第十九章积分(二重、三重积分,第一类 曲线、曲面积分)的定义和性质 §1.二重积分、三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 1.对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质 2.设有一质量分布不均匀的半圆弧x= rose,y=rsin(0≤b≤丌),其线密度 p=aO(a为常数),求它对原点(0,0)处质量为m的质点的引力 3.计算球面三角形x2+y2+z2=a2,x>0,y>0,z>0的围线的重心坐标,设线密 度p=1 求均匀球壳x2+y2+z2=a2(z20)对z轴的转动惯量 5.求均匀球面z (x≥0,y≥0,x+y≤a)的重心坐标 6.求密度p=P0的截圆锥面x= rcos go,y= rsin g,z=r(0≤≤2x,00时,结果如何? §2.积分的性质 证明有界闭区域上的连续函数必可积. 2.设Ω是可度量的平面图形或空间立体,∫,g在Ω上连续,证明 ()若在上f(P)≥0,且f(P)不恒等于0,则f(P)g>0 (2)若在Ω的任何部分区域Ωc9上,有 「nf(P)dg=[2g(P)g, 则在Ω2上有∫(P)≡g(P) 第1页共2页
第 1 页 共 2 页 第十九章 积分（二重、三重积分，第一类 曲线、曲面积分）的定义和性质 §1. 二重积分、三重积分、 第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念 1． 对照重积分的基本性质写出第一型曲线积分和第一型曲面积分的类似性质． 2． 设有一质量分布不均匀的半圆弧 x r y r = = cos , sin (0 ) ，其线密度 = a ( a 为常数)，求它对原点(0，0)处质量为 m 的质点的引力． 3． 计算球面三角形 2 2 2 2 x y z a + + = ， x y z 0, 0, 0 的围线的重心坐标．设线密 度 =1． 4． 求均匀球壳 2 2 2 2 x y z a + + = ( 0) z 对 z 轴的转动惯量． 5． 求均匀球面 2 2 2 z a x y = − − ( 0, 0, ) x y x y a + 的重心坐标． 6． 求密度 = 0 的截圆锥面 x r y r z r b r a = = = cos , sin , (0 2 ,0 ) 对位于曲面顶点(0,0,0)的单位质点的引力．当 b →0 时，结果如何？ §2. 积分的性质 1. 证明有界闭区域上的连续函数必可积． 2. 设 是可度量的平面图形或空间立体， f g, 在 上连续，证明： (1) 若在 上 f P( ) 0，且 f P( ) 不恒等于 0，则 f P d ( ) 0 ； (2) 若在 的任何部分区域 ' 上，有 ' ' f P d g P d ( ) ( ) = ， 则在 上有 f P g P ( ) ( ) ．
3.设f(x)在ab可积,g(y)在cd可积,则f(x)g(y)在矩形区域D=[ab]×[cd] 上可积,且 f()g(y)dxdy=L f(x)dx g(y)dy 4.若f(x,y)在D上可积,那么∫(x,y)在D上是否可积?考察函数 f(x,y)= 若x,y是有理数, -1,若x,y至少有一个是无理数, 在0,1×[0,1上的积分 5.设D=[0][0], f(x,y) ∫1x是有理数 0.x是无理数, 证明f(x,y)在D上不可积 第2页共2页
第 2 页 共 2 页 3. 设 f x( ) 在[a,b]可积， g y( ) 在[c,d]可积，则 f x g y ( ) ( ) 在矩形区域 D ＝[a,b]×[c,d] 上可积，且 ( ) ( ) ( ) ( ) b d a c D f x g y dxdy f x dx g y dy = ． 4. 若 f x y ( , ) 在 D 上可积，那么 f x y ( , ) 在 D 上是否可积？考察函数 1, ( , ) 1, x y f x y x y = − 若 ， 是有理数, 若 ， 至少有一个是无理数, 在[0,1]×[0,1]上的积分． 5. 设 D = 0,1 0,1 ， 1, ( , ) 0, x f x y x = 是有理数， 是无理数， 证明 f x y ( , ) 在 D 上不可积．
