《数学分析(1,2,3)》教案 第六章不定积分 §1不定积分概念与运算法则 微分法的基本问题一一从已知函数求出它的导数:但在某些实际问题中,往往需要考虑与之相反的问 题一一求一个已知函数,使其导数恰好是某一已知函数一一这就是所谓的积分问题 原函数与不定积分 定义1设函数∫(x)与F(x)在区间/上有定义。若 F(x)=f(x), 则称F(x)为f(x)在区间/上的一个原函数。 sinx是cosx在R上的一个原函数;sinx+c等都是cox在R上的原函数一—若函数f(x)存在 原函数,则其原函数不是唯一的。 问题1f(x)在什么条件下必存在原函数?若存在,其个数是否唯一;又若不唯一,则有多少个? 问题2若函数f(x)的原函数存在,如何将它求出? 定理1设F(x)是f(x)在在区间/上的一个原函数,则(1)设F(x)+C是f(x)在在区间/上的原 函数,其中C为任意常量(若f(x)存在原函数,则其个数必为无穷多个)。(2)f(x)在I上的任何两个原 函数之间,只可能相差一个常数。 定义2函数f(x)在区间I上的原函数的全体称为f(x)在上的不定积分,记作 ∫(x)lhx 其中「-一积分号;f(x)--被积函数:f(x)x-被积表达式:x--积分变量 注:f(x)dx是一个整体记号 注:不定积分与原函数是总体与个体的关系,即若F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的不定积分是 个函数族{F(x)+C},其中C是任意常数,于是,记为:∫(x)=F(x)+C 此时称C为积分常数,它可取任意实数。故有 f(x)dx]=f(x)-—先积后导正好还原; ∫f(x)dx=f(x)+C—先导后积还原后需加上一个常数(不能完全还原)
《数学分析（1，2，3）》教案 6-1 第六章 不定积分 §1 不定积分概念与运算法则 微分法的基本问题——从已知函数求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问 题——求一个已知函数，使其导数恰好是某一已知函数——这就是所谓的积分问题。 一 原函数与不定积分 定义 1 设函数 f (x) 与 F(x) 在区间 I 上有定义。若 F(x) = f (x) ， xI ， 则称 F(x) 为 f (x) 在区间 I 上的一个原函数。 如： sin x 是 cos x 在 R 上的一个原函数； sin x c + 等都是 cos x 在 R 上的原函数——若函数 f (x) 存在 原函数，则其原函数不是唯一的。 问题 1 f (x) 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ 问题 2 若函数 f (x) 的原函数存在，如何将它求出？ 定理 1 设 F(x) 是 f (x) 在在区间 I 上的一个原函数，则（1）设 F(x) + C 是 f (x) 在在区间 I 上的原 函数，其中 C 为任意常量（若 f (x) 存在原函数，则其个数必为无穷多个）。（2） f (x) 在 I 上的任何两个原 函数之间，只可能相差一个常数。 定义 2 函数 f (x) 在区间 I 上的原函数的全体称为 f (x) 在 I 上的不定积分，记作： f (x)dx 其中 − − 积分号； f (x) − − 被积函数； f (x)dx − − 被积表达式； x −− 积分变量。 注: f (x)dx 是一个整体记号； 注：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的不定积分是 一个函数族 F(x) +C ，其中 C 是任意常数，于是，记为： f (x)dx = F(x) + C 。 此时称 C 为积分常数，它可取任意实数。故有 [ f (x)dx] = f (x)——先积后导正好还原； f (x)dx = f (x) + C ——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）
《数学分析(1,2,3)》教案 不定积分的几何意义:若F(x)是f(x)的一个原函数,则称y=F(x)的图象为f(x)的一条积分曲线。于是, f(x)的不定积分在几何上表示f(x)的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线 族 结论:若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行 不定积分的基本公式 由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性,这就使得求原函数的问题要比求导数难得多,因 此,我们只能先按照微分法的已知结果去试探。首先,我们把基本导数公式改写成基本积分公式: .odx=C: 2. ldx=dx=x+C: 3.x"dx +C,(a≠-1,x>0) a+1 4. -dx=In/+C,(x+0): 5. edx=e+C Ino +c,(a>0.a+);7. axdx=-sin ax+C,(a*O) axdx=--cosax+C,(a*0):9.sec xdx=tanx+C: 10. csc xdx=-cot x+C: 11. sec x tan xdx= secx+C: 12. cscx- cot xdx=-CScx+C: 13.5 arcsin x+C=-arccos x+C, 14∫女 arctan x+C=-arc cot x+ CI 牢记上述基本积分公式。 三不定积分的运算法则 定理2若函数∫(x)与g(x)在区间I上都存在原函数,k1,k2为两个任意常数,则 k1f(x)+k2g(x)也存在原函数,且欧f(x)+k28(x)dx=kf(x)d+k2g(x)dhx(积分的线性) 注:线性法则的一般形式为:j∑k(x)=∑k「(x) 例:求 d 例:求,x dx 例:求 2
《数学分析（1，2，3）》教案 6-2 如： 4 3 4 x x dx C = + 。 不定积分的几何意义：若 F(x) 是 f (x) 的一个原函数，则称 y = F(x) 的图象为 f (x) 的一条积分曲线。于是， f (x) 的不定积分在几何上表示 f (x) 的某一条积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一组积分曲线组成的曲线 族。 结论：若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。 二 不定积分的基本公式 由于不定积分的定义不象导数定义那样具有构造性，这就使得求原函数的问题要比求导数难得多，因 此，我们只能先按照微分法的已知结果去试探。首先，我们把基本导数公式改写成基本积分公式： 1. 0dx = C ；2. 1dx = dx = x + C ；3. C x x dx + + = + 1 1 ，( −1, x 0) ； 4. dx x C x = + ln 1 ，(x 0) ；5. e dx = e + C x x ； 6. C a a a dx x x = + ln ， (a 0,a 1) ；7. ax C a axdx = + sin 1 cos ，(a 0) ； 8. ax C a axdx = − + cos 1 sin ，(a 0) ；9. sec xdx = tan x + C 2 ； 10. csc xdx = −cot x + C 2 ；11. sec x tan xdx = sec x + C ； 12. csc x cot xdx = −csc x + C ；13. 1 2 arcsin arccos 1 x C x C x dx + = − + − ； 14. 2 1 arctan cot 1 x C arc x C x dx = + = − + + 。 牢记上述基本积分公式。 三 不定积分的运算法则 定 理 2 若 函 数 f (x) 与 g(x) 在区间 I 上 都 存 在 原 函 数 ， 1 2 k ,k 为 两 个 任 意 常 数 ， 则 ( ) ( ) 1 2 k f x + k g x 也存在原函数，且 [k f (x) + k g(x)]dx = k f (x)dx + k g(x)dx 1 2 1 2 （积分的线性）。 注：线性法则的一般形式为： = = = n i n i ki f i x dx ki f i x dx 1 1 ( ) ( ) 。 例：求 1 0 1 1 n n n n a x a x a x a dx − + + + + − 。 例： 求 5 2 1 1 x dx x + + 。 例：求 2 2 3cos sin dx x x
《数学分析(1,2,3)》教案 §2不定积分的计算 “凑”徽分法 有一些不定积分,将积分变量进行一定的变换后就能有基本的积分公式求出所需的积分。 例!:求∫,。 例:求[ tan x dx。 例:求| sect dt 注:为了求积分∫f(x),把它凑成如下的形式g(q(x)(x)a,作代换n=o(x),于是有gn)hm 如果这个积分可在基本积分公式中查到为s()dm=F()+C,再代回原来的变量x,就求得积分 f(x)dtx=F(o(x)+C。 二换元积分法 定理1(换元积分法)设f(x)连续,x=0()及()皆为连续,x=(1)的反函数t=q-(x)存在且连 续,并且 ∫f(q(0)()dh=F()+C, f(x)dx=F(o(x))+C 注:在换元积分法中是将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量 例:求 (a>0) a+x dx 例:求 例:求 使用换元积分法的关键:在于把被积表达式∫(x)dx凑成g(q(x)p'(x)dx=g(q(x)dq(x)形式,从而 作变换u=(x),化积分为:「g(n)dh。但要注意的是最后要换回原积分变量 例:求 u+/u 三分部积分法 定理2(分部积分法)若(x)与v(x)可导,不定积分n(x)(x)d存在,则不定积分(x)y(x)dtr
《数学分析（1，2，3）》教案 6-3 §2 不定积分的计算 一 “凑”微分法 有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后就能有基本的积分公式求出所需的积分。 例：求 1 1 dx + x 。 例：求 tan x dx 。 例：求 sec t dt 。 注：为了求积分 f x dx ( ) ，把它凑成如下的形式 g x x dx ( ( )) '( ) ，作代换 u x = ( ) ，于是有 g u du ( ) ， 如果这个积分可在基本积分公式中查到为 g u du F u C ( ) = + ( ) ，再代回原来的变量 x ，就求得积分 f x dx F x C ( ) ( ) = + ( ) 。 二 换元积分法 定理 1 （换元积分法） 设 f x( ) 连续， x t = ( ) 及 '( )t 皆为连续， x t = ( ) 的反函数 ( ) 1 t x − = 存在且连 续，并且 f t t dt F t C ( ( )) ' ( ) ( ) = + ， 则 ( ( )) 1 f x dx F x C ( ) − = + 。 注：在换元积分法中是将被积函数的某一部分视为一个整体看作一个新的积分变量。 例：求 + 2 2 a x dx (a 0) 。 例：求 − 2 2 a x dx 。 例：求 − 2 2 x a dx 。 使用换元积分法的关键：在于把被积表达式 f (x)dx 凑成 g((x))(x)dx = g((x))d(x) 形式，从而 作变换 u = (x) ，化积分为： g(u)du 。但要注意的是最后要换回原积分变量。 例：求 6 du u u + 。 三 分部积分法 定理 2（分部积分法） 若 u(x) 与 v(x) 可导，不定积分 u (x)v(x)dx 存在，则不定积分 u(x)v (x)dx
《数学分析(1,2,3)》教案 也存在,且 u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-Ju'(x)v(x)dx 例:求「 xsin xd 例:求「 arctan xdx 例:求1= acos bx和l2=Je"smbx 四有理函数积分法 定义:设P(x)和Q(x)是两个多项式,凡形如 P(x) O(x) 的函数称为有理函数 重要结论:任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如(称为简单分式) (2) -a)i(k≥2) (3) Ax+B Ax+B p2-4q1)。 Ax+ B Ax+ B x 并记r2=4-P,N=B-P P、 4 Ax+B -dx d x= AIn(/2+r2)+arctan I+C
《数学分析（1，2，3）》教案 6-4 也存在，且 u(x)v (x)dx = u(x)v(x) − u (x)v(x)dx ， 即 udv uv vdu = − 。 例：求 x xdx sin 。 例：求 arctan xdx。 例：求 I = e bxdx ax cos 1 和 I = e bxdx ax 2 sin . 四 有理函数积分法 定义：设 P x( ) 和 Q x( ) 是两个多项式，凡形如 ( ) ( ) P x Q x 的函数称为有理函数。 重要结论：任何一个有理函数必定可以表示为若干个形如（称为简单分式）： （1） x a A − ； （2） k x a A ( − ) ； (k 2) （3） ( 4 0) 2 2 − + + + p q x px q Ax B ； （4） ( 4 0) ( ) 2 2 − + + + p q x px q Ax B k (k 2) 。 的简单分式之和，其中 A，B， a, p, q, 为常数， k 为正整数。 因此，对有理函数的积分只要讨论上述四种形式的积分即可。 （1） x a C x a dx = − + − ln 。 （2） C x a k x a dx k k + − − = − −1 (1 )( ) 1 ( ) ， (k 1) 。 （3） dx p q p x Ax B dx x px q Ax B − + + + = + + + 4 4 ) 2 ( 2 2 2 ，令 2 p t = x + ，并记 4 4 2 2 q p r − = ， 2 pA N = B − ， 则 dx p q p x Ax B dx x px q Ax B − + + + = + + + 4 4 ) 2 ( 2 2 2 + = 2 2 t r tdt A + + 2 2 t r dt N C r t r N t r A = ln( + ) + arctan + 2 2 2
《数学分析(1,2,3)》教案 (4)同(3)可得(k≥2) Ax+ B tdt t px+ g TI N 2(1-k)( dt - dt td( r2(k-1)(t+r) 于是,有递推公式 2r2(k-1)t2+r2)4-12r2(k-1) 将这些结果代回,即可求得所求积分 例:求 例:求 x 五其他类型的积分举例 b 1、形如R(x )dx的积分 ax+b 只要令 t就可有理化 cx+d 例:求 例:求
《数学分析（1，2，3）》教案 6-5 （4） 同（3）可得 (k 2) ， + + + k x px q Ax B ( ) 2 + + + = k k t r dt N t r tdt A ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2(1 )( ) − − + = k k t r A + + k t r dt N ( ) 2 2 。 记 + = k k t r dt I ( ) 2 2 ，则 dt t r t r I r dt t r t r t r I k k k k + = − + + − = − ( ) 1 1 ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 = ) ( ) 1 ( 2 ( 1) 1 1 2 −1 2 −1 − + + k k t r td r k I r ] ( ) [ 2 ( 1) 1 1 2 −1 2 2 2 −1 − −1 − + = k + k k I t r t r k I r ， 于是，有递推公式 2 2 2 1 2 1 2 ( 1) 2 3 2 ( 1)( ) − − − − + − + k = k k I r k k r k t r t I 。 将这些结果代回，即可求得所求积分。 例：求 ( )( ) 2 2 2 2 1 1 x dx x x + − + 。 例：求 5 2 1 x dx − x 。 五 其他类型的积分举例 1、形如 dx cx d ax b R x n ( , ) + + 的积分 只要令 t cx d ax b n = + + 就可有理化。 例： 求 dx x x x 2 1 2 − + 。 例：求 + + − 2 (1 x) 2 x x dx
《数学分析(1,2,3)》教案 2、形如「 Mx+M =d(a≠0)的积分 把积分分成两项 Mx+N Mrd(ax+bx+c bM d x x2+bxtc + bx+c 右边的积分即可求出,第二个积分配成完全平方,使成为 d x 2 例:求 3、形如∫(M+N)ax2+bx+cd(a≠0)的积√x±pd分 把积分分成两项 +)l2++2如++(a+(2)如++h 右边的积分即可求出,第二个积分配成完全平方,使成为 ∫√Pp-xd或yx 的积分 例:求∫(x+1)2-2x+5 4、形如∫R(smx,cosx的积分 对于三角有理式的不定积分,一般通过变换t=tanx(万能变换),可把它化为有理函数的积分: SIn-cos 2t SInx= In -+ cos 31+an2x1+t x x dx dt sin2=+cos 2= 1+tan 2 1-t22 故R(snx, cos dx=|R( dt
《数学分析（1，2，3）》教案 6-6 2、形如 ( ) 2 0 Mx N dx a ax bx c + + + 的积分 把积分分成两项 ( ) 2 2 2 2 2 2 Mx N M bM dx d ax bx c dx N ax bx c ax bx c ax bx c a a + + + = + − + + + + + + 右边的积分即可求出，第二个积分配成完全平方，使成为 2 2 2 4 dx dx b b a x c a a + + − 。 例：求 2 2 1 4 x dx x x + − − 。 3、形如 ( ) ( ) 2 Mx N ax bx cdx a + + + 0 的积 2 2 x p dx 分 把积分分成两项 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 M bM Mx N ax bx cdx ax bx c d ax bx c N ax bx c dx a a + + + = + + + + + − + + 右边的积分即可求出，第二个积分配成完全平方，使成为 2 2 p x dx − 或 2 2 x p dx 的积分。 例：求 ( ) 2 x x x dx + − + 1 2 5 4、 形如 R x x dx (sin ,cos ) 的积分 对于三角有理式的不定积分，一般通过变换 2 tan x t = （万能变换），可把它化为有理函数的积分： 2 cos 2 sin 2 cos 2 2sin sin 2 x 2 x x x x + = 2 2 1 2 2 1 tan 2 2 tan t t x x + = + = ； 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos cos 2 2 2 2 x x x x x + − = 2 2 2 2 1 1 2 1 tan 2 1 tan t t x x + − = + − = ； dt t dx 2 1 2 + = ； 故 R x x dx (sin ,cos ) dt t t t t t R 2 2 2 2 1 2 ) 1 1 , 1 2 ( + + − + =
《数学分析(1,2,3)》教案 例:求 I+sin x sin x(1+cos x) 注意:上述变换t=tan对三角有理式的不定积分总是有效的,但并不一定是最好的变换,在实际计算 中要注意选择不同的变换 例:求∫ -dx 1+cos x 注意:初等函数的原函数不一定是初等函数,因此,在初等函数的范围内,某些初等函数的原函数是不存在 的,即使该函数可积 7
《数学分析（1，2，3）》教案 6-7 例：求 dx x x x + + sin (1 cos ) 1 sin 。 注意：上述变换 2 tan x t = 对三角有理式的不定积分总是有效的，但并不一定是最好的变换，在实际计算 中要注意选择不同的变换。 例：求 1 1 cos dx + x 。 注意：初等函数的原函数不一定是初等函数，因此，在初等函数的范围内，某些初等函数的原函数是不存在 的，即使该函数可积