第四章导数与微分 §1.导数的引进与定义 1.试确定曲线y=nx在哪些点的切线平行于下列直线 (1)y=x-1 2x-3 设f(x)= ≥3 ax+6.x<3 试确定a,b的值,使f(x)在x=3处可导 3.求抛物线y=x2在A(1,1)点和B(-2,4)点的切线方程和法线方程 4.求下列曲线在指定点P的切线方程和法线方程 (1)y=,P(2,1) (2)y=cosx,P(0,1) (1)在t=1,t=1+M之间的平均速度(设△t=1,0.1,0.01) (2)在t=1的瞬时速度 §2.简单函数的导数 1.求下列函数的导函数 (1)f(x)= 「x+1,x≥0 (2)f(x)= x<0 第1页共11页
第 1 页 共 11 页 第四章 导数与微分 §1. 导数的引进与定义 1. 试确定曲线 y x = ln 在哪些点的切线平行于下列直线： （1） y x = −1 ； （2） y x = − 2 3． 2. 设 2 , 3 ( ) , 3, x x f x ax b x = + 试确定 a b, 的值，使 f x( ) 在 x = 3 处可导． 3. 求抛物线 2 y x = 在 A(1,1) 点和 B( 2,4) − 点的切线方程和法线方程． 4. 求下列曲线在指定点 P 的切线方程和法线方程： （1） 2 , (2,1) 4 x y P = ； （2） y x P = cos , (0,1) ． 5. 若 1 2 2 S vt gt = − ，求 （1）在 t t t = = + 1, 1 之间的平均速度（设 =t 1,0.1,0.01 ）； （2）在 =t 1 的瞬时速度． §2. 简单函数的导数 1. 求下列函数的导函数. （1） 3 f x x ( ) = ； （2） 1 0, ( ) 1 0; x x f x x + =
设g(0)=g(0)=0,f( g(x)sin 求∫( 3.证明:若∫(x0)存在,则 lim f(x+△x)-f(x0-△x) 2△ f∫(x) 4.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的函数,且对任意x,x2∈(-∞,+∞),有 f(x+x2)=f(x1)f(x2) 若f(O)=1,证明任意x∈(-∞,+∞),有f(x)=f(x) §3.求导法则 求下列函数的导函数: (2) 7x+6 y Inx-7 (5)y=4x+1-2x3 +5√x y +x+x 第2页共11页
第 2 页 共 11 页 2. 设 g g (0) '(0) 0 = = ， 1 ( )sin 0, ( ) 0 0. g x x f x x x = = 求 f '(0)． 3. 证明：若 0 f x'( ) 存在，则 0 0 0 0 ( ) ( ) lim '( ) x 2 f x x f x x f x → x + − − = ． 4. 设 f x( ) 是定义在 − + ( , ) 上的函数，且对任意 1 2 x x, ( , ) − + ，有 1 2 1 2 f x x f x f x ( ) ( ) ( ) + = . 若 f '(0) 1 = ，证明任意 x − + ( , ) ，有 f x f x '( ) ( ) = ． §3. 求导法则 1. 求下列函数的导函数： （1） 2 y x x = sin ； （2） 2 y x x x = + cos 3 ； （3） y x x x = − + tan 7 6 ； （4） 2 sin 7cos 5 x y e x x x = − + ； （5） 1 3 y x x 4 2 x = + − ； （6） 3 7 y x x 3 5 x = + + ； （7） 2 2 1 1 x y x + = − ； （8） 2 1 1 y x x = + + ； （9） (1 )(2 ) x y x x = − − ； （10） 1 1 1 1 y x x = − + − ；
y (13) x'In x (14)y=os 5)y=(x+=Inx xcosx-In x (16)y (17) x+ cosx (18) xsin x+ coS x xsinx- cos x (19) sInx 2.用对数求导法求下列函数的导函数: (2)y I-xV1+x+x (3)y=(x+√1+x2)” (5)y=xx,(x>0) (6)y=(1+x),(x>0); (7)y=x,(x>0); (8)y=amnx,(a>0) 3.设f(x)是对x可导的函数 第3页共11页
第 3 页 共 11 页 （11） 1 1 x y x + = − ； （12） 1 3 3 y x x = + ； （13） 3 1 ln n y x x x n = − ； （14） 4 cos 1 ln x y x x = ； （15） 1 y x x ( )ln x = + ； （16） cos ln 1 x x x y x − = + ； （17） 1 cos y x x = + ； （18） sin cos sin cos x x x y x x x + = − ； （19） 1 sin x xe y x − = ； （20） y x x x = sin ln ． 2. 用对数求导法求下列函数的导函数： （1） 1 1 x y x x − = + ； （2） 2 2 1 1 1 x x y x x x + = − + + ； （3） 2 ( 1 )n y x x = + + ； （4） ( 0) x y x x = ； （5） ln ( 0) x y x x = ； （6） 1 (1 ) ( 0) x y x x = + ； （7） tan ( 0) x y x x = ； （8） sin ( 0) x y a a = ． 3. 设 f x( ) 是对 x 可导的函数，求 dy dx ：
(1)y=f(x2) (2)y=f(e2)e(x (3)y=f(f(f(x)) §4.复合函数求导法 求下列复合函数的导函数: (1)y=(x2-4) (2)y=x(a2+x2)a2-x2 √a2- (4)y (5) y=In(In x): (7)y=lmx+Ⅷa2+x2) (8)y=In tan-: (9)y=cos(cos√x) (10)y=cos'x-cos 3x y (12)y=arcsin(sin x cos x): (13)y=arctan (14)y= 第4页共11页
第 4 页 共 11 页 （1） 2 y f x = ( ) ； （2） ( ) ( ) x f x y f e e = ； （3） y f f f x = ( ( ( ))) ． §4. 复合函数求导法 1. 求下列复合函数的导函数： （1） 3 3 y x = − ( 4) ； （2） 2 2 2 2 y x a x a x = + − ( ) ； （3） 2 2 x y a x = − ； （4） 3 3 3 1 1 x y x + = − ； （5） y x = ln(ln ) ； （6） 1 ln 2 a x y a x + = − ； （7） 2 2 y x a x = + + ln( ) ； （8） ln tan 2 x y = ； （9） y x = cos(cos ) ； （10） 3 y x x = − cos cos3 ； （11） 2 1 3 2 x y e − = ； （12） y x x = arcsin(sin cos ) ； （13） 2 2 arctan 1 x y x = − ； （14） 2 x x 2 y e − + = ；
(15)y=hn.(x+2)x+3) x+1 3 e sin ox (17)y (k,o为常数) (18)y=x√a2 (19)y=sin"xcosnx (20)y=ln 1+x+ 2.求下列函数的导函数: (1)y y=e“( cos bx+ sin bx) (2) y=arctan x-In(1+x) (3)y=arctan + arctan (4) y= arctan(tan x): (6)y=xVa-x+arcsin- (a>0) (7)y=xa2+x2+a x+Va+x(a>0) (8)y=In(arccos- (9)y=x+a+a(a>0) In 6x2-x+3 第5页共11页
第 5 页 共 11 页 （15） ( 2)( 3) ln 1 x x y x + + = + ； （16） 2 2 sin 3 2 x x y e x = + ； （17） sin ( , ) 1 kx e x y k x − = + 为常数 ； （18） 2 2 2 2 x y x a x a x = − + − ； （19） sin cos n y x nx = ； （20） 1 1 ln 1 1 x x y x x + − − = + + − ． 2. 求下列函数的导函数： （1） (cos sin ) ax y e bx bx = + ； （2） 1 2 arctan ln(1 ) 2 y x x x = − + ； （3） 2 2 1 1 2 arctan arctan 1 x x y x x − − = + − ； （4） 2 y x = arctan(tan ) ； （5） ( ) ( ) ( ) ( , 0) a b x x a b y a b b x a = ； （6） 2 2 2 arcsin ( 0) 2 2 x a x y a x a a = − + ； （7） 2 2 2 2 2 ln ( 0) 2 2 x a y a x x a x a = + + + + ； （8） 1 y ln(arccos ) x = ； （9） ( 0) a a x a x a y x a a a = + + ； （10） 2 2 1 ( 1) 1 2 1 ln arctan 6 1 3 3 x x y x x + − = + − + ．
3.设(x)和(x)是对x可求导的函数,求: 2( x): (2)y=arctan (v(x)≠0) y (x)(v(x)>0,(x)≠0) (4)y= logo)v(x)(v(x)>0,(x)>0,9(x)≠1) §5.微分及其运算 1.求下列函数的微分 (1) (2)y=xhnx-x 4)y=arcsin (5)y (6)y=In tan ( 2.设a,v是x的可微函数,求d (1)y=arctan-: (2)y=In u?+y2 (3)y=Insin(u+v): (4)y= u 3.求下列函数的微分 第6页共11页
第 6 页 共 11 页 3. 设 ( ) x 和 ( ) x 是对 x 可求导的函数，求 dy dx ： （1） 2 2 y x x = + ( ) ( ) ； （2） ( ) arctan ( ( ) 0) ( ) x y x x = ； （3） ( ) ( ) ( ( ) 0, ( ) 0) x y x x x = ； （4） ( ) log ( ) ( ( ) 0, ( ) 0, ( ) ) x y x x x x = ． §5. 微分及其运算 1. 求下列函数的微分： （1） 2 1 x y x = − ； （2） y x x x = − ln ； （3） 1 y x x ln x = + − ； （4） 2 y x = − arcsin 1 ； （5） 2 sin x y e = ； （6） ln tan( ) 2 4 x y = + ． 2. 设 u v, 是 x 的可微函数，求 dy ： （1） arctan u y v = ； （2） 2 2 y u v = + ln ； （3） y u v = + ln sin( ) ； （4） 2 2 1 y u v = + ． 3. 求下列函数的微分 dy ：
(1)y=sin t, t=In(3x+1) (2)y=In(3t+1), t=sin-x: (3) y=e, u=Int, t=x'-2x+5 (4) y=arctan, u=(nt), t=1+x-cot x 4.求下列函数在指定点的微分 (1)y=anx"+an-x"+…+a1x+ao,求dv(0),dv(1) (2)y=secx+tanx,求d(0,dy()和d(丌) (3)y=-arctan -, r dyo) dy(a) a (4)y=-+一,,求dy(0.1),d(0.01) §6.隐函数及参数方程所表示函数的求导法 1.求函数y=y(x)在指定点的导数: (1) y=cosx+sin y, (,0) (2)ye+lny=1,(0,1) (3)x=t-sint 处 (4) x=1-t2 处 2.求下列参数方程的导数: (1) x=sin t (2) y=cOS- I 第7页共11页
第 7 页 共 11 页 （1） 2 y t t x = = + sin , ln(3 1) ； （2） 2 y t t x = + = ln(3 1), sin ； （3） 3 3 1 , ln , 2 5 2 u y e u t t x x = = = − + ； （4） 2 2 y u u t t x x = = = + − arctan , (ln ) , 1 cot ． 4. 求下列函数在指定点的微分： （1） 1 1 1 0 n n n n y a x a x a x a − = + + + + − … ，求 dy dy (0), () ； （2） y x x = + sec tan ，求 (0), ( ) 4 dy dy 和 dy( ) ； （3） 1 arctan x y a a = ，求 dy dy a (0) ( ) ； （4） 2 1 1 y x x = + ，求 dy dy (0.1) (0.01) ． §6. 隐函数及参数方程所表示函数的求导法 1. 求函数 y y x = ( ) 在指定点的导数： （1） 1 cos sin ,( ,0) 2 2 y x y = + ； （2） ln 1, (0,1) x ye y + = ； （3） sin , , 1 cos 2 x t t t y t = − = = − 在 处 ； （4） 2 3 1 , 2 3 , , 2 3 x t t y t t = − = = − 在 处 ． 2. 求下列参数方程的导数： （1） 1 1 1 t x t t y t = + − = + ； （2） 2 2 sin cos x t y t = = ；
Ix=e cost Ly=esin t (4)x=a(In tan+ cost) v=asin t 3.ix=acost,y=asin't (2)证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数 4.求下列隐函数的导数 (1) a2+b2-1(ab为常数) (2)y2=2px(p为常数) a为常数); (4)x3+ (5)y=x+siny: 2 2 (6)x3+y3=a3(a为常数) (7)y=cos(x+y) (8)y=x+arctan: y (10) arctan ==In 5.证明:曲线 x=a(cost +tsint) 上任一点的法线到原点的距离恒等于a y=a(sint-t cost) 6.一个圆锥型容器,深度为10m,上面的顶圆半径为4m (1)灌入水时,求水的体积V对水面高度h的变化率 (2)求体积Ⅴ对容器截面圆半径R的变化率 第8页共11页
第 8 页 共 11 页 （3） 2 2 2 2 cos sin t t x e t y e t = = ； （4） (ln tan cos ) 2 sin t x a t y a t = + = ． 3. 设 3 3 x a t y a t = = cos , sin ． （1）求 y t '( ) ； （2）证明曲线的切线被坐标轴所截的长度为一个常数． 4. 求下列隐函数的导数 dy dx ： （1） 2 2 2 2 1 ( , ) x y a b a b + = 为常数 ； （2） 2 y px p = 2 ( ) 为常数 ； （3） 2 2 2 x xy y a a + + = ( ) 为常数 ； （4） 3 3 x y xy + − = 0 ； （5） 1 sin 2 y x y = + ； （6） 2 2 2 3 3 3 x y a a + = ( ) 为常数 ； （7） y x y = + cos( ) ； （8） y x y = + arctan ； （9） 1 ln( ) y y x y e = − + + ； （10） 2 2 arctan ln y x y x = + ． 5. 证明：曲线 (cos sin ) (sin cos ) x a t t t y a t t t = + = − 上任一点的法线到原点的距离恒等于 a ． 6. 一个圆锥型容器，深度为 10m，上面的顶圆半径为 4m. （1）灌入水时，求水的体积 V 对水面高度 h 的变化率； （2）求体积 V 对容器截面圆半径 R 的变化率．
§7.不可导的函数举例 1.设f(x)是偶函数,且f(0)存在,证明:f(0)=0 2.设f(x)是奇函数,且∫(x)=3,求∫(-x0) 3.用定义证明:可导的偶函数的导函数是奇函数,可导的奇函数的导函数是偶函数 xsln一 0 4.设函数f(x)= (m为正整数) 试问:(1)m等于何值时,f(x)在x=0连续; (2)m等于何值时,f(x)在x=0可导; (3)m等于何值时,∫(x)在x=0连续 §8.高阶导数与高阶微分 1.求下列函数的高阶导数: y=x nx,求 arcsin x (5)y=x5cosx,求y) (6)y=x 2.求下列函数在指定点的高阶导数 (1)f(x)=3x3+4x2-5x-9,求f"(1),f"(1),f“(1) (2)f(x)= 求f"(0),f"(1),f"(-1) 第9页共11页
第 9 页 共 11 页 §7. 不可导的函数举例 1. 设 f x( ) 是偶函数，且 f '(0) 存在，证明： f '(0) 0 = ． 2. 设 f x( ) 是奇函数，且 0 f x'( ) 3 = ，求 0 f x '( ) − . 3. 用定义证明：可导的偶函数的导函数是奇函数，可导的奇函数的导函数是偶函数． 4. 设函数 1 sin , 0 ( ) 0 , 0 m x x f x x x = = （m 为正整数）． 试问： （1）m 等于何值时， f x( ) 在 x = 0 连续； （2）m 等于何值时， f x( ) 在 x = 0 可导； （3）m 等于何值时， f x'( ) 在 x = 0 连续． §8. 高阶导数与高阶微分 1. 求下列函数的高阶导数： （1） y x x = ln ，求 y '' ； （2） 2 x y e − = ，求 y ''' ； （3） 2 2 , x y x e = 求 ( ) n y ； （4） 2 arcsin 1 x y x = − ，求 ( ) n y ； （5） 5 y x x = cos ，求 (50) y ； （6） 3 2 x x e e y x − − = ，求 (30) y ． 2. 求下列函数在指定点的高阶导数： （1） 3 2 f x x x x ( ) 3 4 5 9 = + − − ，求 (4) f f f ''(1) , '''(1), (1) ； （2） 2 ( ) , 1 x f x x = + 求 f f f ''(0), ''(1) , ''( 1) − ．
3.设f(x)的各阶导数存在,求y”及y" (1)y=f(x2); (3)y=f(e-x) (4)y=f(nx) 4.求下列函数的n阶导数 (1) (2)y=sin x (4) (5)y=l 5.求下列函数的n阶导数: (1) y (2)y=Inx 6.求下列函数的二阶微分: (2)y=xarctanx: (3)y=f(l)=e",l=(x)=x 求下列参数方程的二阶导数: (1) 第10页共11页
第 10 页 共 11 页 3. 设 f x( ) 的各阶导数存在，求 y '' 及 y '''． （1） 2 y f x = ( ) ； （2） 1 y f ( ) x = ； （3） ( ) x y f e− = ； （4） y f x = (ln ) ； （5） y f f x = ( ( ))． 4. 求下列函数的 n 阶导数： （1） 1 (1 2 ) y x x = − ； （2） 2 y x = sin ； （3） 1 2 8 y x x = − − ； （4） x e y x = ； （5） 2 ln 1 x y x + = − ； （6） 2 ln x y x = ． 5. 求下列函数的 n 阶导数： （1） x y a = ； （2） y x = ln ． 6. 求下列函数的二阶微分： （1） 1 y x = ； （2） y x x = arctan ； （3） 2 ( ) , ( ) u y f u e u x x = = = = ． 7. 求下列参数方程的二阶导数： （1） 2 3 2 3 x t t y t t = − = − ；