、求曲面积分 + + S (2x z)dydz zdxdy,其中 ,(0 1) 2 2 z = x + y z ,取上侧. . 二、（30 分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1 、 若 {x ,n =1,2, ,} n 是互不相等的非无穷大数列，则 { }n x 至少存在一个聚点 ( , ). x0 − + 2、若 f (x) 在 (a,b) 上连续有界，则 f (x) 在 (a,b) 上一致连续. 3、若 f (x) , g(x) 在 [0,1] 上可积，则 = → = − n i n f x g x dx n i g n i f n 1 1 0 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1 lim . 4、若 n=1 n a 收敛，则 =1 2 n n a 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 f (x, y) 存在偏导数 f (x, y) x , f (x, y) y 且 f (x, y) x , f (x, y) y 在 (0,0)上连续，则 f (x, y) 在(0,0)上可微. 6 、 f (x, y) 在 2 R 上连续 , ( , ) {( , ) | ( ) ( ) } 2 2 0 2 0 0 0 D x y x y x x y y r r = − + − 若 = Dr (x , y ), r 0, f (x, y)dxdy 0, 0 0 则 ( , ) 0,( , ) . 2 f x y = x y R 三、（15 分）函数 f (x) 在 (−,+). 上连续，且 lim f (x) A, x = → 求证： f (x) 在 (−,+). 上
有最大值或最小值 四、(15分)求证不等式2x≥1+x2,x∈[0, 五、设∫n(x),n=1,2…在[a,b上连续,且∫n(x)在[a,b]上一致收敛于f(x).若 vx∈[a,b],f(x)>0.求证:彐N,δ>0,使vx∈[a,b],n>N,J(x)>d 六、(15分)设{an}满足(1)0≤a4≤100a4,n=k+1k+2,…(2)级数∑a收敛 求证: lim na=0 七、(15分)若函数f(x)在+)上一致连续,求证:f(x) 在[+∞)上有界 八、(15分)设P(x,y,=)Q(x,y,z),R(x,y,z)在R3有连续偏导数,而且对以任意点 (xyo,z0)为中心,以任意正数r为半径的上半球面 Sn:(x-x0)2+(y-y0)2+(=-=0)2=r2,z≥-0 恒有。P(xy,z)z+Q(x,y,=)tx+R(x,y,=)xd=0 求证:V(x,y,=)R(x,y,)=0,P2(x,y,2)+Q,(x,y,=)=0 2
2 有最大值或最小值。 四、（15 分）求证不等式: 2 1 , [0,1]. 2 + x x x 五、设 f (x) n , n = 1,2, 在 [a,b] 上连续, 且 f (x) n 在 [a,b] 上一致收敛于 f (x) . 若 x [a,b], f (x) 0.求证: N, 0, 使 x [a,b], n N , f (x) . n 六、（15 分）设 { }n a 满足（1） 0 a 100a ,n = k +1, k + 2, ; k n （2）级数 n=1 n a 收敛. 求证: lim = 0 → n n na . 七、（15 分）若函数 f (x) 在 [1,+) 上一致连续，求证： x f (x) 在 [1,+) 上有界. 八、（15 分）设 P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z) 在 3 R 有连续偏导数，而且对以任意点 ( , ) 0, 0 0 x y z 为中心，以任意正数 r 为半径的上半球面 : ( ) ( ) ( ) , , 0 2 2 0 2 0 2 0 S x x y y z z r z z r − + − + − = 恒有 Sr P(x, y,z)dydz + Q(x, y,z)dzdx + R(x, y,z)dxdy = 0. 求证: (x, y,z), R(x, y,z) = 0, P (x, y,z) + Q (x, y,z) = 0. x y