《线性代数》第四章 课后习题

6.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: 25311743 759453132 0215 (2) 759454134 203-13 25322048 25311743 25311743 759453132|72-3n0123 解(1) 759454134|15-3|0135 25322048n-n1(0135 25311743 -0123 3-n 0013 0000 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 11221 0215 TI (2) 203 3r n 0-2-1-5 1104-1) 00 22 r3+n202 分r00-22-2/ 00000 所以第1、2、3列构成一个最大无关组 7.求下列向量组的秩并求一个最大无关组: 2 100 =(1,2,1,3),a2=(4,-1,5,6),a3=(1,3,-4,7)

1 6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1)               25 32 20 48 75 94 54 134 75 94 53 132 25 31 17 43 ; (2)               − − − 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 . 解 (1)               25 32 20 48 75 94 54 134 75 94 53 132 25 31 17 43 4 1 3 1 2 1 3 3 ~ r r r r r r − − −               0 1 3 5 0 1 3 5 0 1 2 3 25 31 17 43 3 2 4 3 ~ r r r r − −               0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 2 3 25 31 17 43 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组. (2)               − − − 1 1 0 4 1 2 0 3 1 3 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 4 1 3 2 1 ~ r r r r − −               − − − − − − 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 3 4 3 2 ~ r r r r  +               − − − 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 0 2 1 5 1 1 1 2 2 1 ， 所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)               − = 4 1 2 1 1 a ,               = 4 10 100 9 2 a ,               − − − = 8 2 4 2 3 a ; (2) (1,2,1,3) 1 = T a , (4, 1, 5, 6) 2 = − − − T a , (1, 3, 4, 7) 3 = − − − T a

解(1)-2a1=a3→a1,a3线性相关 由 9100104 08219-32 2-42-8)(0000 秩为2,组最大线性无关组为a1,a2 213 4-1 0-9-9-18 0-5-5-10 3 0-9-9-18 0000 秩为2最大线性无关组为a,a 10.设向量组A:a1,a2,…,a,的秩为r向量组B:b,b2,…,b,的秩 向量组C:a1,a2,…,a,b,b2,…b的秩r3,证明 maxn, 52srsr+r2 证明设A,B,C的最大线性无关组分别为A,B,C’,含有的向量个数 (秩)分别为r,,2则A,BC分别与A,B,C等价易知A,B均可由C 线性表示,则秩(C)≥秩(A秩(C)≥秩(B),即max{r1,h2}≤r 设A与B中的向量共同构成向量组D,则A,B均可由D线性表 示 即C可由D线性表示,从而C可由D线性表示,所以秩(C')≥秩(D) D为r+n2阶矩阵,所以秩(D)≤r+r2即r3≤F+n2 1i证明R(4+B)≤R(4)+R(B) 证明:设A=(a1,a2,…,an)B=(b,b2,…,bn) 且A,B行向量组的最大无关组分别为a1,a2,…,aB1,B,…, 显然存在矩阵A,B',使得 B B2 bn B

2 解 (1) 1 3 1 3 − 2a = a  a ,a 线性相关. 由           − − − − =           2 4 2 8 9 100 10 4 1 2 1 4 3 2 1 T T T a a a           − − 0 0 0 0 0 82 19 32 1 2 1 4 ~ 秩为 2,一组最大线性无关组为 1 2 a ,a . (2)           − − − = − − −           1 3 4 7 4 1 5 6 1 2 1 3 3 2 1 T T T a a a           − − − − − − 0 5 5 10 0 9 9 18 1 2 1 3 ~           − − − 0 0 0 0 0 9 9 18 1 2 1 3 ~ 秩为 2,最大线性无关组为 T T a1 a2 , . 10．设向量组 A : a a as , , , 1 2  的秩为 1 r ,向量组 B : b b bt , , , 1 2  的秩 2 r 向量组 C : a a as b b br , , , , , , , 1 2  1 2  的秩 3 r ,证明 1 2 3 1 2 max{r ,r }  r  r + r 证明 设 A,B,C 的最大线性无关组分别为 A ,B ,C ,含有的向量个数 (秩)分别为 1 2 2 r ,r ,r ,则 A,B,C 分别与 A ,B ,C 等价,易知 A,B 均可由 C 线性表示,则秩( C )  秩( A ),秩( C )  秩( B )，即 1 2 3 max{r ,r }  r 设 A 与 B 中的向量共同构成向量组 D ,则 A,B 均可由 D 线性表 示, 即 C 可由 D 线性表示,从而 C 可由 D 线性表示，所以秩( C )  秩( D ), D 为 1 2 r + r 阶矩阵，所以秩( D ) 1 2  r + r 即 3 1 2 r  r + r . 11.证明 R(A + B)  R(A) + R(B). 证明:设 T A a a an ( , , , ) = 1 2  T B b b bn ( , , , ) = 1 2  且 A,B 行向量组的最大无关组分别为 T r T T 1 , 2 ,  , T s T T  1 ,  2 ,  ,  显然,存在矩阵 A , B ,使得               =                T s T T T n T T A a a a      2 1 2 1 ,               =                T s T T T n T T B b b b      2 1 2 1

+b B ∴A+B= a2+b2 +B Pi B 因此R(4+B)≤R(4)+R(B) 12.设向量组B:b1,…,b,能由向量组A:a1,…a,线性表示为 b1,…,b,) )K 其中K为sxr矩阵,且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要 条 件是矩阵K的秩R(K)=r 证明→若B组线性无关 令B=(b1,…,b)A=(a1,…,a则有B=AK 由定理知R(B)=R(AK)≤min{R(A),R(KsR(K) 由B组:b1,b2,…,b线性无关知R(B)=r,故R(K)≥r 又知K为rⅹs阶矩阵则R(K)smin{r, 由于向量组B:b1,b2…,b能由向量组A:a1,a2…,a,线性表示,则 r≤S 综上所述知r≤R(K)≤r即R(K)=r ←若R(k)=r 令xb+x2b2+…+xb=0,其中x1为实数i=1,2,…,r 则有(b,b2,…,b):|=0 又(b,…,b)=(a1,…,a,)K,则(a1,…,a,)k 0 由于a,,,a线性无关所以k=0

3               + + +  + = T n T n T T T T a b a b a b A B  2 2 1 1               +                =  T s T T T s T T A B         2 1 2 1 因此 R(A + B)  R(A) + R(B) 12．设向量组 B : b br , , 1  能由向量组 A: a as , , 1  线性表示为 (b1 ,  ,br ) = (a1 ,  ,as )K ， 其中 K 为 s  r 矩阵，且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要 条 件是矩阵 K 的秩 R(K) = r. 证明  若 B 组线性无关 令 ( , , ) ( , , ) B = b1  br A = a1  as 则有 B = AK 由定理知 R(B) = R(AK)  min{ R(A), R(K)}  R(K) 由 B 组: b b br , , , 1 2  线性无关知 R(B) = r ，故 R(K)  r . 又知 K 为 r  s 阶矩阵则 R(K)  min{r,s} 由于向量组 B : b b br , , , 1 2  能由向量组 A : a a as , , , 1 2  线性表示,则 r  s min{r,s} = r 综上所述知 r  R(K)  r 即 R(K) = r ．  若 R(k) = r 令 x1b1 + x2b2 ++ xrbr = 0 ,其中 i x 为实数 i = 1,2,  ,r 则有 ( , , , ) 0 1 1 2 =           r r x x b b  b  又 (b1 ,  ,br ) = (a1 ,  ,as )K ,则 ( , , ) 0 1 1 =           r s x x a  a K  由于 a a as , , , 1 2  线性无关,所以 0 2 1 =                xr x x K 

kx,+k kix=0 k2x2+…+kn2x=0 即 (1) k1x1+k2x2+…+knx=0 k, x,+k sx +…+kx.=0 由于R(K)=r则(1)式等价于下列方程组: k1x1+k21x2+…+kn1x1=0 k12x1+k2x2+…+k2x=0 k1x1+k2xx2+…+knx=0 由于 k12k2 ≠0 所以方程组只有零解x1=x2=…=x=0所以b,b2,…,b线性无关, 证毕 18.设A 2-213 ,求一个4×2矩阵B,使AB=0,且 9 2 R(B)=2 解由于R(B)=2,所以听设B=/00 则由 3 10 21301 AB 可得 00

4 即          + + + = + + + = + + + = + + + = 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 s s rs r r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x       （1） 由于 R(K) = r 则(1)式等价于下列方程组:        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x     由于 0 1 2 12 22 2 11 21 1  r r rr r r k k k k k k k k k       所以方程组只有零解 x1 = x2 == xr = 0.所以 b b br , , , 1 2  线性无关, 证毕. 18．设         − − = 9 5 2 8 2 2 1 3 A ,求一个 42 矩阵 B,使 AB = 0,且 R(B) = 2 . 解 由于 R(B) = 2 ,所以可设               = 3 4 1 2 0 1 1 0 x x x x B 则由         =                       − − = 0 0 0 1 0 0 1 0 9 5 2 8 2 2 1 3 3 4 1 2 x x x x AB 可得

030x 0103‖x 解此非齐次线性方程组可得唯一解 2080‖x 9 0208 2 10 2,故所求矩阵B=111 22 2 19.求一个齐次线性方程组使它的基础解系为 5=(0,1,2,3),51=(3,2,,0 解显然原方程组的通解为 k|+k2 11(4,k2∈R x1=3k 即{与=k+2k 消去k1,k2得 x3=2k1+k2 3k 2x1-3x2+x4=0 此即所求的齐次线性方程组 3x2+2x4=0 20.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知m1,m2,n3是它 的三个解向量.且 2 3 72+们3 求该方程组的通解

5               − − =                             5 9 2 2 0 2 0 8 2 0 8 0 0 1 0 3 1 0 3 0 4 3 2 1 x x x x ,解此非齐次线性方程组可得唯一解                       − =               2 1 2 5 2 1 2 11 4 3 2 1 x x x x ， 故所求矩阵                 − = 2 1 2 5 2 1 2 11 0 1 1 0 B ． 19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 T T (0,1,2,3) , (3,2,1,0)  1 =  1 = . 解 显然原方程组的通解为               +               =               0 1 2 3 3 2 1 0 1 2 4 3 2 1 k k x x x x ,( k1 ,k2  R ) 即        = = + = + = 4 1 3 1 2 2 1 2 1 2 3 2 2 3 x k x k k x k k x k 消去 1 2 k , k 得    − + = − + = 3 2 0 2 3 0 1 3 4 1 2 4 x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组. 20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1 2 3  , , 是它 的三个解向量．且               = 5 4 3 2 1 ，               + = 4 3 2 1 2 3 求该方程组的通解．

解由于矩阵的秩为3,n-r=4-3=1,一维.故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量,且由于m1,n2,73均为方程组的解, 由 非齐次线性方程组解的结构性质得 2-(2+73)=(mh-n2)+(一人/ (齐次解(齐次解/5/齐次解 6 4 3 为其基础解系向量,故此方程组的通解:x 5|+A,(k∈R) 21.设A,B都是n阶方阵,且AB=0,证明R(A)+R(B)≤n 证明设A的秩为r,B的秩为r2,则由AB=0知,B的每一列向量 都是以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量. (1)当r=n时,该齐次线性方程组只有零解故此时B=0, r1=n,n2=0,r+n2=n结论成立 (2)当r1<n时,该齐次方程组的基础解系中含有n-r个向量,从而 的列向量组的秩≤n-r,即n2≤n-r,此时n2≤n-r,结论成立。 综上,R(4)+R(B)≤n 22.设n阶矩阵A满足A2=A,E为n阶单位矩阵证明 R(A)+R(A-E=n (提示利用题11及题21的结论) 证明 A(4-E)=A2-A=A-A=0 所以由21题所证可知R(A)+R(A-E)≤n 又∵R(A-E)=R(E-A) 由11题所证可知 R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)2R(A+E-A=R(E=n 由此R(4)+R(-E)=n 23.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解

6 解 由于矩阵的秩为 3，n − r = 4 − 3 = 1 ，一维．故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量，且由于 1 2 3  , , 均为方程组的解， 由 非齐次线性方程组解的结构性质得 齐次解 齐次解 齐次解 =               − + = − + − = 6 5 4 3 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 2 为其基础解系向量，故此方程组的通解：               +               = 5 4 3 2 6 5 4 3 x k ，(k  R) 21．设 A,B 都是 n 阶方阵，且 AB = 0 ，证明 R(A) + R(B)  n． 证明 设 A 的秩为 1 r ，B 的秩为 2 r ，则由 AB = 0 知， B 的每一列向量 都是以 A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量． (1) 当 r1 = n 时,该齐次线性方程组只有零解,故此时 B = 0 , r1 = n， r2 = 0， r1 + r2 = n 结论成立． (2) 当 r1  n 时,该齐次方程组的基础解系中含有 1 n − r 个向量,从而 B 的列向量组的秩 1  n − r ,即 2 1 r  n − r ,此时 2 1 r  n − r ,结论成立。 综上, R(A) + R(B)  n． 22．设 n 阶矩阵 A 满足 A = A 2 , E 为 n 阶单位矩阵,证明 R(A) + R(A− E) = n (提示:利用题 11 及题 21 的结论) 证明 ( ) 0 2  A A− E = A − A = A− A = 所以由 21 题所证可知 R(A) + R(A − E)  n 又 R(A− E) = R(E − A) 由 11 题所证可知 R(A) + R(A− E) = R(A) + R(E − A)  R(A+ E − A) = R(E) = n 由此 R(A) + R(A− E) = n． 23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解

系: 1-5x2+2x3-3x4=11 (1){2x1+x2+x3+2x4=1,(2){5x1+3x2+6x3-x;=-1 5x1+3x2+2x3+2x4=3; 2x,+4x,+2x,+x 11005 1010-8 初等行变 解(1)B=2112 0 1013 53223 00012 13 10 52-311 初等行变携 (2)B=536 2 72 242 0 24.设η是非齐次线性方程组4x=b的一个解5,…,5n是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明 (1)n,1,…,5n线性无关; (2)m,m+5,,+5n线性无关。 证明(1)反证法假设η,51,…,n线性相关则存在着不全为0的数 C0,C1,…,C使得下式成立: Cnη+C151+…+Cn5n=0 其中,C0≠0否则,51,…,5n,线性相关,而与基础解系不是线性相关的 产生矛盾。 由于η”为特解,51,…,5n为基础解系,故得 A(Co n+C5+.+Cn-5n)=CoAn=cob 而由(1)式可得A(C0+C151+…+Cnn)=0

7 系： (1)      + + + = + + + = + = 5 3 2 2 3; 2 2 1, 5, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 x x x x x x x x x x (2)      + + + = − + + − = − − + − = 2 4 2 6. 5 3 6 1, 5 2 3 11, 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 x x x x x x x x x x x x 解 (1)           − −           = 0 0 0 1 2 0 1 1 0 13 1 0 1 0 8 5 3 2 2 3 2 1 1 2 1 1 1 0 0 5 ~ 初等行变换 B               − =               −  = 0 1 1 1 , 2 0 13 8   (2)                 − − −           − − − − − = 0 0 0 0 0 2 2 1 7 1 0 1 1 2 1 7 9 1 0 2 4 2 1 6 5 3 6 1 1 1 5 2 3 11 ~ 初等行变换 B               − =               − =               −  = 2 0 1 1 , 0 7 1 9 , 0 0 2 1 1 2    24．设   是非齐次线性方程组 Ax = b 的一个解,  n−r , , 1  是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明: (1) n−r   , 1 ,  , 线性无关； (2) n−r     , +  1 ,  , +  线性无关。 证明 (1)反证法,假设 n−r   , 1 ,  , 线性相关,则存在着不全为0的数 C C Cn−r , , , 0 1  使得下式成立: 0 + 1 1 + + − − = 0  C  C   Cn r n r (1) 其中,C0  0 否则,  n−r , , 1  线性相关,而与基础解系不是线性相关的 产生矛盾。 由于   为特解，   n−r , , 1  为基础解系，故得 A(C0 + C1 1 + + Cn r n r ) = C0A = C0b  − −       而由(1)式可得 ( 0 + 1 1 + + − − ) = 0  A C  C   Cn r n r

故b=0,而题中,该方程组为非齐次线性方程组得b≠0 产生矛盾假设不成立,故n,1,…,5n线性无关 (2)反证法假使η,η+5,…,n+n线性相关 则存在着不全为零的数C0,C1;…,Cn使得下式成立 C0+C1(m+51)+…+Cn(m+5n,)=0 (2) 即(C+C1+…+Cm)+C151+…+ Cn-5=0 1)若C0+C1+…+C=0,由于51,…,n是线性无关的一组基础解 2)系,故C0=C1=…=Cm=0,由(2)式得C0=0此时 C0=C1=…=C=0与假设矛盾 3)若C+C1+…+Cm≠0由题(1)知,η,51,…,ln线性无关,故 Co+CI C1=C2=…=Cn=0与假设矛盾 综上,假设不成立,原命题得证 25设mn,…是非齐次线性方程组Ax=b的s个解,k1,…k,为实数, 满足k1+k2+…+k,=1.证明 x=k11+k2m2+…+k,,也是它的解 证明由于m,…,m是非齐次线性方程组Ax=b的s个解 故有7=b(i=1,…,s) 而A(k11+k2n2+…+k)=k1Am1+k2Am2+…+k,Am, b(k1+…+k,)=b 即 Ax=b(x=k1m1+k2m2+…+k,7,) 从而x也是方程的解 26.设非齐次线性方程组Ax=b的系数矩阵的秩为r,m1,…,mn+是 它 的n-r+1个线性无关的解(由题24知它确有n-r+1个线性无关的 解).试证它的任一解可表示为 x=k171+k272+…+k r+11nr+1 (其中k1+…+kny+1=1) 证明设x为A=b的任一解 由题设知:mh,72,…,mn+线性无关且均为Ax=b的解 取51=m2-m1,52=m3-m1,…,5n=mn+1-m,则它的均为Ax=b的 解 用反证法证:51,52,…,5n线性无关 反设它们线性相关,则存在不全为零的数: 使得l151+l252+ 0 n-r。rr

8 故 b = 0 ，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得 b  0 产生矛盾,假设不成立, 故 n−r   , 1 ,  , 线性无关. (2)反证法,假使 n−r     , +  1 ,  , +  线性相关. 则存在着不全为零的数 C C Cn−r , , , 0 1  使得下式成立: 0 + 1 ( + 1 ) + + ( + − ) = 0  −   C  C    Cn r   n r （2） 即 ( 0 + 1 + + ) + 1 1 + + − − = 0  C C  Cn−r  C   Cn r n r 1) 若 C0 + C1 ++ Cn−r = 0,由于   n−r , , 1  是线性无关的一组基础解 2) 系,故 C0 = C1 == Cn−r = 0,由(2)式得 C0 = 0 此时 C0 = C1 == Cn−r = 0 与假设矛盾. 3) 若 C0 + C1 ++ Cn−r  0 由题(1)知, n−r   , 1 ,  , 线性无关,故 C0 + C1 ++ Cn−r = C1 = C2 == Cn−r = 0 与假设矛盾, 综上,假设不成立,原命题得证. 25.设  s , , 1  是非齐次线性方程组 Ax = b 的 s 个解， k ks , , 1  为实数， 满足 k1 + k2 ++ ks = 1.证明 x = k11 + k22 ++ kss 也是它的解. 证明 由于  s , , 1  是非齐次线性方程组 Ax = b 的 s 个解. 故有 A b (i 1, ,s) i = =  而 A k11 + k22 ++ kss = k1A1 + k2A2 ++ ksAs ( ) = b(k1 ++ ks ) = b 即 Ax = b （ x = k11 + k22 ++ kss ） 从而 x 也是方程的解． 26．设非齐次线性方程组 Ax = b 的系数矩阵的秩为 r ， 1 1 , ,   n−r+ 是 它 的 n − r + 1 个线性无关的解(由题 24 知它确有 n − r + 1 个线性无关的 解)．试证它的任一解可表示为 x = k11 + k22 ++ kn−r+1n−r+1 （其中 k1 ++ kn−r+1 = 1 ）. 证明 设 x 为 Ax = b 的任一解． 由题设知： 1 2 1 , , ,    n−r+ 线性无关且均为 Ax = b 的解． 取 1 2 1 2 3 1 1 1  = − , = − ,  , n−r =n−r+ − ，则它的均为 Ax = b 的 解． 用反证法证：    n−r , , , 1 2  线性无关． 反设它们线性相关，则存在不全为零的数： n r l l l − , , , 1 2  使得 l 1 1 + l 2 2 ++ l n−r n−r = 0

即l1(72-m1)+l2(7-m)+…+ln,(mn+1-m1)=0 亦即-(1+l2+…+lnmn+1m2+l23+…+lnmn=0 由7 125 7ny+线性无关知 (1+l2+…+lm)=l1=l2 l.=0 矛盾,故假设不对 51,52,…,5n线性无关,为Ax=b的一组基 由于x,m1均为Ax=b的解,所以x-m为的Ax=b解→x-m1可由 51,2,…,5n线性表出 x-m=k251+k352+…+kn15nr =k2(72-m1)+k3(m3-m)+…+kn+(mnx+-m1) x=m1(1-k2-k3 knx+1)+k272+k373+…+kn+n 0 令k1=1-k2-k3 则k+k2+k3+…+k nP-r+I x=k1m+k2m2+…+knmn+,证毕

9 即 l 1 (2 −1 ) + l 2 (3 −1 ) ++ l n−r (n−r+1 −1 ) = 0 亦即 − (l 1 + l 2 ++ l n−r )1 + l 12 + l 23 ++ l n−rn−r+1 = 0 由 1 2 1 , , ,    n−r+ 线性无关知 − (l 1 + l 2 ++ l n−r ) = l 1 = l 2 == l n−r = 0 矛盾，故假设不对．    n−r , , , 1 2  线性无关，为 Ax = b 的一组基． 由于 1 x, 均为 Ax = b 的解，所以 x −1 为的 Ax = b 解  x −1 可由    n−r , , , 1 2  线性表出． x −1 = k2 1 + k3 2 ++ kn−r−1 n−r ( ) ( ) ( ) = k2 2 −1 + k3 3 −1 ++ kn−r+1 n−r+1 −1 x =1 (1− k2 − k3 −− kn−r+1 ) + k22 + k33 ++ kn−r+1n−r+1 = 0 令 k1 = 1− k2 − k3 −− kn−r+1 则 k1 + k2 + k3 ++ kn−r+1 = 1 x = k11 + k22 ++ kn−r+1n−r+1 ,证毕．