课程名称:数学分析 总学时:288 英文名称: Mathematical Analysis 面对专业:数学类 学目标与基本要 通过系统的学习与严格的训练,全面掌握数学分析的基本理论知识、思想与方法:培养严格的逻 辑思维能力与推理论证能力:具备熟练的运算能力与技巧:提高建立数学模型,并应用微积分这一工具解 决实际应用问题的能力。通过学习与研究,激发学生热爱专业,增强建设祖国的事业心和责任感,为学习 数学专业的所有后续课程打下基码 二.教学方法 以课堂教学为主,讲授课时与习题课课时的分配,应注意精讲多练,保证必要的习题量。并充分 利用现代化技术,结合计算机实习与多媒体辅助教学,提高教学效果。指导思想:微积分理论的产生离不 开物理学,天文学,几何学等学科的发展,在数学分析的教学中,应强化微积分与相邻学科之间的联系, 强调应用背景,充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外,也要反映现代 数学的发展趋势,吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法,提高学生的数学修养 三、教学内容 章变量与函数(10学时) 本章内容分为实数集的性质、函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数。教学重点:(1)理解实数 的有序性、稠密性与封闭型:(2)理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数 和偶函数、单调函数和初等函数的定义,熟悉函数的各种表示方法:(3)牢记基本初等函数的定义、性质 及其图像。会求初等函数的定义域、值域,会分析初等函数的复合关系。掌握几个特殊函数的表示方法
课程名称：数学分析 总学时： 288 英文名称： Mathematical Analysis 面对专业 : 数学类 一． 教学目标与基本要求 通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析的基本理论知识、思想与方法；培养严格的逻 辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微积分这一工具解 决实际应用问题的能力。通过学习与研究，激发学生热爱专业，增强建设祖国的事业心和责任感，为学习 数学专业的所有后续课程打下基础。 二． 教学方法 以课堂教学为主，讲授课时与习题课课时的分配，应注意精讲多练，保证必要的习题量。并充分 利用现代化技术，结合计算机实习与多媒体辅助教学，提高教学效果。指导思想：微积分理论的产生离不 开物理学，天文学，几何学等学科的发展，在数学分析的教学中，应强化微积分与相邻学科之间的联系， 强调应用背景，充实理论的应用性内容。数学分析的教学除体现本课程严格的逻辑体系外，也要反映现代 数学的发展趋势，吸收和采用现代数学的思想观点与先进的处理方法，提高学生的数学修养。 三、 教学内容 第一章 变量与函数（10 学时） 本章内容分为实数集的性质、函数的概念、复合函数和反函数、基本初等函数。教学重点：（1）理解实数 的有序性、稠密性与封闭型；（2）理解函数的定义以及复合函数、反函数、有界函数、周期函数、奇函数 和偶函数、单调函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（3）牢记基本初等函数的定义、性质 及其图像。会求初等函数的定义域、值域，会分析初等函数的复合关系。掌握几个特殊函数的表示方法
§1.函数的概念 二、函数 函数的一些几何特性 §2.复合函数和反函数 一、复合函数 反函数 §3.基本初等函数 (30学时) 本章介绍了数列极限的概念、性质与四则运算,数列收敛性的判别法,无穷大量的定义、性质和运算。给 出一般函数极限的概念、基本性质,判定函数极限存在的海涅定理,介绍求函数极限的一些方法以及单侧 极限:给出连续函数的概念、性质,进而证明任何初等函数在其有定义的区间上连续:讨论不连续点的类 型和闭区间上连续函数的性质:引入了无穷小(大)量及其阶的概念 教学重点:(1)数列极限“”的定义及相关概念:(2)理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单 调性、保号性及不等式性质:(3)掌握并会应用收敛数列的四则运算定理、夹逼定理以及单调有界定理: (4)理解函数极限“”的定义,能运用定义证明与函数极限有关的某些命题:(5)掌握函数极限的基本 性质:(6)掌握海涅定理,领会其实质以及证明的基本思路:(⑦)掌握两个重要极限:(8)掌握无穷小 (大)量及其阶的概念,并由此求出某些函数的极限。(9)理解间断点的概念,识别不同类型的间断点 (10)熟知复合函数的连续性和反函数的连续性:(11)掌握闭区间上连续函数的性质和运用;(12)理 解一致连续的概念
§1. 函数的概念 一、变量 二、函数 三、函数的一些几何特性 §2. 复合函数和反函数 一、复合函数 二、反函数 §3. 基本初等函数 第二章 极限与连续（30 学时） 本章介绍了数列极限的概念、性质与四则运算，数列收敛性的判别法，无穷大量的定义、性质和运算。给 出一般函数极限的概念、基本性质，判定函数极限存在的海涅定理，介绍求函数极限的一些方法以及单侧 极限；给出连续函数的概念、性质，进而证明任何初等函数在其有定义的区间上连续；讨论不连续点的类 型和闭区间上连续函数的性质；引入了无穷小（大）量及其阶的概念。 教学重点：（1）数列极限“ ”的定义及相关概念；（2）理解并能证明收敛数列性质、极限的唯一性、单 调性、保号性及不等式性质；（3）掌握并会应用收敛数列的四则运算定理、夹逼定理以及单调有界定理； （4）理解函数极限“ ”的定义，能运用定义证明与函数极限有关的某些命题；（5）掌握函数极限的基本 性质；（6）掌握海涅定理，领会其实质以及证明的基本思路；（7）掌握两个重要极限；（8）掌握无穷小 （大）量及其阶的概念，并由此求出某些函数的极限。（9）理解间断点的概念，识别不同类型的间断点； （10）熟知复合函数的连续性和反函数的连续性；（11）掌握闭区间上连续函数的性质和运用；（12）理 解一致连续的概念
§1.数列的极限和无穷大量 、数列极限的定义 二、数列极限的性质 数列极限的运算 四、单调有界数列 五、无穷大量的定义 六、无穷大量的性质和运算 §2.函数的极限 、函数在一点的极限 、函数极限的性质和运算 单侧极 四、函数在无穷远处的极限 五、函数值趋于无穷大的情形 六、两个常用的不等式和两个重要的极限 §3.连续函数 、连续的定义 、连续函数的性质和运算
§1. 数列的极限和无穷大量 一、数列极限的定义 二、数列极限的性质 三、数列极限的运算 四、单调有界数列 五、无穷大量的定义 六、无穷大量的性质和运算 §2. 函数的极限 一、函数在一点的极限 二、函数极限的性质和运算 三、单侧极限 四、函数在无穷远处的极限 五、函数值趋于无穷大的情形 六、两个常用的不等式和两个重要的极限 §3. 连续函数 一、连续的定义 二、连续函数的性质和运算
三、初等函数的连续性 四、不连续点的类 五、闭区间上连续函数的性质 第三章极限续论(18学时) 本章介绍子列的定义,上、下确界的含义、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理的证 明方法以及证明思路,有界性定理、最大(小)值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、一致连续性 定理的证明方法。教学重点:(1)理解上、下确界的含义:(2)理解区间套定理、致密性定理、柯西收 敛原理、有限覆盖定理:(3)掌握有界性定理、最大(小)值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、 致连续性定理的证明 §1.关于实数的基本定理 子列 上确界和下确界 三、区间套定理 四、致密性定理 五、柯西收敛原理 六、有限覆盖定理 §2.闭区间上连续函数性质的证明 有界性定理
三、初等函数的连续性 四、不连续点的类型 五、闭区间上连续函数的性质 第三章 极限续论（18 学时） 本章介绍子列的定义，上、下确界的含义、区间套定理、致密性定理、柯西收敛原理、有限覆盖定理的证 明方法以及证明思路，有界性定理、最大（小）值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、一致连续性 定理的证明方法。教学重点：（1）理解上、下确界的含义；（2）理解区间套定理、致密性定理、柯西收 敛原理、有限覆盖定理；（3）掌握有界性定理、最大（小）值定理、零点存在定理、反函数连续性定理、 一致连续性定理的证明。 §1. 关于实数的基本定理 一、子列 二、上确界和下确界 三、区间套定理 四、致密性定理 五、柯西收敛原理 六、有限覆盖定理 §2. 闭区间上连续函数性质的证明 一、有界性定理
二、最大(小)值定理 、零点存在定理 四、反函数连续性定理 五、一致连续性定理 第四章导数与微分(20学时) 导数与微分是数学分析的基本概念之一。本章以速度问题为背景引入导数的概念,介绍了导数的几何意义 给出了求导法则、公式,继而引进微分的概念,并阐明其几何解析:最后讨论了高阶导数、高阶微分以及 参数方程所确定函数的求导法。 教学重点:(1)理解导数概念,明确其实际背景并给出物理、几何解析,明确可导与连续的关系;(2) 掌握导数的四则运算法则,复合函数的求导法则,会求由参数方程所给出的函数的导数及反函数的导数: (3)理解函数在一点的微分的定义,可导与可微的一致性,能熟练求初等函数的微分:(4)掌握高阶导 数与高阶微分的定义,会求高阶导数与高阶微分。 §1.导数的引进与定义 数的引进 、导数的定义及几何意义 §2.简单函数的导数 常数的导数 二、三角函数的导数
二、最大（小）值定理 三、零点存在定理 四、反函数连续性定理 五、一致连续性定理 第四章 导数与微分（20 学时） 导数与微分是数学分析的基本概念之一。本章以速度问题为背景引入导数的概念，介绍了导数的几何意义， 给出了求导法则、公式，继而引进微分的概念，并阐明其几何解析；最后讨论了高阶导数、高阶微分以及 参数方程所确定函数的求导法。 教学重点：（1）理解导数概念，明确其实际背景并给出物理、几何解析，明确可导与连续的关系；（2） 掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则，会求由参数方程所给出的函数的导数及反函数的导数； （3）理解函数在一点的微分的定义，可导与可微的一致性，能熟练求初等函数的微分；（4）掌握高阶导 数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。 §1. 导数的引进与定义 一、导数的引进 二、导数的定义及几何意义 §2. 简单函数的导数 一、常数的导数 二、三角函数的导数
三、对数函数的导数 四、幂函数的导数 §3.求导法则 、导数的四则运算 反函数的导数 §4.复合函数求导法 §5.微分及其运算 微分的定义 微分的运算 §6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法 隐函数求导法 参数方程所表示函数的求导法 §7.不可导的函数举例 §8.高阶导数与高阶微分 高阶导数及其运算法则 高阶微分 第五章微分学的基本定理及其应用(20学时)
三、对数函数的导数 四、幂函数的导数 §3. 求导法则 一、导数的四则运算 二、反函数的导数 §4. 复合函数求导法 §5. 微分及其运算 一、微分的定义 二、微分的运算法则 §6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 一、隐函数求导法 二、参数方程所表示函数的求导法 §7. 不可导的函数举例 §8. 高阶导数与高阶微分 一、高阶导数及其运算法则 二、高阶微分 第五章 微分学的基本定理及其应用（20 学时）
中值定理是微分学的基本定理。本章介绍三个中值定理,罗比塔法则,泰勒公式,函数的升降、凸性与极 值,平面曲线的曲率 教学重点:(1)理解中值定理及几何意义,掌握三个中值定理的证明方法,能应用中值定理证明某些有关 的命题:(2)掌握常用初等函数的泰勒公式,会进行近似计算并估计误差:(3)掌握函数的升降、凸性 与极值的判定 求解函数作图及实际应用问题:(5)熟练应用罗比塔法则计算极限。 §1.中值定理 费尔马( Format)定理 拉格朗日( Lagrange)定理 §2.泰勒公式 利用导数作近似计算 、泰勒( Tay lor)公式 §3.函数的升降、凸性与极值 函数的上升与下降 二、函数的极大值与极小值 、函数的最大值与最小值 四、函数的凸性 §4.平面曲线的曲率 曲线的曲率
中值定理是微分学的基本定理。本章介绍三个中值定理，罗比塔法则，泰勒公式，函数的升降、凸性与极 值，平面曲线的曲率 教学重点：（1）理解中值定理及几何意义，掌握三个中值定理的证明方法，能应用中值定理证明某些有关 的命题；（2）掌握常用初等函数的泰勒公式，会进行近似计算并估计误差；（3）掌握函数的升降、凸性 与极值的判定方法，求解函数作图及实际应用问题；（5）熟练应用罗比塔法则计算极限。 §1. 中值定理 一、费尔马（Format）定理 二、拉格朗日（Lagrange）定理 §2. 泰勒公式 一、利用导数作近似计算 二、泰勒（Taylor）公式 §3. 函数的升降、凸性与极值 一、函数的上升与下降 二、函数的极大值与极小值 三、函数的最大值与最小值 四、函数的凸性 §4. 平面曲线的曲率 一、曲线的曲率
弧长的微分 、曲率的计算 §5.待定型 、0/0待定型 其他待定型 *§6.方程的近似解 第六章不定积分(10学时) 积分法是微分法的逆运算。本章讲的是不定积分的概念与运算法则,不定积分换元法和分部积分法,求有 理函数与部分无理函数不定积分的方法。教学重点:(1)理解并掌握原函数与不定积分的关系及其几何意 义:(2)掌握不定积分的线性运算法则,能熟练运用基本积分表中的公式:(3)熟练掌握换元积分法, 分部积分法并能解决求积问题;(4)掌握特殊类型的初等函数的积分。如有理函数的积分、三角函数有理 式的积分及某些无理函数的积分。 §1.不定积分的概念及运算法则 一、不定积分的定义 不定积分的基本公式 不定积分的运算法则 §2.不定积分的计算 “凑”微分法
二、弧长的微分 三、曲率的计算 §5. 待定型 一、0/0 待定型 二、其他待定型 *§6. 方程的近似解 第六章 不定积分（10 学时） 积分法是微分法的逆运算。本章讲的是不定积分的概念与运算法则，不定积分换元法和分部积分法，求有 理函数与部分无理函数不定积分的方法。教学重点：（1）理解并掌握原函数与不定积分的关系及其几何意 义；（2）掌握不定积分的线性运算法则，能熟练运用基本积分表中的公式；（3）熟练掌握换元积分法， 分部积分法并能解决求积问题；（4）掌握特殊类型的初等函数的积分。如有理函数的积分、三角函数有理 式的积分及某些无理函数的积分。 §1. 不定积分的概念及运算法则 一、不定积分的定义 二、不定积分的基本公式 三、不定积分的运算法则 §2. 不定积分的计算 一、“凑”微分法
换元积分法 、分部积分法 四、有理函数积分法 五、其他类型的积分举例 第七章定积分(20学时) 本章介绍定积分概念、可积条件,定积分的性质及计算方法:介绍微积分学理论中最重要的成果一微积分 基本定理。教学重点:(1)理解定积分的概念及定积分存在的充要条件。(2)掌握可积函数类。(3)掌 握定积分的第一中值定理及牛顿一莱布尼兹公式。(4)掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 §1.定积分概念 §2.定积分存在条件 积分存在的充分必要条件 可积函数类 §3.定积分的性质 4.定积分计算 、定积分计算的基本公式 定积分的换元公式 三、定积分的分部积分公式
二、换元积分法 三、分部积分法 四、有理函数积分法 五、其他类型的积分举例 第七章 定积分(20 学时) 本章介绍定积分概念、可积条件，定积分的性质及计算方法；介绍微积分学理论中最重要的成果—微积分 基本定理。教学重点：（1）理解定积分的概念及定积分存在的充要条件。（2）掌握可积函数类。（3）掌 握定积分的第一中值定理及牛顿－莱布尼兹公式。（4）掌握定积分的换元积分法和分部积分法。 §1. 定积分概念 §2. 定积分存在条件 一、积分存在的充分必要条件 二、 可积函数类 §3. 定积分的性质 §4. 定积分计算 一、定积分计算的基本公式 二、定积分的换元公式 三、定积分的分部积分公式
四、杂例 *五、椭圆积分 第八章定积分的应用和近似计算(8学时) 本章介绍定积分的几个重要应用一求面积,体积,弧长,曲率,压力,功及中心等:并介绍解决实际问题 的基本思路。教学重点:(1)掌握定积分的几何应用—平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体的体积和 侧面积、平行截面己知的立体体积:(2)物理应用—一质量、功、引力、压力。 §1.平面图形面积 §2.曲线的弧长 §3.体积 4.旋转曲面的面积 §5.质心 §6.平均值、功 、平均值 第九章数项级数(24学时) 本章介绍上、下极限及其性质,数项级数及其敛散性概念,级数的基本性质,正项级数的判别法,任意项 级数的判别法。教学重点:(1)理解上极限与下极限的概念及其性质,会求上、下极限:(2)理解敛散 性概念、级数收敛的性质,熟练求一些级数的和:(3)熟练利用正项级数的收敛原理,比较判别法, Cauchy
四、杂例 *五、椭圆积分 第八章 定积分的应用和近似计算（8 学时） 本章介绍定积分的几个重要应用---求面积，体积，弧长，曲率，压力，功及中心等；并介绍解决实际问题 的基本思路。教学重点：（1）掌握定积分的几何应用---平面图形面积、平面曲线弧长、旋转体的体积和 侧面积、平行截面已知的立体体积；（2）物理应用---质量、功、引力、压力。 §1. 平面图形面积 §2. 曲线的弧长 §3. 体积 §4. 旋转曲面的面积 §5. 质心 §6. 平均值、功 一、平均值 二、功 第九章 数项级数（24 学时） 本章介绍上、下极限及其性质，数项级数及其敛散性概念，级数的基本性质，正项级数的判别法，任意项 级数的判别法。教学重点：（1）理解上极限与下极限的概念及其性质，会求上、下极限；（2）理解敛散 性概念、级数收敛的性质，熟练求一些级数的和；（3）熟练利用正项级数的收敛原理，比较判别法，Cauchy