《线性代数》第三章 矩阵的初等变换与线性方程组习题

第三章矩阵的初等变换与线性方程组 1.把下列矩阵化为行最简形矩阵: 02-3 (1)|203 43 304-3 0 3432 7-1 1-3 3-35-41 0-2-4 3) 2132 3-34-2 3743 102-1z2+(-2)1(102 解(1)|203 304-3/+(-3 1(00-20 r2÷(-1)(102-1)3-2(102-1 001-3 001-3 r3÷(-2) 0003 r÷3(102-1+373(102 001-3 0010 0001 000 r+(-2)z2(1000 0010 十F2 000 r2×2+(-3)1(02-3 (2)03-43 04-7 r+(-2)(00-1-3 了+F2 02010)r1÷2(0105 0013 r1+3r 0000 0000

1 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 1．把下列矩阵化为行最简形矩阵： (1)           − − 3 0 4 3 2 0 3 1 1 0 2 1 ; (2)           − − − − 0 4 7 1 0 3 4 3 0 2 3 1 ; (3)               − − − − − − − − − 3 3 4 2 1 2 2 3 2 0 3 3 5 4 1 1 1 3 4 3 ; (4)               − − − − − − 2 3 7 4 3 3 2 8 3 0 1 2 0 2 4 2 3 1 3 7 . 解 (1)           − − 3 0 4 3 2 0 3 1 1 0 2 1 3 1 2 1 ( 3) ( 2) ~ r r r r + − + −           − − − 0 0 2 0 0 0 1 3 1 0 2 1 ( 2) ( 1) 3 2 ~  −  − r r           − − 0 0 1 0 0 0 1 3 1 0 2 1 3 2 ~ r −r           − − 0 0 0 3 0 0 1 3 1 0 2 1 3 3 ~ r            − − 0 0 0 1 0 0 1 3 1 0 2 1 2 3 3 ~ r + r           − 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 1 1 3 1 2 ( 2) ~ r r r r + + −           0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 (2)           − − − − 0 4 7 1 0 3 4 3 0 2 3 1 3 1 2 1 ( 2) 2 ( 3) ~ r r r r + −  + −           − − − 0 0 1 3 0 0 1 3 0 2 3 1 1 2 3 2 3 ~ r r r r + +           0 0 0 0 0 0 1 3 0 2 0 10 2 1 ~ r            0 0 0 0 0 0 1 3 0 1 0 5

3-35-41 00-48 2-23-20 r-2r00 36 6 231 r4-51 00-510-10 1-102-3 r2÷(-4) 00 22 12 001-22 001-2 00000 r÷(-5)(00 r2 00000 231-3-7 0-1111 12 0)Ar-2 3-2830 -320-889 12 2-3743 r-2r,(0 77811 020-2 r,+2r 1020-2 夕|01 1-1-1 r2-87100014r2x(-1)00 r-7r(00014 -3 000 020-2 rr 01-103 00000 11.试利用矩阵的初等变换,求下列方阵的逆矩阵:

2 (3)               − − − − − − − − − 3 3 4 2 1 2 2 3 2 0 3 3 5 4 1 1 1 3 4 3 4 1 3 1 2 1 3 2 3 ~ r r r r r r − − −               − − − − − − − − 0 0 5 10 10 0 0 3 6 6 0 0 4 8 8 1 1 3 4 3 ( 5) ( 3) ( 4) 4 3 2 ~  −  −  − r r r               − − − − − 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 0 0 1 2 2 1 1 3 4 3 4 2 3 2 1 2 3 ~ r r r r r r − − −               − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 1 1 0 2 3 (4)               − − − − − − 2 3 7 4 3 3 2 8 3 0 1 2 0 2 4 2 3 1 3 7 4 2 3 2 1 2 2 3 2 ~ r r r r r r − − −               − − − − − 0 7 7 8 11 0 8 8 9 12 1 2 0 2 4 0 1 1 1 1 4 1 3 1 2 1 7 8 2 ~ r r r r r r − − +               − − 0 0 0 1 4 0 0 0 1 4 1 0 2 0 2 0 1 1 1 1 4 3 2 1 2 ( 1) ~ r r r r r −  −                − − − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 1 1 1 1 1 0 2 0 2 2 3 ~ r +r               − − 0 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 1 1 0 3 1 0 2 0 2 11．试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵：

0 1030 解(1)315010 110 32300 002-10 0 300 0 10 002 00 0 乙-I乙乙-6 023 3 0 0 2 故逆矩阵为 611-20 3010 22 100 010 0 3 1000 0/0 29 0001000 5 001000 00010001 3 2 00 0 2 100 3

3 (1)           3 2 3 3 1 5 3 2 1 ; (2)               − − − − − 0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1 . 解 （1）           0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 2 3 3 1 5 3 2 1           − − − 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 2 0 1 4 3 2 1 ~               − − − − 1 0 1 1 1 2 2 1 0 2 3 0 0 2 0 1 0 3 2 0 ~               − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 9 2 2 7 0 0 1 0 1 0 3 0 0 ~               − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 3 3 2 6 7 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ~ 故逆矩阵为               − − − − 2 1 0 2 1 1 1 2 2 3 3 2 6 7 (2)               − − − − − 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 2 1 1 2 3 2 0 2 2 1 3 2 0 1               − − − − 0 1 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 2 1 0 4 9 5 0 1 2 1 1 2 3 2 ~               − − − − − − − − 0 1 0 2 1 0 3 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 ~

1-2-3-20010 01210001 001110-3-4 000121-6-10 1-200-1-1-2-2 010000 0010-1-136 000121-6-10 100011-2-4 0100010 0010-1-136 000121-6-10 2 010 故逆矩阵为 21 12.(1)设A=221B=22|,求X使A 3-1 021 (2)设A=2-13B 求X使XA=B 2-3 33-4 解 41-21-3)初等行变换10010 (1)(AB)=22122 010-15-3 001124 102 X=4-B 15-3

4               − − − − − − − 2 1 6 10 1 0 3 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 2 3 2 ~               − − − − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1` 0 1 1 1 2 2 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 ~               − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1 0 1 1 1 2 4 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 ~ 故逆矩阵为               − − − − − − − 2 1 6 10 1 1 3 6 0 1 0 1 1 1 2 4 12．(1) 设           − − =           − − = 3 1 2 2 1 3 , 3 1 1 2 2 1 4 1 2 A B ,求 X 使 AX = B ; (2) 设         − =           − − = − 2 3 1 1 2 3 , 3 3 4 2 1 3 0 2 1 A B ,求 X 使 XA = B. 解 (1) ( )           − − − − = 3 1 2 2 1 3 3 1 1 2 2 1 4 1 2 A B 初等行变换 ~           − − 12 4 15 3 10 2 0 0 1 0 1 0 1 0 0            = = − − − 12 4 15 3 10 2 1 X A B

02 00 2-13 010 初等列变换 001 B 2 1-1 2-31 474 X=BA-1=/2-1

5 (2)                     − − − −  =      2 3 1 1 2 3 3 3 4 2 1 3 0 2 1 B A 初等列变换 ~                     − − − 4 7 4 2 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0         − − −  = = − 4 7 4 2 1 1 1 X BA ．