第一章行列式 4.计算下列各行列式 4124 1202 3-1 (1) (2) 10520 32 5062 b 1b10 (3) bd -cd de (4) b 解 1202c,-c2120 (1) 1210 10520c4-7c31032-14 00 122×(-1) 103 14 4-110 9910 C2+c3 12 00 10314/c+c 171714 5062 5 423611 r,3-12 202310 4230
1 第一章 行列式 4.计算下列各行列式： （1） 0 1 1 7 10 5 2 0 1 2 0 2 4 1 2 4 ； （2） − 5 0 6 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 ； （3） − − − bf cf ef bd cd de ab ac ae ； （4） − − − d c b a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 解 (1) 0 1 1 7 10 5 2 0 1 2 0 2 4 1 2 4 4 3 2 3 c 7c c c − − 0 0 1 0 10 3 2 14 1 2 0 2 4 1 2 10 − − − = 4 3 ( 1) 10 3 14 1 2 2 4 1 10 + − − − − = 10 3 14 1 2 2 4 1 10 − − 2 3 1 1 2 3 c c c c + + 17 17 14 0 0 2 9 9 10 − =0 (2) 5 0 6 2 1 2 3 2 3 1 2 1 2 1 4 1 − 4 2 c − c 5 0 6 2 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 − 4 2 r − r 2 1 4 0 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 − 4 1 r − r 0 0 0 0 1 2 3 0 3 1 2 2 2 1 4 0 − =0
tb a ae b c (3 )bd -d de=adf b e b adfbcel 1 =4abcde 00 0 1+ab a 1b10r;+ar,-1b (4) 0-1c 0 00 00 1+ab a 0 1+ab ad +dc (-1)(-1)24-1 1+cd 0 (-1)-1)+21+abad abcd +ab+cd+ad+1 11+cd 5.证明 tb b (1)2aa+b2b=(a-b) ax+by ay+bz az+ b (2)ay+bz az+bx ax+by=(a+b))y z x: az+ br ax+by ay+bz (a+1)2(a+2)2(a+3)2 b2(b+1)2(b+2)2(b+3) =0 (c+1)2(c+2)2(c+3) (d+1)2(d+2)2(d+3)2
2 (3) bf cf ef bd cd de ab ac ae − − − = b c e b c e b c e adf − − − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − adfbce = 4abcdef (4) d c b a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 − − − 1 ar2 r + d c b ab a 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 − − − + = 2 1 ( 1)( 1) + − − d c ab a 0 1 1 1 1 0 − − + 3 2 c + dc 0 1 0 1 1 1 − − + + c cd ab a ad = 3 2 ( 1)( 1) + − − cd ab ad − + + 1 1 1 = abcd + ab + cd + ad + 1 5.证明: (1) 1 1 1 2 2 2 2 a a b b a ab b + = 3 (a − b) ; (2) az bx ax by ay bz ay bz az bx ax by ax by ay bz az bx + + + + + + + + + = z x y y z x x y z (a b ) 3 3 + ; (3) 0 ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) ( 1) ( 2) ( 3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + + + + + + + + + + + d d d d c c c c b b b b a a a a ;
(4) b d =(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)·(c-d)(a+b+c+d); 0 00 =x+a1x+……+an-1x+an 000 a2 x+al 证明 ab-a b-a (1)左边= 2a b-a 2b-2al 0 2b-2a (b-a)(b caa bia =(a-b)3=右边 (2)边按第一列则+az+bpq+ba+bx 分开 ay az+ bx ax+ by +bz az+ bx ax+ by z ax+by ay+b: x ax+ by ay+bz 分别再分 ay+bz z ly z az+bx a'y az+ bx x+0+0+bz x ax+b z ax+by y y ay+ b 分别再分 x y z y z x a'y x+bz x y z x+ b 右边 z x y
3 (4) 4 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d a b c d a b c d = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d) (c − d)(a + b + c + d) ; (5) 1 2 2 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 a a a a x a x x xn n n +− − − − − n n n n = x + a x + + a − x + a − 1 1 1 . 证明 (1) 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 3 1 2 1 a b a b a a ab a b a c c c c − − − − −− 左边 = b a b a ab a b a 2 2 ( 1 ) 2 2 2 3 1 − − − − = − + 1 2 ( )( ) a b a b a b a + = − − = ( a − b ) 3 = 右边 (2) z ax by ay bz y az bx ax by x ay bz az bx a + + + + + + 分开 按第一列 左边 x ax by ay bz z az bx ax by y ay bz az bx b + + + + + + + + + + +++ 0 0 2 z ax by y y az bx x x ay bz z a 分别再分 x y ay bz z x ax by y z az bx b +++ x y z z x y y z x b z x y y z x x y z a 3 3 + 分别再分 = 3 + 3 (−1)2 = 右边 z x y y z x x y z b z x y y z x x y z a
a2+(2a+1)(a+2)2(a+3) (3)左边_b2b2+(2b+1)(b+2)2(b+3) e2c2+(2e+1)(c+2)2(+3)2 d2+(2d+1)(d+2)2(d+3) 2a+14a+46a+9 b22b+14b+46b+9 2c+14c+46c+9 C4-c1d22d+14d+46d+9 4a+46a+9 14a+46a+9 按第二列,b2b4b+46b+9,b214b+46b+9 分成二项c2c4c+46c+9 4c+46c+9 d2d4d+46d+9d214d+46d+9 4c 4a6 第一项 6c,b2b49b214b6b 十 0 第二项5-4.49214c6 c4-9c2d2d49d214d6d 0 b-a -a d (4)左边 b-a c-a d b-a d-a b2(b2-a2) (b-a)(-a)(d-a)b+ C+a d+ b1(6+a)22(c+a)d2(d+a) ( -(d-a)x b+a 2(b+ b(b+a) d(d+a)-b(b+a) b-a(c-add-a(c-b(d-b
4 (3) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) (2 1) ( 2) ( 3) + + + + + + + + + + + + + + + + = d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 1 4 4 6 9 2 2 2 2 4 1 3 1 2 1 + + + + + + + + + + + + − − − d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 4 4 6 9 4 4 6 9 4 4 6 9 4 4 6 9 2 2 2 2 2 + + + + + + + + d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项 按第二列 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 1 4 4 6 9 2 2 2 2 + + + + + + + + + d d d c c c b b b a a a 4 9 4 9 4 9 4 9 9 4 6 4 2 2 2 2 4 2 3 2 4 2 3 2 d d c c b b a a c c c c c c c c − − − − 第二项 第一项 0 1 4 6 1 4 6 1 4 6 1 4 6 2 2 2 2 + = d d d c c c b b b a a a (4) 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 a b a c a d a a b a c a d a a b a c a d a − − − − − − − − − 左边 = = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a − − − − − − − − − = ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( )( )( ) 2 2 2 b b a c c a d d a b a c a d a b a c a d a + + + − − − + + + = (b − a)(c − a)(d − a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 2 2 2 2 2 b b a c c a b b a d d a b b a b a c b d b + + − + + − + + − − = (b − a)(c − a)(d − a)(c − b)(d − b)
(c+bc +b)+(c+)(d+bd+6)+a(d+b (a-b(a-ca-dob-cb-d(c-d(a+b+c+d (5)用数学归纳法证明 当n=2时,D2 =x2+a1x+a2,命题成立 X十a 假设对于(n-1)阶行列式命题成立,即 a1x+……+an2x+a 则D按第列展开: 00 00 D=xDu+a(l) xD+a=右边 所以,对于n阶行列式命题成立 6设n阶行列式D=dean),把D上下翻转、或逆时针旋转90°、或依 副对角线翻转,依次得 D D2 证明D1=D2=(-1)2D,D3=D 证明∵D=det(an) 11 In D (-1)"(-1)
5 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 2 c + bc + b + a c + b d + bd + b + a d + b = (a − b)(a − c)(a − d)(b − c)(b − d) (c − d)(a + b + c + d) (5) 用数学归纳法证明 , . 1 2 , 1 2 2 2 1 当 时 2 x a x a 命题成立 a x a x n D = + + + − = = 假设对于 (n − 1) 阶行列式命题成立，即 , 2 1 2 1 1 1 − − − − − = + + + n + n n n Dn x a x a x a 则 按第1列展开: Dn 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 ( 1) 1 1 − − − = + − + − x x D xD a n n n n = xDn−1 + an = 右边 所以，对于 n 阶行列式命题成立. 6.设 n 阶行列式 det( ) D = aij ,把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90 、或依 副对角线翻转，依次得 n n nn a a a a D 11 1 1 1 = ， 11 1 1 2 n n nn a a a a D = ， 1 11 1 3 a a a a D n nn n = ， 证明 D D D D D n n = = − = − 3 2 ( 1) 1 2 ( 1) , . 证明 det( ) D = aij n n nn n n n n nn a a a a a a a a a a D 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) − = = − = − − = − − n n nn n n n n a a a a a a a a 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 ( 1) ( 1)
11 (-1)(-1)…(-1 =(-1)+2+mmD=(-1)2D n(n-1) n(n-1) 同理可证D2=(-1) (-1)2D=(-1)2D 1 D3=(-1)2D2=(-1)2(-1)2D=(-1)D=D 7.计算下列各行列式(D为阶行列式) D ,其中对角线上元素都是a,未写出的元素都是0; (2)D ; (a a-h 1 a-n 提示:利用范德蒙德行列式的结果 a, b (4)D2n=0
6 n nn n n n a a a a 1 11 1 1 2 = (−1) (−1) (−1) − − D D n n n n 2 ( 1) 1 2 ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) − + + + − + − = − = − 同理可证 n nn n n n a a a a D 1 11 1 2 ( 1) 2 ( 1) − = − D D n n T n n 2 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) − − = − = − D D D D D n n n n n n n n = − = − − = − = − − − − 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) 2 2 ( 1) 3 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 7.计算下列各行列式（ Dk为k阶行列式 ）： (1) a a Dn 1 1 = ,其中对角线上元素都是 a ，未写出的元素都是 0； (2) a a x a x a x a a Dn = ; (3) 1 1 1 1 ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 1 a a a n a a a n a a a n D n n n n n n n − − − − − − = − − − + ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) n n n n n c d c d a b a b D 0 0 0 0 1 1 1 1 2 = ;
(5)Dn=de(an),其中an=-j; +a1 11+a ,其中a1 0. 解 0 00 00a (1)Dn= 00按最后一行展开 000 000 00 (-1)+|0 00 (n-1)(n-1) 000 (再按第一行展开 +a=a-a (n-2)(m-2) (2)将第一行乘(-1)分别加到其余各行,得 r x-a 0 0 a-x 00x 再将各列都加到第一列上,得
7 (5) D a a i j n = det( ij),其中 ij = − ; (6) n n a a a D + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ,其中a1a2 an 0. 解 (1) a a a a a Dn 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 = 按最后一行展开 ( 1) ( 1) 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( 1) − − + − n n n a a a ( 1)( 1) 2 ( 1) − − + − n n n a a a ( 再按第一行展开 ) n n n n n a a a = − − + − − + ( 2)( 2) 1 ( 1) ( 1) −2 = − n n a a ( 1) 2 2 = − − a a n (2)将第一行乘 (−1) 分别加到其余各行，得 a x x a a x x a a x x a x a a a Dn − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 再将各列都加到第一列上，得
x+(n-1)a x-a 0 0 0 =[x+(n-1)al(x-a (3)从第n+1行开始,第n+1行经过n次相邻对换,换到第1行,第n 行经(n-1)次对换换到第2行…经n+m-1)+…+1=叫+次行 交换,得 1 n(n+1)( a-n n+1 n-1 -n)-1 n”(a-1) a-n 此行列式为范德蒙德行列式 n(n+1) I(a-i+1)-(a-j+1) n(+1) n+(n-1)H++1 ∏(-川=(-1)2·( I(- n+12>l n+12i>2l (i-j) n+12i>≥l 0
8 x a x a x a x n a a a a Dn − − − + − = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( 1) [ ( 1) ]( ) 1 x n a x a n = + − − − (3)从第 n + 1 行开始，第 n + 1 行经过 n 次相邻对换，换到第 1 行，第 n 行经 (n − 1) 次对换换到第 2 行…，经 2 ( 1) ( 1) 1 + + − + + = n n n n 次行 交换，得 n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a n D ( 1) ( ) ( 1) ( ) 1 1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 ( 1) 1 − − − − − − = − − − − + + 此行列式为范德蒙德行列式 + + + = − − + − − + 1 1 2 ( 1) 1 ( 1) [( 1) ( 1)] n i j n n n D a i a j + + − + + + + + = − − − = − • − • − 1 1 2 ( 1) 1 2 ( 1) 1 1 2 ( 1) ( 1) [ ( )] ( 1) ( 1) [( )] n i j n n n n n i j n n i j i j + = − 1 1 ( ) n i j i j (4) n n n n n c d c d a b a b D 0 0 0 1 1 1 1 2 =
0 0 按第一行0 b1 展开 d 0 am-I a1 +(-1)2+bn d d 0 都按最后一行展形ndD2n2-b,cnD2n2 由此得递推公式: D2n=(a,dn -,cnD2 即 (a, d, -.cD C 而 b.c 得 D (ar d -b,,) (5)a=i-j 2 2 0 D=det(a)= 3 1n-2
9 n n n n n n d c d c d a b a b a 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − 展开 按第一行 0 0 0 0 0 0 ( 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 c c d c d a b a b b n n n n n n n − − − − + + − n n 2n−2 − n nD2n−2 都按最后一行展开a d D b c 由此得递推公式： 2 2 2 ( ) n = n n − n n D n− D a d b c 即 = = − n i D n aidi bi ci D 2 2 2 ( ) 而 1 1 1 1 1 1 1 1 2 a d b c c d a b D = = − 得 = = − n i n i i i i D a d b c 1 2 ( ) (5) a i j ij = − 1 2 3 4 0 3 2 1 0 4 2 1 0 1 3 1 0 1 2 2 0 1 2 3 1 det( ) − − − − − − − − = = n n n n n n n n Dn aij
l11 1c,+C1,C3+c r2-73 1n-2n-3 l111 0 2 2 0000 (-1)°(n-1)2n2 2 12n-32n-42n-5 n 1+ 1 CI-C C 1+an 0 0 0000 00.00 0 按最后一列 展开(由下往上) a l+a, 00 2 003 000 0 0 00 (1+an)(a1a2an1)-00 00 0 0 0
10 2 3 , 1 2 r r r r − − 1 2 3 4 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − − − − − − − − − − − − − − n n n n , , 4 1 2 1 3 1 c c c c c c + + + 1 2 3 2 4 2 5 1 1 2 2 2 0 1 2 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 0 0 − − − − − − − − − − − − − − − n n n n n = 1 2 ( 1) ( 1)2 − − − − n n n (6) n n a a a D + + + = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 , , 3 4 1 2 2 3 c c c c c c − − − n n n n a a a a a a a a a a − + − − − − − − 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 4 3 3 2 2 1 展开（由下往上） 按最后一列 (1 )( ) + an a1a2 an−1 n n n a a a a a a a a a − − − − − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 4 3 3 2 2 1
