第十一章函数项级数、幂级数 §1.函数项级数的一致收敛性 1.讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性: (1)fn(x) x∈(-∞,+0 (2) f(x)=sin- i)x∈(-l,1),i)x∈(-∞,+∞) (3)fn(x)= 0,1) 1+nx (4)f(x)= 1+nx i)x∈[a,+∞),a>0,i)x∈(0,+∞); n (5)fn(x)= 1+n3x3 i)x∈[a,+∞),a>0,i)x∈(0,+∞); 6)fn(x)= 1+n+x x∈[0,1] (7)fn(x)= 1+x" i)x∈[0,b,bl (8)fn(x)=x-x,x∈[0,1 (9)f0(x) x∈[0,1] 00fn(x)=-ln=,x∈(0,1), aDJ(x)=-ln(1+e),x∈(-∞,+∞); 第1页共9页
第 1 页 共 9 页 第十一章 函数项级数、幂级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ 2 2 1 ( ) n f x x n = + , x − + ( , ); ⑵ ( ) sin , n x f x n = i) x l l −( , ), ii) x − + ( , ); ⑶ ( ) , 1 n nx f x nx = + x(0,1); ⑷ 1 ( ) , 1 n f x nx = + i) x a a + [ , ), 0, ii) x + (0, ); ⑸ 2 2 3 3 ( ) , 1 n n x f x n x = + i) x a a + [ , ), 0, ii) x + (0, ); ⑹ ( ) , 1 n nx f x n x = + + x[0,1]; ⑺ ( ) , 1 n n n x f x x = + i) x b b [0, ], 1, ii) x[0,1]; iii) x a a + [ , ), 1; ⑻ 2 ( ) , n n n f x x x = − x[0,1]; ⑼ 1 ( ) , n n n f x x x + = − x[0,1]; ⑽ ( ) ln , n x x f x n n = x(0,1); ⑾ 1 ( ) ln(1 ), nx n f x e n − = + x − + ( , );
(2 f(x=e-(x-m) i)x∈[-l,1],i)x∈(-∞,+∞) 2.设∫(x)定义于(a,b),令 f(x)=(x)(m=12 求证:{fn(x)}在(a,b)上一致收敛于∫(x) 3.参数a取什么值时, fn(x)=nxe",n=1,2,3, 在闭区间[0.1收敛?在闭区间D一致收敛?使lmf,(x)x可在积分号下取极 限 4.证明序列f(x)=nxem(n=1,2,…)在闭区间[0,1上收敛,但 im(x≠lim「f(xh 5.设n(x)}是[a,b上的连续函数列,且{fn(x)}在[ab一致收敛于f(x);又 xn∈[a,b](n=1,2,…),满足lmxn=x,求证 lim f,(x)=f(x0) 6.按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性: )∑(1-x)x,x∈[o,l 1) x∈(-∞,+∞) (1+x2) 7.设∫n(x)(n=1,2,…)在[a,b]上有界,并且{f(x)}在[a,b]上一致收敛,求证: f(x)在[a,b]上一致有界 8.设f(x)在(a,b)内有连续的导数f(x),且 f(x)=[f(x+-)-f(x) 求证:在闭区间[a,](a<a<B<b)上,{fn(x)}一致收敛于f'(x) 9.设∫(x)在[a6上黎曼可积,定义函数序列 第2页共9页
第 2 页 共 9 页 ⑿ 2 ( ) ( ) , x n n f x e− − = i) x l l −[ , ], ii) x − + ( , ) 2. 设 f x( ) 定义于 ( , ) a b ，令 [ ( )] ( ) n nf x f x n = ( 1,2, ) n = . 求证： { ( )} n f x 在 ( , ) a b 上一致收敛于 f x( ) . 3. 参数 取什么值时， ( ) , nx n f x n xe − = n = 1,2,3, 在闭区间 [0,1] 收敛？在闭区间 [0,1] 一致收敛？使 1 0 lim ( ) n n f x dx − 可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列 2 ( ) nx n f x nxe− = ( 1,2, ) n = 在闭区间 [0,1] 上收敛，但 1 1 0 0 lim ( ) lim ( ) . n n n n f x dx f x dx − − 5. 设 { ( )} n f x 是 [ , ] a b 上的连续函数列，且 { ( )} n f x 在 [ , ] a b 一致收敛于 f x( ) ；又 [ , ] n x a b ( 1,2, ) n = ，满足 0 lim n n x x − = ，求证 0 lim ( ) ( ). n n n f x f x − = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1 ) , [0,1]; n n x x x = − ⑵ 1 2 2 1 ( 1) , ( , ) (1 ) n n n x x x − = − − + + . 7. 设 ( ) n f x ( 1,2, ) n = 在 [ , ] a b 上有界，并且 { ( )} n f x 在 [ , ] a b 上一致收敛，求证： ( ) n f x 在 [ , ] a b 上一致有界. 8. 设 f x( ) 在 ( , ) a b 内有连续的导数 f x ( ) ，且 1 ( ) [ ( ) ( )], n f x n f x f x n = + − 求证：在闭区间 [ , ] ( ) a b 上， { ( )} n f x 一致收敛于 f x ( ) . 9. 设 1 f x( ) 在 [ , ] a b 上黎曼可积，定义函数序列
n(x)=fot(m=12…) 求证:{(x)}在[a,b上一致收敛于零 10.设{/(x)}在(a,b)内一致收敛于f(x),x∈(a,b)且 lim = 证明: lim a和limf(x)存在且相等,即 limlim f (x)=limlim f(x) 11.讨论下列函数项级数的一致收敛性: ()∑ sIn nx m x4,x∈(-0,+∞ x∈(-0,+00 n=lI+nx2 l)”(1-e ,x∈[0,+∞) O)sInn +27,x∈(-2,+) x∈(-0,+0 nal 1+nx ∑=(x+x"),sx2 ); x∈0,+∞ (8) 、xln”xx∈[0.1 ElF+r- F+ m-liy x∈(-∞,+∞) Ixer>l n=l 第3页共9页
第 3 页 共 9 页 1 ( ) ( ) x n n a f x f t dt + = ( 1,2, ) n = 求证： { ( )} n f x 在 [ , ] a b 上一致收敛于零. 10. 设 { ( )} n f x 在 ( , ) a b 内一致收敛于 f x( ) ， 0 x a b ( , ) 且 0 lim ( ) , n n x x f x a − = ( 1,2, ) n = . 证明： lim n n a − 和 0 lim ( ) x x f x − 存在且相等，即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ) n n n x x x x n f x f x − − − − = . 11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 3 4 4 1 sin , ( , ); n nx x n x = − + + ⑵ 4 2 1 , ( , ); n 1 x x n x = − + + ⑶ 2 2 1 ( 1) (1 ) , [0, ); n nx n e x n x − = − − + + ⑷ 1 sin , ( 2, ); 2 n n nx x x = − + + ⑸ 5 2 1 , ( , ); n 1 nx x n x = − + + ⑹ 2 1 1 ( ), | | 2; ! 2 n n n n x x x n − = + ⑺ 2 1 , [0, ); nx n x e x − = + ⑻ 1 ln , [0,1]; ! n n n x x x n = ⑼ 2 2 2 2 2 1 1 , ( , ); n ( 1) x x x n n = + − + − + − ⑽ 1 , | | 1; n n n x r x =
In(1+nx) n,x∈[a,+∞),a>1 nx 12.讨论下列函数项级数的一致收敛性 2n丌 x∈(-∞,+∞) (2) sinxsin nx x∈[0,2x r+h、x∈(-1,+∞) h、x∈(-0,+∞) 2 x∈(0.+∞) ,kxk≤ ∑=,x∈[-10 2n+1 x∈[-1,] 13.设每一项(x)都是[ab]上的单调函数,如果∑q(x)在[a]的端点为绝对收 敛,那么这级数在[a,b]上一致收敛 14.证明级数∑(-1)+关于x在(-,+∞)上为一致收敛,但对任何x并非绝 对收敛:而级数∑ 虽在x∈(-∞,+∞)上绝对收敛,但并不一致收敛 如(1+x2) 15.若∑un(x)的一般项ln(x)cn(x),x∈X,并且∑c1(x)在X上一致收敛,证明 ln(x)在X上也一致收敛且绝对收敛 第4页共9页
第 4 页 共 9 页 ⑾ 1 ln(1 ) , [ , ), 1. n n nx x a a nx = + + 12. 讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 2 2 1 2 cos 3 , ( , ); n n x n x = − + + ⑵ 1 sin sin , [0, 2 ]; n x nx x n x = + ⑶ 1 ( 1) , ( 1, ); n n x x n = − − + + ⑷ 1 ( 1) , ( , ); sin n n x n x = − − + + ⑸ 1 1 2 sin , (0, ); 3 n n n x x = + ⑹ ( 1) 2 3 2 1 ( 1) , | | ; n n x n x a n e − = − + ⑺ 1 , [ 1,0]; n n x x n = − ⑻ 2 1 1 ( 1) , [ 1,1]. 2 1 n n n x x n + = − − + 13. 设每一项 ( ) n x 都是 [ , ] a b 上的单调函数，如果 ( ) n x 在 [ , ] a b 的端点为绝对收 敛，那么这级数在 [ , ] a b 上一致收敛. 14. 证明级数 1 2 1 1 ( 1)n n n x − = − + 关于 x 在 ( , ) − + 上为一致收敛，但对任何 x 并非绝 对收敛；而级数 2 2 1 (1 )n n x x = + 虽在 x − + ( , ) 上绝对收敛，但并不一致收敛. 15. 若 1 ( ) n n u x = 的一般项 | ( ) | ( ), , n n u x c x x X 并且 1 ( ) n n c x = 在 X 上一致收敛，证明 1 ( ) n n u x = 在 X 上也一致收敛且绝对收敛
§2.幂级数 1.求下列各幂级数的收敛域 (2) In(n+D) n+1 =l(n n (6) (2n+1)! () (-1)x2 +-+ 第5页共9页
第 5 页 共 9 页 §2. 幂级数 1． 求下列各幂级数的收敛域. ⑴ 1 (2 ) ; ! n n x n = ⑵ 1 1 ln( 1) ; 1 n n n x n + = + + ⑶ 1 1 ; n n n n x n = + ⑷ 2 1 ; 2 n n n x = ⑸ 1 3 ( 1) ; n n n n x n = + − ⑹ 1 3 ( 2) ( 1) ; n n n n x n = + − + ⑺ 1 (2 )!! ; (2 1)!! n n n x n = + ⑻ 2 1 1 1 ; n n n x n − = + ⑼ 1 ( 1) ; n n n n x n n = − ⑽ 1 ; 5 7 n n n n x = + ⑾ 2 1 ( !) ; (2 )! n n n x n = ⑿ 1 1 1 1 ; 2 n n x n = + + + ⒀ 1 ; n n nx =
(2n-1) 0∑ax(00),求证:当0<x<x时,有 (1)Sax"收敛 anx≤M 4.设f(x)=∑ax当1x|<r时收敛,那么当∑。,r收敛时有 n(x)hx=∑a,r, 不论∑anx”当x=r时是否收敛 利用上题证明 In(1-x) 6.用逐项微分或逐项积分求下列级数的和: 第6页共9页
第 6 页 共 9 页 ⒁ 2 1 1 ( 2) ; (2 1)! n n x n − = − − ⒂ 2 1 (0 < <1); n n n a x a = ⒃ 1 . n p n x n = 2． 设幂级数 0 n n n a x = 的收敛半径为 R ， 0 n n n b x = 的收敛半径为 Q ，讨论下列级数的 收敛半径： ⑴ 2 1 n n n a x = ； ⑵ 1 ( ) n n n n a b x = + ； ⑶ 1 n n n n a b x = . 3． 设︱ 1 0 n k k k a x = ︱≤M 1 = ( 0,1, 0 ) n x ，求证：当 0＜ x ＜ 1 x 时，有 ⑴ 0 n n n a x = 收敛； ⑵ 0 n n n a x M = . 4. 设 0 ( ) n n n f x a x = = 当︱ x ︱＜ r 时收敛，那么当 1 0 1 n n n a r n + = + 收敛时有 1 0 0 ( ) 1 r n n n a f x dx r n + = = + ， 不论 0 n n n a x = 当 = x r 时是否收敛. 5. 利用上题证明 1 2 0 1 1 (1 ) 1 n n x dx x n = − = − . 6. 用逐项微分或逐项积分求下列级数的和：
n=l n/2n n ()∑(2-1)x 7.求下列级数的和: n(2n+1) 证明: (1) m()满足方程y=y 满足方程xy+y-y=0 (n!) 第7页共9页
第 7 页 共 9 页 ⑴ 1 n n x n = ; ⑵ 1 n n nx = ; ⑶ 1 ( 1) n n n n x = + ; ⑷ 1 2 1 ( 1) (2 1) n n n x n n − = − − ; ⑸ 2 1 1 !2 n n n n x n = + ; ⑹ 3 1 ( 1) ( 1)! n n n n x n = − + ; ⑺ 4 1 0 4 1 n n x n − = + ; ⑻ 1 0 (2 1) n n n x + = − ; ⑼ 2 1 1 n n n x − = ; ⑽ 2 2 1 1 (2 1) ! n n n x n + = + . 7. 求下列级数的和： ⑴ 1 2 1 2 n n n = − ; ⑵ 1 1 n n n (2 1) = + . 8. 证明： ⑴ 4 0 (4 )! n n x n = 满足方程 (4) y y = ； ⑵ 2 0 ( !) n n x n = 满足方程 '' ' xy y y + − = 0
9.设f(x)是幂级数∑anx"在(-RR)上的和函数,若f(x)为奇函数,则级数中仅 出现奇次幂的项;若f(x)为偶函数,则级数中仅出现偶次幂的项 10.设f(x)=∑ mn21n(1+n) (1)求证:f(x)在[-1,1连续,∫(x)在(-1,1)内连续 (2)求证:f(x)在点x=-1可导; (3)求证:Iimf(x)=+∞ (4)求证:f(x)在点x=1不可导 11.利用基本初等函数的展式,将下列函数展开为麦克劳林级数,并说明收敛区间. (4) cOS x (5) Sinx √1-3x (7)(1+x)e-x (8)1n(x+ 1-3x+2x arcsinx aD In(1+x+x: ①2 x arctan x-ln 第8页共9页
第 8 页 共 9 页 9. 设 f x( ) 是幂级数 0 n n n a x = 在 ( , ) −R R 上的和函数，若 f x( ) 为奇函数，则级数中仅 出现奇次幂的项；若 f x( ) 为偶函数，则级数中仅出现偶次幂的项. 10. 设 2 1 ( ) 1 (1 ) n n x f x n n n = = + . ⑴ 求证： f x( ) 在 [ 1,1] − 连续， ' f x( ) 在 ( 1,1) − 内连续； ⑵ 求证： f x( ) 在点 x =−1 可导； ⑶ 求证： 1 lim '( ) x f x → − = + ； ⑷ 求证： f x( ) 在点 x =1 不可导. 11. 利用基本初等函数的展式，将下列函数展开为麦克劳林级数，并说明收敛区间. ⑴ 1 , 0 a a x − ; ⑵ 2 1 ; (1 ) + x ⑶ 3 1 ; (1 ) + x ⑷ 2 cos x ; ⑸ 3 sin x ; ⑹ ; 1 3 x − x ⑺ (1 ) x x e − + ; ⑻ 2 1 ( 1 ); n x x + + ⑼ 2 1 ; 1 3 2 − +x x ⑽ arcsin x ; ⑾ 2 1 (1 ); n x x + + ⑿ 2 x x x arctan ln 1 ; − +
12.利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式: ()n(1+x) 1+x (2)(arctan x) (3)1n(1-x) 13.将下列函数在指定点x展开为泰勒级数 x。=b(≠a) (3)inx,x0=2 e.o= 14.试将f(x)=Inx展开成—的幂级数 1.展开a(x)为x的幂级数,并推出12a# 16.设函数∫(x)在区间(a,b)内的各阶导数一致有界,即存在M>0,对一切 x∈(a,b),有 1f"(x)≤M,n=1,2, 证明:对(a,b)内任意点x与x0,有 f(x) f"(x) x-x0) 第9页共9页
第 9 页 共 9 页 ⒀ 0 sin ; x t dt t ⒁ 2 0 cos . x t dt 12. 利用幂级数相乘求下列函数的麦克劳林展开式： ⑴ 1 (1 ) ; 1 n x x + + ⑵ 2 (arctan ) x ; ⑶ 2 1 (1 ). n x − 13. 将下列函数在指定点 0 x 展开为泰勒级数： ⑴ 0 1 , ( ); x b a a x = − ⑵ 2 0 1 1 , 1; 2 2 n x x x = − + + ⑶ 0 ln , 2 = x x ; ⑷ 0 , 1. x e x = 14. 试将 f x x ( ) ln = 展开成 1 1 x x − + 的幂级数. 15. 展开 1 ( ) x d e dx x − 为 x 的幂级数，并推出 1 1 . n ( 1)! n n = = + 16. 设函数 f x( ) 在区间 ( , ) a b 内的各阶导数一致有界，即存在 M ＞0，对一切 x a b ( , ) ，有 ( ) | ( ) | , 1, 2, n f x M n = , 证明：对 ( , ) a b 内任意点 x 与 0 x ，有 ( ) 0 0 0 ( ) ( ) ( ) . ! n n n f x f x x x n = = −