息科学技术学院200-2004学年第一学期 本科生期末考试试卷 考试科目:数理逻辑考试时间:2004年1月 专业级班 姓名 学号 题号 四五六七八九十总分 得分 、(⑨分)写出联结词集合{-,V,∧,→,艹}的所有二元素完全子集(不 必写理由) 解:{一,V,∧,→,→}的所有二元素完全子集共有3个,分别为:{一,V} 评分标准:每个3分 二、(19分)设p,q和r是命题变元,命题形式a为p→(-(q→r)Ar) (1)写出a的真值表 (2)试求一个只含联结词一,→的命题形式β使得a兮B; (3)求a的一个析取范式及一个合取范式 解:(1)所求真值表为 00|01 010|10|0 01 D1OTOII 可卫
✁✂✄☎✆✄✝ 2003–2004 ✞✟✠✡✞☛ ☞✌✍ ☛✎✏✑✑✒ ✓✕✔✕✖ ✗✙✘✛✚✕✜✣✢✣✤ ✓✕✔✕✥✧✦✕✘ 2004 ★ 1 ✩ ✪✕✫ ✬ ✭ ✮✕✯ ✰✕✱ ✲✱ ✳ ✴ ✵ ✶ ✷ ✸ ✹ ✺ ✻ ✼ ✽✕✾ ✿✾ ❀❂❁ (9 ❃) ❄❆❅❈❇❂❉❂❊❂❋❂● {¬, ∨, ∧, →, ↔} ❍❂■❂❏❂❑❂▲❂▼❂◆✙❖✙P❂❋ ◗❙❘ ❚ ❄❱❯❳❲) ❨ ❩❱❬ {¬, ∨, ∧, →, ↔} ❭❈❪❂❫❂❴❂❵❆❛❂❜❈❝✙❞✙❡✙❢✙❫ 3 ❣❂❤❥✐❂❦❆❧ ❬ {¬, ∨}, {¬, ∧}, {¬, →}. ♠✐❱♥❳♦❬q♣❣ 3 ✐ ❑❁ (19 ❃) r p, q s r t❱✉❱✈❱✇❱▲❂❤①✉✙✈❂②❂③ α ④ p → (¬(q → r) ∧ r) (1) ❄❳❅ α ❍❱⑤❱⑥❱⑦❱⑧ (2) ⑨❱⑩❀❱❶❱❷❂❸❇✙❉❂❊ ¬, → ❍❱✉❱✈❱②❱③ β ❹❱❺ α ⇔ β; (3) ⑩ α ❍❀❱❶❱❻❱❼❂❽③❂❾❀❂❶●❼❂❽③❂❿ ❩❱❬ (1) ❪❳➀➂➁❱➃❱➄❆❧ ❬ p q r α p q r α 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1
(2)可取B为一p (3)析取范式和合取范式都可取为一p 评分标准 (1)每行1分 (2)答案不唯一,5分 (3)答案不唯一,每个范式3分 (10分)设三元真值函数f:{0,1}3→{0,1}如下 f(0,0,0)=1,f(1,0.,0)=0,f(0,1,0)=0,f(0,0,1)=1 ∫(0,1,1)=1,f(1,0,1)=1,f(1,1,0)=0,f(1,1,1)=1 试求一个仅含联结词一、∨和∧的命题形式α使得α确定的真值函数就 是f 解法一(范式法1): (→ pavR)∧(PV-qVr)∧(-py-qVr) 台(-Vy)A(py=)A(y)Yr 台(pV)A(mAp)y=)Yr 台(→pVq)∧=q)Vr 台(vA-q)(qA=)r 台(→p^-q)Vr VgV 则a=-(p∨q)Vr即为所求。 解法二(范式法2) a=(→p∧-∧-)(→p∧-Ar)V(→p^q∧r)(PA-qAr)V(p∧qAr) 台(一pAA)V(→pA-9)V(=Aq)Ar)V(A-)VAq)Ar 台(A-A-)(Ar)v(pA) (→p∧-q∧-)V -g)Vr AvR 则a=-(pq)Vr即为所求 解法三(降阶法)
(2) ➅❱➆ β ❧ ¬p. (3) ➇❱➆❳➈❱➉❱➊❈➋❂➆➌➈❂➉❥➍❂➅❂➆➌❧ ¬p. ♠✐❱♥❳♦❬ (1) ♣❱➎ 1 ✐❱❿ (2) ➏❱➐❳➑➂➒❱➓❂❤ 5 ✐❱❿ (3) ➏❱➐❳➑➂➒❱➓❂❤ ♣❣➌➈❂➉ 3 ✐❱❿ ➔❁ (10 ❃) r➔ ▲❱⑤❱⑥❂→✙➣ f : {0, 1} 3 −→ {0, 1} ↔❱↕❬ f(0, 0, 0) = 1, f(1, 0, 0) = 0, f(0, 1, 0) = 0, f(0, 0, 1) = 1 f(0, 1, 1) = 1, f(1, 0, 1) = 1, f(1, 1, 0) = 0, f(1, 1, 1) = 1 ⑨❱⑩❀❱❶❱➙❱❸❇❱❉❂❊ ¬ ❁ ∨ s ∧ ❍❱✉❱✈❱②❱③ α ❹❱❺ α ➛❱➜❱❍❱⑤❱⑥❱→❱➣❱➝ t f. ❩❱➞➓ (➈❱➉➞ 1): α 0 = (¬p ∨ q ∨ r) ∧ (p ∨ ¬q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ r) ⇔ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨ ¬q) ∧ (¬p ∨ ¬q) ∨ r ⇔ (¬p ∨ q) ∧ ((¬p ∧ p) ∨ ¬q) ∨ r ⇔ (¬p ∨ q) ∧ ¬q ∨ r ⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬q) ∨ r ⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ r ⇔ ¬(p ∨ q) ∨ r ➟ α = ¬(p ∨ q) ∨ r ➠❱❧➂❪❳➀➂❨ ❩❱➞❴ (➈❱➉➞ 2): α 0 = (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬p ∧ q ∧ r) ∨ (p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (p ∧ q ∧ r) ⇔ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ((¬p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)) ∧ r ∨ ((p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ q)) ∧ r ⇔ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ ¬p ∧ r ∨ p ∧ r ⇔ (¬p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ r ⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ r ⇔ ¬(p ∨ q) ∨ r ➟ α = ¬(p ∨ q) ∨ r ➠❱❧➂❪❳➀➂❨ ❩❱➞❱➡ (➢❱➤➞ ): 2
令f1(q,r)=f(0,q,r),f2(q,r)=f(1,q,r)即f1、2为如下的两个二元 真值函数: f1(0,0)=1,f1(0,1)=1,f1(1,0)=0.,f1(1,1)=1 f2(0,0)=0,f2(0,1)=1,f2(1,0)=0,f2(1,1)=1 易知:f1可由命题形式a1=q→r表示,戶2可由命题形式a2=r表 示,从而∫可由如下命题形式a表示: a=(→p→(q→r)∧(p→r) ∧q)→r)∧ 兮(p∧q)Vp)→ paiR 则a=-(p√q)Vr即为所求。 评分标准: (1)只要写出正确的合取范式,则给6分,锗写、多写或少写一个 合取项扣2分,直至扣满8分为止。正确化简得2分。 (2)同上 (3)正确写出∫1与戶得2分,正确写出f1与∫的表示得2分。正 确合并出∫的表示得2分。正确化简∫的表示得2分 四、(10分)写出公式-a→(a→B)在P中的一个证明序列 (2)(3→-0)→(a→3)→(a→(-3→-a)→(a→B)(A1) (3)-a→(→-0)→(a→B) (4)(-a→(-3→-a)→(a→B) (-a→(-→-0)→(ma→(a→B) (5)(a→(-3→a)→(-a→(a→B) 评分标准:答案不唯一,主要遵照以下标准 ·除了公理和规则外都不允许用,包括不能用传递律,例题等 每违反一次扣2分,直到扣满10分为止 不写理由,或想当然,每违反一次扣5分。直到扣满10分为止 3
➥ f1(q, r) = f(0, q, r), f2(q, r) = f(1, q, r), ➠ f1 ❁ f2 ❧❈➦❂➧❆❭❂➨❈❣❂❴❂❵ ➁❱➃❳➩➂➫❬ f1(0, 0) = 1, f1(0, 1) = 1, f1(1, 0) = 0, f1(1, 1) = 1 f2(0, 0) = 0, f2(0, 1) = 1, f2(1, 0) = 0, f2(1, 1) = 1 ➭➂➯❬ f1 ➅❳➲➂➳❱➵❳➸❱➉ α1 = q → r ➄❱➺❱❤ f2 ➅❳➲➂➳❱➵❳➸❱➉ α2 = r ➄ ➺❱❤❥➻❳➼ f ➅❳➲➂➦❱➧❱➳❂➵➌➸❂➉ α 0 ➄❱➺❬ α 0 = (¬p → (q → r)) ∧ (p → r) ⇔ ((¬p ∧ q) → r) ∧ (p → r) ⇔ ((¬p ∧ q) ∨ p) → r ⇔ (p ∨ q) → r ⇔ ¬(p ∨ q) ∨ r ➟ α = ¬(p ∨ q) ∨ r ➠❱❧➂❪❳➀➂❨ ♠✐❱♥❳♦❬ (1) ➽❈➾❆➚❆➪➹➶✙➘➌❭①➋✙➆➌➈✛➉❥❤ ➟❥➴ 6 ✐❂❤❥➷❆➚ ❁✙➬ ➚❥➮➌➱✛➚❥➓✙❣ ➋❱➆❱✃❱❐ 2 ✐❱❤✙❒➂❮❱❐❂❰ 8 ✐❳❧➂Ï❱❨❥➶❱➘✙ÐÒÑ➹Ó 2 ✐❱❨ (2) ÔÖÕ❱❨ (3) ➶❂➘❆➚❆➪ f1 × f2 Ó 2 ✐❂❤❥➶❂➘❆➚❆➪ f1 × f2 ❭❈➄❂➺❂Ó 2 ✐❂❨❥➶ ➘❱➋❳Ø❳➪ f ❭➂➄❱➺❱Ó 2 ✐❱❨❥➶❱➘❱ÐÒÑ f ❭➂➄❱➺❱Ó 2 ✐❱❨ Ù❁ (10 ❃) ❄❳❅➂Ú❱③ ¬α → (α → β) Û P Ü➂❍❀❱❶❱Ý❆Þ❈ß✙à❿ á❬ (1) (¬β → ¬α) → (α → β) (A3) (2) ((¬β → ¬α) → (α → β)) → (¬α → ((¬β → ¬α) → (α → β))) (A1) (3) ¬α → ((¬β → ¬α) → (α → β)) (M) (4) (¬α → ((¬β → ¬α) → (α → β))) → ((¬α → (¬β → ¬α)) → (¬α → (α → β))) (A2) (5) (¬α → (¬β → ¬α)) → (¬α → (α → β)) (M) (6) ¬α → (¬β → ¬α) (A1) (7) ¬α → (α → β) (M) ♠✐❱♥❳♦❬ ➏❱➐❳➑➂➒❱➓❂❤①â❂➾✙ã❆ä❂å❥➧❂♥➌♦❬ • æÒç➹è❂é❆➊❈ê ➟❥ë ♣❱ù❱ú ➍➌➑❥ì✙í➌î❥❤ðïòñ➌➑❥ó➌î❥ô✙õ✙ö✙❤①÷✙➵➌ø❥❨ ➓❱û❂❐ 2 ✐❱❤✙❒❥ü➂❐❱❰ 10 ✐❳❧➂Ï❱❨ • ➑❱➚ýéþ➲ý❤ÿ➮✁✄✂✆☎➂❤ ♣❱ù❱ú➓❱û❱❐ 5 ✐❨ ❒ üý❐❱❰ 10 ✐þ❧ýÏ❨ 3
·用了非永真式(非内定理),则得0分 五、(10分)写出下列公式aBH-(a→B)在N中的一个证明序列 1(a→3)h=(a→B)(∈ (2)m+,=(a→B),a,(a←)h=-(aB)(∈ (3)ma+,=(a+B),a+a→ (-(1)(2) (4) (5)-a+3,(a+B),ma=a→B (6) B,(a→B),=a+B (→-(4)(⑤5)) B,(a→B),a+a (→-(3)(6) (8) (→-(4)(7) + B,-( ( ae B)=(a→B (∈ 10) B)+=-(a→B) 11)-a←3,(a+B)a+B (9)(10 (12)-+3,(a+B)B (→-(8)(11 B,(a+) (14)0→B,=(a→3)h=a (-(12)(13) (15)-a→B,=(a→B)-(a+B (-(8)(14) 评分标准:答案不唯一,主要遵照以下标准: ·除了规则外都不允许用,包括不能用传递律,例题等。每违反 一次扣2分,直到扣满10分为止 ·写不出理由,或用错理由,每违反一次扣5分。直到扣满10分 为止 ·用了非有效推理形式(非可证式),则得0分。 六、(12分)设N中公式a为:丑2F2(x1,f2(xn1,x2,x3)→Vx3F2(x1,x2),项 为f(x1,x2) (1)写出a的自由变元和约束变元 (2)求a(x1/t),a(x2/()和a(x3/t) (3)问t分别对x1,x2,x3在a中是否自由? 解:(1)a的自由变元: 约来变元:无 (2)a(x1/1)=丑r2F2(t,f2(t,x2,x3)→x3F2(t,xr2) a(x2/(1)=3r2F2(x1,f2(x1,x2,x3)→ar3F2(x1,t) a(x3/(1)=r2F2(x1,f2(x1,x2,t)→x3F2(x1,x2 4
• î❳ç✞✝✞✟❱➁❆➉ ◗✠✝☛✡✌☞❂é✎✍ ❤ ➟Ó 0 ✐❱❨ ✏❁ (10 ❃) ❄❳❅➂↕àÚ❂③ ¬α ↔ β ` ¬(α ↔ β) Û N Ü➂❍❀❱❶❱Ý❆Þ❈ß❂à❿ á❬ (1) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬α, ¬(α ↔ β) ` ¬(α ↔ β) (∈) (2) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬α, ¬(α ↔ β) ` ¬¬(α ↔ β) (∈) (3) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬α ` α ↔ β (¬ − (1)(2)) (4) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬α ` ¬α (∈) (5) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬α ` ¬α ↔ β (∈) (6) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬α ` β (↔ −(4)(5)) (7) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬α ` α (↔ −(3)(6)) (8) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β) ` α (↔ −(4)(7)) (9) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬(α ↔ β) ` ¬(α ↔ β) (∈) (10) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β), ¬(α ↔ β) ` ¬¬(α ↔ β) (∈) (11) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β) ` α ↔ β (¬ − (9)(10)) (12) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β) ` β (↔ −(8)(11)) (13) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β) ` ¬α ↔ β (∈) (14) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β) ` ¬α (↔ −(12)(13)) (15) ¬α ↔ β, ¬¬(α ↔ β) ` ¬(α ↔ β) (¬ − (8)(14)) ♠✐❱♥❳♦❬ ➏❱➐❳➑➂➒❱➓❂❤①â❂➾✙ã❆ä❂å❥➧❂♥➌♦❬ • æÒç➹ê➟❈ë➍➌➑①ì✙íðî❥❤ðïòñð➑❥óðî❥ô✙õ✛ö✙❤①÷✙➵➌ø①❨ ♣✙ù✙ú ➓❱û❱❐ 2 ✐❱❤✙❒❱ü➂❐❂❰ 10 ✐✙❧➂Ï❱❨ • ➚❱➑❳➪Öé❳➲❈❤➂➮❆î❥➷❂é❆➲❈❤ ♣❂ù❂ú➓✙û❂❐ 5 ✐❱❨ ❒❱ü➂❐❱❰ 10 ✐ ❧➂Ï❱❨ • î❳ç✞✝➂❫✁✑✓✒✙é❆➸✙➉ ◗✔✝❈➅ á ➉✕✍ ❤ ➟Ó 0 ✐❱❨ ✖❁ (12 ❃) r NL Ü➂Ú❱③ α ④ ❬ ∃x2F 2 1 (x1, f 3 2 (x1, x2, x3)) → ∀x3F 2 2 (x1, x2), ✗ t ④ f 2 1 (x1, x2). (1) ❄❳❅ α ❍✄✘➂❲➂✇❱▲❂s✓✙✛✚❂✇✙▲❂❿ (2) ⑩ α(x1/t), α(x2/t) s α(x3/t). (3) ✜ t ❃✁✢✁✣ x1, x2, x3 Û α Ü➂t✁✤✄✘➂❲☛✥ ❩❱❬ (1) α ❭✄✦Ö➲✁✧➂❵❬ x1, x2, x3, ★✞✩✪✧➂❵❬✬✫ (2) α(x1/t) = ∃x2F 2 1 (t, f 3 2 (t, x2, x3)) → ∀x3F 2 2 (t, x2) α(x2/t) = ∃x2F 2 1 (x1, f 3 2 (x1, x2, x3)) → ∀x3F 2 2 (x1,t) α(x3/t) = ∃x2F 2 1 (x1, f 3 2 (x1, x2,t)) → ∀x3F 2 2 (x1, x2) 4
(3)t对n1、3在a中不自由 t对x2在a中自由 评分标准: (1)每个变元1分 (2)每个式子2分, (3)t对每个变元1分 七、(10分)写出N中下列公式的前束范式: Cr F(r1, 2)VVr2 F(a1, 2))-Vr1r2 F(a1, r2) 解: mF(1, r2)VVx2 F(1, r2))-Va1t2 F(ar1,2 (丑r3F(x3,x2)r4F(x1,x4)→Vrsr6F(x5,r6 E.r3V4(F(3, a2)V F(1, I4))-Vcs 6 F(as, I6) Va334((F(3, 2)V F(1, 24))-Vrs6F(r5,I6 HVr3-r4V.rs.6((F(3, r2)V F(1, T4))+F(s, 6)) 评分标准: (1)第二步中,不对约来变元换名的,每一处扣1分。 将自由变元换名的,每一处扣1分 (2)第三、四和五步中,如将量词换错名的,每处扣2分 3)第四和五步中,量词顺序有锴误的,每一处扣1分 八、(10分)设x不在公式a中自由出现。在Nc中证明 证:(1)(a→B)→xy,B,a+B (2)(a→3x)→xrn,B,ah彐xB (+) (3)(a→33)→rn,B}a→彐rB (4)(a→彐r)→vx,B}(a→3x)→Wx7(∈) (6)(a→3x)→rh3→V →+ (x不在前提中自由出现 5
(3) t ✭ x1 ❁ x3 ✮ α ✯❱➑✄✦Ö➲➂❿ t ✭ x2 ✮ α ✯✄✦Ö➲➂❿ ♠✐❱♥❳♦❬ (1) ♣❣✪✧➂❵ 1 ✐❱❿ (2) ♣❣❳➉➂❞ 2 ✐❱❿ (3) t ✭♣❣✪✧➂❵ 1 ✐❱❿ ✰❁ (10 ❃) ❄❳❅ NL Ü➂↕àÚ❱③❂❍✛✱✓✚❽③ ❬ (∃x1F(x1, x2) ∨ ∀x2F(x1, x2)) → ∀x1x2F(x1, x2). ❩❱❬ (∃x1F(x1, x2) ∨ ∀x2F(x1, x2)) → ∀x1x2F(x1, x2) |−−| (∃x3F(x3, x2) ∨ ∀x4F(x1, x4)) → ∀x5x6F(x5, x6) |−−| ∃x3∀x4(F(x3, x2) ∨ F(x1, x4)) → ∀x5x6F(x5, x6) |−−| ∀x3∃x4 (F(x3, x2) ∨ F(x1, x4)) → ∀x5x6F(x5, x6) |−−| ∀x3∃x4∀x5x6 (F(x3, x2) ∨ F(x1, x4)) → F(x5, x6) ♠✐❱♥❳♦❬ (1) ✲➂❴✪✳✁✯➂❤✛➑✆✭✴★✆✩☛✧❥❵✓✵✛✶❆❭❈❤ ♣ ➓✓✷✙❐ 1 ✐❱❨ ✸ ✦Ö➲✁✧➂❵✓✵✛✶❆❭❥❤ ♣ ➓✓✷✙❐ 1 ✐❱❨ (2) ✲ ➡❁✺✹ ➊✆✻☛✳✛✯❈❤①➦✸✓✼✓✽ ✵❂➷✛✶❆❭❈❤ ♣ ✷❂❐ 2 ✐❱❨ (3) ✲ ✹ ➊✞✻✪✳✛✯❈❤ ✼✓✽✛✾✓✿❫✙➷✓❀➌❭❈❤ ♣ ➓✛✷❂❐ 1 ✐❱❿ ❁❁ (10 ❃) r x ❘❱Û❱Ú❱③ α Ü✪✘➂❲❱❅✞❂❂❨①Û NL ÜÝ❳Þ❬ (α → ∃xβ) → ∀xγ ` ∀x(β → ∀xγ). á❬ (1) (α → ∃xβ) → ∀xγ, β, α ` β (∈) (2) (α → ∃xβ) → ∀xγ, β, α ` ∃xβ (∃+) (3) (α → ∃xβ) → ∀xγ, β ` α → ∃xβ (→ +) (4) (α → ∃xβ) → ∀xγ, β ` (α → ∃xβ) → ∀xγ (∈) (5) (α → ∃xβ) → ∀xγ, β ` ∀xγ (→ −) (6) (α → ∃xβ) → ∀xγ ` β → ∀xγ (→ +) (7) (α → ∃xβ) → ∀xγ ` ∀x(β → ∀xγ) (∀+) (x ➑✮✁❃✁❄✯❅✦➹➲➌➪❇❆ 5
评分标准:答案不唯 写不出理由,或用错理由,每违反一次扣5分。直到扣满10分 为止 ·用了非有效推理形式(非可证式),则得0分 九、(10分)在KE中证明:+彐vya→vyra 彐 (已证 (2)+y(a→彐ra (3)}wgya→Vg (己证) (4)+vr(wya→vyra) (已证) (5)r(ya→wyra)→(rvya→y3ra)(已证) (6)+彐vgya 评分标准:答案不唯 ·写不出理由,或用错理由,每违反一次扣5分。直到扣满10分 为止 ·用了非永真式(非内定理),则得0分。 6
♠✐❱♥❳♦❬ ➏❱➐❳➑➂➒❱➓❂❨ • ➚❱➑❳➪Öé❳➲❈❤➂➮❆î❥➷❂é❆➲❈❤ ♣❂ù❂ú➓✙û❂❐ 5 ✐❱❨ ❒❱ü➂❐❱❰ 10 ✐ ❧➂Ï❱❨ • î❳ç✞✝➂❫✁✑✓✒✙é❆➸✙➉ ◗✔✝❈➅ á ➉✕✍ ❤ ➟Ó 0 ✐❱❨ ❈❁ (10 ❃) Û KL ÜÝ❳Þ❬ ` ∃x∀yα → ∀y∃xα. á❬ (1) ` α → ∃xα ( ❉á ) (2) ` ∀y(α → ∃xα) ( ❉á ) (3) ` ∀yα → ∀y∃xα ( ❉á ) (4) ` ∀x(∀yα → ∀y∃xα) ( ❉á ) (5) ` ∀x(∀yα → ∀y∃xα) → (∃x∀yα → ∀y∃xα) ( ❉á ) (6) ` ∃x∀yα → ∀y∃xα (M) ♠✐❱♥❳♦❬ ➏❱➐❳➑➂➒❱➓❂❨ • ➚❱➑❳➪Öé❳➲❈❤➂➮❆î❥➷❂é❆➲❈❤ ♣❂ù❂ú➓✙û❂❐ 5 ✐❱❨ ❒❱ü➂❐❱❰ 10 ✐ ❧➂Ï❱❨ • î❳ç✞✝✞✟❱➁❆➉ ◗✠✝☛✡✌☞❂é✎✍ ❤ ➟Ó 0 ✐❱❨ 6
