第十四章偏导数与全微分 §1.偏导数与全微分的概念 1.求下列函数的偏导数 (1)l=x2ln(x2+y2) (2)u=(x+y)cos(xy): ()u=arctan- (4)l=xy+-; (5)u=xye Sin ,x2+y2≠0 f(x, y) 0. 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3.证明函数 在(,0)点连续但偏导数不存在 4.求下列函数的全微分 (1)= (2)u=xe-+e+y 5.求下列函数在给定点的全微分: x (1) 在点(1,0)和(0,1) (2)l=ln(x+y2)在点(0,1)和(1,1) (3)=,-在点(11) 第1页共11页
第 1 页 共 11 页 第十四章 偏导数与全微分 §1. 偏导数与全微分的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) 2 2 2 u x x y = + ln( ) ； (2) u x y xy = + ( )cos( ) ； (3) arctan x u y = ； (4) x u xy y = + ； (5) sin( ) xy u xye = ； (6) y x u x y = + . 2．设 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0, ( , ) 0, 0. y x y f x y x y x y + = + + = 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数 2 2 u x y = + 在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分： (1) 2 2 2 u x y z = + + ； (2) yz x u xe e y − = + + . 5．求下列函数在给定点的全微分： (1) 2 2 x u x y = + 在点(1,0)和(0,1)； (2 ) 2 u x y = + ln( ) 在点(0,1)和(1,1)； (3) x u y = 在点(1,1,1)；
(4)n=x+(y-l) arcsin,X在点(0,1) 6.考察函数∫(x,y)在(0,0)点的可微性,其中 xvsin x2+y2≠0, 0 7.证明函数 y +y2≠0, 在(0,0)点连续且偏导数存在,但在此点不可微。 8.证明函数 (x+y)sin 0 的偏导数存在,但偏导数在(0.0)点不连续,且在(0,0)点的任何邻域中无界,而∫在原点(0,0) 可微 f(x,y)=x+p2x2+y2≠0 证明一和在(00点连续 ay 10.设 1-ex2y2) f(x,y)=x'+y 证明∫(x,y)在(0,0)点可微,并求d(0,0) 11.设 x2+y2≠0, f(x,y)= 第2页共11页
第 2 页 共 11 页 (4) ( 1)arcsin x u x y y = + − 在点（0，1）. 6．考察函数 f x y ( , ) 在(0,0)点的可微性，其中 2 2 2 2 2 2 1 sin , 0, ( , ) 0, 0. xy x y f x y x y x y + = + + = 7．证明函数 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + = + + = 在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微。 8．证明函数 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( )sin , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + + = + + = 的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而 f 在原点(0,0) 可微。 9．设 2 2 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x y x y f x y x y x y + = + + = 证明 f x 和 f y 在(0,0)点连续. 10．设 2 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 , 0, ( , ) 0, 0. x x y e x y f x y x y x y − + = + + = 证明 f x y ( , ) 在(0,0)点可微，并求 df (0,0). 11．设 3 2 2 2 2 2 2 , 0, ( , ) 0, 0. x x y f x y x y x y + = + + =
(1)x=x(),y=y()是通过原点的任意可微曲线(即x2(0)+y2(0)=0,t≠0时, x2()+y2()≠0,x(1)、y()可微)求证f(x(t),y()可微 (2)f(x,y)在(0,0)不可微 12.设xy很小,利用全微分推出下列各式的近似公式 (1)(1+x)(1+y)” x+ y (2)arctan 13.设u=f(x,y)在矩形:a<x<b,c<y<d内可微,且全微分dh恒为零,问f(x,y) 在该矩形内是否应取常数值?证明你的结论 14.设在(xny)存在,在(x0,y)连续,求证f(x,y)在(x02y)可微 5.求下列函数的所有二阶偏导数 (2)l=xy+ x ()u=xsin(x+y)+ycos(x+y): 16.求下列函数指定阶的偏导数: (1)=xsiy+ysm,、 (2)u= arctan 求所有三阶偏导数 xy (3)u=sin(x2+y2),求 a'u 0u (4)u=xyze x+1+二 OxO.a (x≠y),求 第3页共11页
第 3 页 共 11 页 (1) x x t y y t = = ( ), ( ) 是通过原点的任意可微曲线（即 2 2 x y t (0) (0) 0; 0 + = 时， 2 2 x t y t x t ( ) ( ) 0, ( ) + 、 yt() 可微）.求证 f x t y t ( ( ), ( )) 可微. (2) f x y ( , ) 在(0,0)不可微. 12．设 x y , 很小，利用全微分推出下列各式的近似公式： (1) (1 ) (1 ) ; m n + + x y (2) arctan 1 x y xy + + . 13．设 u f x y = ( , ) 在矩形： a x b c y d , 内可微，且全微分 du 恒为零，问 f x y ( , ) 在该矩形内是否应取常数值？证明你的结论. 14．设 f x 在 0 0 ( , ) x y 存在， f y 在 0 0 ( , ) x y 连续，求证 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 可微. 15．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) 2 2 u x y = + ln ； (2) y u xy x = + ； (3) u x x y y x y = + + + sin( ) cos( ) ； (3) xy u e = . 16．求下列函数指定阶的偏导数： (1) 3 3 u x y y x = + sin sin ,求 6 3 3 u x y ； (2) arctan 1 x y u xy + = − ，求所有三阶偏导数； (3) 2 2 u x y = + sin( ),求 3 3 u x ， 3 3 u y ； (4) x y z u xyze + + = ,求 pqr p q r u x y z + + ； (5) x y u x y + = − ( ) x y ，求 m n m n u x y + ；
(6)u=In(ax+bv) t atu ax" ay 7.验证下列函数满足 a·2 (1)l=ln(x2+y2) (2)l=x2-y (3)u=e cos y (4)u=arctan 18.设函数u=(x+v(y),证明 oy 19.设/3,J,在点(x0,y)的某邻域内存在且在点(x,y)可微,则有 f(x0,%)=fx(x,y) §2.求复合函数偏导数的链式法则 1.求下列函数的所有二阶偏导数: (1)u=f(ax, by): (2)u=f(x+y,x-y) (3)u=f(xy2,x2y) (4)a=f(-,); (5)u=f(x2+y2+2) (6)u=f(x+y,x, 第4页共11页
第 4 页 共 11 页 (6) u ax by = + ln( ),求 m n m n u x y + . 17．验证下列函数满足 2 2 2 2 0 u u x y + = . (1) 2 2 u x y = + ln( ) ； (2) 2 2 u x y = − ； (3) cos x u e y = ； (4) arctan y u x = . 18．设函数 u x y = + ( ( )) ，证明 2 2 2 u u u u x x y y x = . 19．设 , x y f f 在点 0 0 ( , ) x y 的某邻域内存在且在点 0 0 ( , ) x y 可微，则有 0 0 0 0 ( , ) ( , ) xy yx f x y f x y = . §2. 求复合函数偏导数的链式法则 1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) u f ax by = ( , ) ； (2) u f x y x y = + − ( , ) ； (3) 2 2 u f xy x y = ( , ) ； (4) ( , ) x y u f y z = ； (5) 2 2 2 u f x y z = + + ( ) ； (6) ( , , ) x u f x y xy y = +
2.设z=,其中∫是可微函数,验证 fo ax y o 3.设v=-g(t c为常数,函数g二阶可导 a2v avav 1 a2v 证明 4.若函数f(x,y,z)对任意正实数t满足关系 f(tx, ty, t)=r"f(x,y, =) 则称∫(x,y,z)为n次齐次函数设∫(x,y,z)可微,试证明f(x,y,=)为n次齐次函数的充要 条件是 f.f.可 5.验证下列各式 (1)l=0(x2+y2),则 (2)u=y0(x2-y2),则 xul (3)u=xp(x+y)+yu(x+y),0u luau, a'u 0 axon ay (4)=x0(2)+0)8:sy2n,Qn.2au 6.设u=f(x,y)可微,在极坐标变换x= rose,y= raine 下,证明 这时称()2+(-)2是一个形式不变量 8.设函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程 第5页共11页
第 5 页 共 11 页 2．设 2 2 ( ) y z f x y = − ，其中 f 是可微函数，验证 2 1 1 z z z x x y y y + = . 3．设 1 ( ) r v g t r c = − ， c 为常数，函数 g 二阶可导， 2 2 2 r x y z = + + 。 证明 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v v v v 1 x y z c t + + = . 4．若函数 f x y z ( , , ) 对任意正实数 t 满足关系 ( , , ) ( , , ) n f tx ty tz t f x y z = ， 则称 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数.设 f x y z ( , , ) 可微，试证明 f x y z ( , , ) 为 n 次齐次函数的充要 条件是 ( , , ) f f f x y z nf x y z x y z + + = . 5．验证下列各式： (1) 2 2 u x y = + ( ) ,则 0 u u y x x y − = ； (2) 2 2 u y x y = − ( ),则 u u xu y x x y y + = ； (3) u x x y y x y = + + + ( ) ( ) ,则 2 2 2 2 2 2 0 u u u x x y y − + = ； (4) ( ) ( ) y y u x x x = + ,则 2 2 2 2 2 2 2 2 0 u u u x xy y x x y y + + = . 6．设 u f x y = ( , ) 可微，在极坐标变换 x r = cos ， y r = sin 下，证明 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) z z z z x y u v + = + . 这时称 2 2 ( ) ( ) z z x y + 是一个形式不变量. 8．设函数 u f x y = ( , ) 满足拉普拉斯方程
a2u a 0, ax ay au a21 证明在下列变换下形状保持不变,即仍有2+ as at (1)x s"+t S-+1 (2)x=e cost, y=e sint: (3)x=0(s0)y=v(s)满足=,=y,这组方程称为柯西一黎曼方程 9.作自变量的变换,取5,n,5为新自变量: (1)5=x门=x2+y2,变换方程y-x=0 (2)5=x=y-x5=2-x,变换方程2+如+an 10.作自变量和因变量的变换,取u,v为新的自变量,=w(u,v)为新的因变量: (1)设n=x+y,”=2,w=三,变换方程 × a2: (2)设≈,=x,=x-y,变换方程 求下列方程所确定的函数z=f(x,y)的一阶和二阶偏导数 (1) (2)x+y+z=e (3)xyz=x+y+=: (4)x2+y2+2-2x+2y-4z-5=0 12.求由下列方程所确定的函数的全微分c (1)z=f(x,=-y) 第6页共11页
第 6 页 共 11 页 2 2 2 2 0 u u x y + = ， 证明在下列变换下形状保持不变，即仍有 2 2 2 2 0 u u s t + = . (1) 2 2 s x s t = + , 2 2 t y s t = + ； (2) cos , sin s s x e t y e t = = ； (3) x s t y s t = = ( , ), ( , ) 满足 , s t t s = = − .这组方程称为柯西－黎曼方程. 9．作自变量的变换，取 , , 为新自变量： (1) 2 2 = = + x x y , ,变换方程 0 z z y x x y − = ； (2) = = − = − x y x z x , , ,变换方程 0 uuu x y z + + = . 10．作自变量和因变量的变换，取 u v, 为新的自变量， w w u v = ( , ) 为新的因变量： (1) 设 , , y z u x y v w x x = + = = ，变换方程 2 2 2 2 2 2 0 z z z x x y y − + = ； (2) 设 , , x u v x w xz y y = = = − ，变换方程 2 2 2 2 z z y y y x + = . 11．求下列方程所确定的函数 z f x y = ( , ) 的一阶和二阶偏导数： (1) 2 0 xy x e z e − − + = ； (2) x y z x y z e + + + + = ； (3) xyz x y z = + + ； (4) 2 2 2 x y z x y z + + − + − − = 2 2 4 5 0. 12．求由下列方程所确定的函数的全微分 dz ； (1) z f xz z y = − ( , ) ；
(2)F(x-y,y-z,-x)=0 (3)f(x+y+z,x2+y2+2)=0; (4)f(x,y)+g(y,z)=0 13.设z=(x,y)由方程x2+y2+z2=yf(-) 所确定,证明(x2-y2-2)=+2N2x 14.设z=x2+y2,其中y=f(x)为由方程x2-xy+y2=1所确定的隐函数,求和 d22 15.设u=x2+y2+x2,其中z=f(x,y)为由方程x3+y2+z3=3x所确定的隐函数, au a-1 §3.由方程(组)所确定的函数的求导法 1.求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数: y 2,d止 a (1) 求 (2) y-v-x=0, u2-v=3x+y,求 l-2y2=x-2y, u=xy2 a2u (4) 求 2.下列方程组定义二为x,y的函数,求一, 第7页共11页
第 7 页 共 11 页 (2) F x y y z z x ( , , ) 0 − − − = ； (3) 2 2 2 f x y z x y z ( , ) 0 + + + + = ； (4) f x y g y z ( , ) ( , ) 0 + = . 13．设 z z x y = ( , ) 由方程 2 2 2 ( ) z x y z yf y + + = 所确定，证明 2 2 2 ( ) 2 2 z z x y z xy xz x y − − + = 。 14．设 2 2 z x y = + ，其中 y f x = ( ) 为由方程 2 2 x xy y − + =1 所确定的隐函数，求 dz dx 和 2 2 d z dx . 15．设 2 2 2 u x y z = + + ，其中 z f x y = ( , ) 为由方程 3 3 3 x y z xyz + + = 3 所确定的隐函数， 求 u x ， 2 2 u x . §3. 由方程（组）所确定的函数的求导法 1. 求下列方程组所确定的函数的导数和偏导数： (1） 2 2 2 2 2 , , x y z a x y ax + + = + = 求 , dy dz dx dx ； (2) 2 2 2 0, 0, x u yv y v xu − − = − − = 求 , , , u v u v x x y y ； (3) 2 2 3 , 2 2 , u v x y u v x y − = + − = − 求 , , , u u v v x y x y ； (4) 2 2 2 , 1, u xyz x y z = + + = 求 2 2 2 2 2 , , u u u x y x y . 2. 下列方程组定义 z 为 x y, 的函数，求 z x ， z y
x= cos 8 cos o, x=u+y (1)y=cos sin (2){y=u2+y sin e 2=l+1 §4.空间曲线的切线与法平面 1.求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“ (1)x=asin2t,y= bint cos t,z=ccos2t,在点t= (2)2x2+3y2+2=9,2=3x2+y2,在点(11,2) (3)x2+y2+2=6,x+y+z=0,在点(1,2,1) (4)x=t-cosl,y=3+sin2,2=1+cos3,在点/= 2.证明曲线x= ae cost,y= ae sint,z=ue在锥面x2+y2=z2的母线相交成同 角度 3.求平面曲线x23+y23=a2(a>0)上任一点的切线方程,并证明这些切线被坐标 轴所截取的线段等长 4.求两曲面 F(x,y,=)=0,G(x,y,=)=0 的交线在Oxy平面上的投影曲线的切线方程 §5.曲面的切平面与法线 1.求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程 (1)y- 0,在点(1,1,2); 1在点( (3)z=2x2+4y2在点(2,112) (4)x= u COS1,y= uSIng,z=a在点B0(u0,v) 第8页共11页
第 8 页 共 11 页 (1) cos cos , cos sin , sin ; x y z = = = (2) 2 2 3 3 , , . x u v y u v z u v = + = + = + §4. 空间曲线的切线与法平面 1． 求下列曲线在所示点处的切线方程和法平面方程“ (1) 2 2 x a t y b t t z c t = = = sin , sin cos , cos ,在点 4 t = ； (2) 2 2 2 2 2 2 2 3 9, 3 x y z z x y + + = = + ,在点(1,-1,2)； (3) 2 2 2 x y z x y z + + = + + = 6, 0 ,在点(1,-2,1)； (4) 2 x t t y t z t = − = + = + cos , 3 sin , 1 cos3 ,在点 2 t = . 2． 证明曲线 cos , sin , t t t x ae t y ae t z ae = = = 在锥面 2 2 2 x y z + = 的母线相交成同一 角度. 3． 求平面曲线 2/3 2/3 2/3 x y a a + = ( 0) 上任一点的切线方程，并证明这些切线被坐标 轴所截取的线段等长. 4． 求两曲面 F x y z G x y z ( , , ) 0, ( , , ) 0 = = 的交线在 Oxy 平面上的投影曲线的切线方程. §5. 曲面的切平面与法线 1. 求下列曲面在所示点处的切平面方程和法线方程： (1) 2 0 x z y e − − = ，在点（1,1,2）； (2) 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 在点 ( , , ) 333 a b c ； (3) 2 2 z x y = + 2 4 在点(2,1,12)； (4) x u v y u v z av = = = cos , sin , 在点 0 0 0 P u v ( , )
2.求曲面x2+2y2+3x2=21的切平面,使它平行于平面x+4y+6z=0 3.证明:曲面F(x-a,y-bz)=0的切平面与某一定直线平行,其中a,b为常数 4.证明曲面z=xe”的每一切平面都通过原点 §6.方向导数和梯度 1.设∫(x,y,z)=x+y2+-3,求∫在点B(11沿到点l=(2,-2,1)的方向导数 2.求函数=xz在点A(5,,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB上的方向导数 (1)u=ln(x2+y2),(x,yb)=(1),l与x轴正向的夹角为60° (2)=xe,(x0,y)=(,1),与向量(l,1)同向 4.设函数f(x,y)在(x0,y)可微,单位向量l=( (x,y)_;(x2y) =0,确定l使得 l (x,y) √2 5.设∫在B(2,0)可微,f(x,y)在P指向P=(2,-2)的方向导数是1,指向原点的 方向导数是一3,试回答 (1)指向P=(2,1)的方向导数是多少? (2)指向B=(3,2)的方向导数是多少? §7.泰勒公式 1.写出下列函数在指定点的泰勒公式 (1)f(x,y)=2x2-y-y2-6x-3y+5,在(1,2)点 第9页共11页
第 9 页 共 11 页 2. 求曲面 2 2 2 x y z + + = 2 3 21 的切平面，使它平行于平面 x y z + + = 4 6 0 . 3. 证明：曲面 F x az y bz ( , ) 0 − − = 的切平面与某一定直线平行，其中 a b, 为常数. 4. 证明曲面 x y z xe = 的每一切平面都通过原点. §6. 方向导数和梯度 1. 设 2 3 f x y z x y z ( , , ) = + + ，求 f 在点 0P (1,1,1) 沿到点 l = − (2, 2,1) 的方向导数. 2. 求函数 u xyz = 在点 A(5,1, 2) 处沿到点 B(9,4,14) 的方向 AB 上的方向导数 3. 求 ( ) 0, 0 x y u l ： (1) 2 2 u x y = + ln( )， 0 0 ( , ) (1,1) x y = ，l 与 x 轴正向的夹角为 60 ； (2) xy u xe = , 0 0 ( , ) (1,1) x y = , l 与向量 (1,1) 同向. 4. 设函数 f x y ( , ) 在 0 0 ( , ) x y 可微，单位向量 1 1 1 ( , ) 2 2 l = ， 2 1 1 ( , ) 2 2 l = − ， 0 0 1 ( , ) 1 f x y l = ， 0 0 2 ( , ) 0 f x y l = ，确定 l 使得 0 0 ( , ) 7 5 2 f x y l = . 5. 设 f 在 0P (2,0) 可微， f x y ( , ) 在 P0 指向 1P = − (2, 2) 的方向导数是 1，指向原点的 方向导数是－3，试回答： (1) 指向 2P = (2,1) 的方向导数是多少？ (2) 指向 3P = (3,2) 的方向导数是多少？ §7. 泰勒公式 1. 写出下列函数在指定点的泰勒公式： (1) 2 2 f x y x xy y x y ( , ) 2 6 3 5 = − − − − + ，在(1,-2)点
(2)f(x,y)=x2+xy+y2+3x-2y+4,在(11)点 2.求函数∫(x,y)=一在(1,1)点邻域的n阶带拉格朗日余项的泰勒公式 3.求函数f(x,y)=与在(1,1)点邻域的二阶泰勒公式,并写出拉格朗日余项 4.求下列函数在(0,0)点邻域的四阶泰勒公式 (1)f(x,y)=sin(x2+y2) (2)f(x,y)=eln(1+y); (3)f(x,y)=√+x2+ (4)f(x, y)=e y 5.证明泰勒公式的唯一性:若∑Axy+o(")=0(→>0),其中p= 求证A=0(j为非负整数,t+j=0,1…,n),并利用唯一性求 ∫(x,y)=ln(1+x+y)带拉格朗日余项的n阶泰勒展开式 6.通过对∫(x,y)= SIn x y用中值定理,证明存在b∈(0,1),使 =-COS- COS sin 7.设f(x,y)在区域D内有偏导数存在,且f2(x,y)=J(x,y)≡0证明f(x,y)在D 为常数 8.若(y是很小的量,导出下列函数准确到二次项的近似公式: COS x (2)arctan 1+x+y cOs 9.设函数∫(x,y)有直到n阶连续偏导数,试证u(t)=f(a+ht,b+kr)的n阶导数 u(0=(h+k"f(a+k, b+k) 设f(x,y)为n次齐次函数,证明 第10页共11页
第 10 页 共 11 页 (2) 2 2 f x y x xy y x y ( , ) 3 2 4 = + + + − + ，在(-1,1)点. 2. 求函数 ( , ) x f x y y = 在(1,1)点邻域的 n 阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 3. 求函数 2 2 ( , ) y f x y x = 在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式，并写出拉格朗日余项. 4. 求下列函数在 (0,0) 点邻域的四阶泰勒公式： (1) 2 2 f x y x y ( , ) sin( ) = + ； (2) ( , ) ln(1 ) x f x y e y = + ； (3) 2 2 f x y x y ( , ) 1 = + + ; (4) ( , ) cos x f x y e y = 。 5． 证明泰勒公式的唯一性：若 0 ( ) 0 n i i n ij i j A x y + = + = ( 0) → ，其中 2 2 = + x y . 求 证 0 Aij = （ i j , 为非负整数， i j + = 0,1, … , n ）， 并 利 用 唯 一 性 求 f x y x y ( , ) ln(1 ) = + + 带拉格朗日余项的 n 阶泰勒展开式. 6． 通过对 f x y x y ( , ) sin cos = 用中值定理，证明存在 (0,1) ，使 3 cos cos sin sin 4 3 3 6 6 3 6 = − . 7． 设 f x y ( , ) 在区域 D 内有偏导数存在，且 ( , ) ( , ) 0 x y f x y f x y = .证明 f x y ( , ) 在 D 为常数. 8． 若 x y , 是很小的量，导出下列函数准确到二次项的近似公式： (1) cos cos x y ； (2) 1 arctan 1 x y xy + + − . 9． 设函数 f x y ( , ) 有直到 n 阶连续偏导数，试证 u t f a ht b kt ( ) ( , ) = + + 的 n 阶导数 ( ) ( ) ( ) ( , ) n n u t h k f a kt b kt x y = + + + . 10． 设 f x y ( , ) 为 n 次齐次函数，证明