成都信工学院：《微分方程数值解》第三章 椭圆型方程的差分格式

微分方程数值解 讣算科学系杨韧 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式 微分方程数值解 计算科学系 杨韧

第三章椭圆型方程的差分格式 般方程a(x,y)2+c(x,y)2+d(x,y +e(x,y)+f(x, yu=g(x, y) Laplace方程 0 ax2 a a-u a Poisson方程 Ov28(x, y) 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式 第三章 椭圆型方程的差分格式 0 2 2 2 2 =   +   y u x u Laplace方程 ( , ) 2 2 2 2 g x y y u x u Poisson =   +   方程 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 2 f x y u g x y y u e x y x u d x y y u c x y x u a x y + =   +   +   +   一般方程

93.1正方形区域中的 Laplace程 Dirichlet边值问题的差分模拟 设9是xy平面中的具有正方形边界a的一个有界 区域,考虑 Laplace方程的第一边值( Dirichlet)问题 0202u 0(x,y)∈ Ox Oy u(x,y)=f(,y (x,DEaQ 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式 §3.1 正方形区域中的Laplace 方程 Dirichlet边值问题的差分模拟 设Ω是 xy 平面中的具有正方形边界 的一个有界 区域，考虑Laplace方程的第一边值（Dirichlet ）问题       =  =    +     ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 2 2 2 2 u x y f x y x y x y y u x u

网格节点(l,m) 1,m+1 处的二阶中心差商代替 二阶微商(注意:表示列,1-1,m m表示行) 0l14+4m-2m+u-1m ≈ h l,m+1 2u,+ h 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式 网格节点（l ， m） 处的二阶中心差商代替 二阶微商（注意：l 表示列， m表示行） l , m+1 l–1,m l , m l+1 , m l , m–1 2 1, , 1, 2 2 2 h u u u x u l+ m − l m + l− m    2 , 1 , , 1 2 2 2 h u u u y u l m+ − l m + l m−   

Laplace方程的五点差分格式36)为 +U1+U +U 4U,)=0 h +1.m l,m+1 l,m-1 截断误差为O(h2)。 -Ul_ 40 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式 Laplace方程的五点差分格式(3.6)为 截断误差为 O(h 2 ) 。 ( 4 ) 0 1 2 Ul+1,m +Ul−1,m +Ul,m+1 +Ul,m−1 − Ul,m = h -Ul, m+1 -Ul–1,m 4U l , m -U l+1 , m -Ul, m–1

令U h2(/+I m +U +u1+u1-40 1,m- L m 则 Laplace方程的五点差分格式为(38) ◇U7,m,=01,m=1,2,…,M-1 即 U,,-U l,m+1 l,m-1+4U .m 0 (l,m=1,2,…,M-1) 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式 令 则Laplac方程的五点差分格式为（3.8） 即 ( ) l m Ul m Ul m Ul m Ul m Ul m h U , 2 1, 1, , 1 , 1 , 4 1  = + + − + + + − − 0 , 1,2, , 1 Ul,m = l m =  M − ( , 1,2, , 1) 1, 1, , 1 , 1 4 , 0 = − − + − − − + − − + = l m M Ul m Ul m Ul m Ul m Ul m 

例1用五点差分格式求解 Laplace方程 0 2 X 在区域g2={x,y)|0≤x≤40≤y≤4} 内的近似解,边界值为 (x,0)=20,(x,4)=180,0<x<4 L(O,y)=80,(4,y)=0,0<y<4 取h=△x=△y=1 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式 例1 用五点差分格式求解 Laplace方程 在区域 内的近似解，边界值为： 取 。 0 2 2 2 2 =   +   y u x u  = (x, y)| 0  x  4,0  y  4 u(0, y) = 80,u(4, y) = 0,0  y  4 u(x,0) = 20,u(x,4) =180,0  x  4 h = x = y =1

解网格点如图所示 u(1,4)=180u(2,4)=180u(3,4)=180 u(O0,3)=80 u(4,3)=0 u(O,2)=80 u(4,2)=0 u(O0,1)=80 u(4,1)=0 u(1,0)=20u(2,0)=20u(3,0)=20 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式 解 网格点如图所示 U7 U8 U9 U4 U5 U6 U1 U2 U3 u(1,0)=20 u(2,0)=20 u(3,0)=20 u(1,4)=180 u(2,4)=180 u(3,4)=180 u(0,3)=80 u(0,2)=80 u(0,1)=80 u(4,3)=0 u(4,2)=0 u(4,1)=0

100 U,+4U3 U6 =20 4U4-U =80 U4+4U5-U U。+4U 260 U U7+48 180 U。+4U。=180 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式                − − + = − − + − = − + − = − − + − = − − + − − = − + − − = − + − = − + − − = − − = 4 180 4 180 4 260 4 0 4 0 4 80 4 20 4 20 4 100 6 8 9 5 7 8 9 4 7 8 3 5 6 9 2 4 5 6 8 1 4 5 7 2 3 6 1 2 3 5 1 2 4 U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U U

4-101-100000YU7(100 14-10-10000U7220 0-1400-1000U320 10 0-1 00 4-10-100U480 0-10U 00-10-1400-1‖U 000-1004-10U,260 0000-10-14-1U180 00000-10-14U。/(180 椭圆型方程的五点差分格式

椭圆型方程的五点差分格式                               =                                                             − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − 180 180 260 0 0 80 20 20 100 0 0 0 0 0 1 0 1 4 0 0 0 0 1 0 1 4 1 0 0 0 1 0 0 4 1 0 0 0 1 0 1 4 0 0 1 0 1 0 1 4 1 0 1 0 1 0 0 4 1 0 1 0 0 0 1 4 0 0 1 0 0 0 1 4 1 0 1 0 0 0 0 4 1 0 1 0 0 0 0 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 U U U U U U U U U