成都信息工程学院：《数学物理方法》第七章 数学物理定解问题

1/81o 数学物理方法 教师:向安平 职称:教授 电话:85966381(0 85533790(H) 邮址:Langar@126.com gdjsxzrs cuit. edu.cn 单位:光电技术系 上智不教而成,下愚虽教元益, 中庸之人。不教不知也 颜之推,《颜氏家训》 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 1/81 ê Æ Ô n  { : •S² …¡:  Ç >{: 85966381(O) 85533790(H) eŒ: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn ü : 1>EâX þœØ ¤§eyÃç ¥Tƒ<§Ø؏ —ôƒí§5ô¼[Ô6

2/81圆 第二部分数学物理方程 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 2/81 1Ü© êÆÔn§

3/81圓 在物理学、力学、工程技术和社会经济等许多具体问题中,常常 需要从数量上来描述研究对象,这就要求我们建立关于这些对象的数 学模型,从定量上来刻画各量之间的关系.这样的数学模型可能是 个函数方程,称为数学物理方程.如果它是一个未知函数及其各阶偏 导数的方程,就称其为偏微分方程. 数学物理方程是物理学的一个分支一数学物理所涉及的偏微分方 程,有时也包括相关的积分方程、微分积分方程 本篇通过几个不同的物理模型推倒出几个典型的方程,然后介绍 三类偏微分方程及其有关定解问题和这些问题的常用解法 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 3/81 3ÔnÆ!åÆ!ó§EâÚ¬²LNõäN¯K¥§~~ I‡lêþþ5£ãïÄé§ù҇¦·‚ïá'uù éê Æ.§l½þþ5xˆþƒm'X©ùêÆ.ŒU´ ‡¼ê§§¡êÆÔn§©XJ§´‡™¼ê9و  ꐧ§Ò¡Ù ‡©§© êÆÔn§´ÔnƇ©|—êÆÔn¤9 ‡© §§kž)ƒ'È©§!‡©È©§© ŸÏLA‡ØÓÔn.íÑA‡;.§§,￾￾￾0 na ‡©§9Ùk'½)¯KÚù ¯K~^){©

4/81 第七章数学物理定解问题 物理量仅是时间的函数—常微分方程 普遍性、共性. 物理量仅是时间和空间的函数一偏微分方程 求解具体问趣必须考虑对象所处的“环境”边界条件 必须考虑对象所处的“历史初始条件 边界条件和初始条件反应了具体问题的特定环境和历史,即问题 的特殊性、个性.在数学上,边界条件和初始条件合称定解条件 物理问题的共性—物理规律的数学表示:数学建模,通俗地讲 就是把物理规律用数学语言“翻译出来,体现为物理量在时空中的变 化关系.这种关系通常是偏微分方程 数学物理方程—物理规律的偏微分方程形式是同类物理现象的共 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 4/81 1ÔÙ êÆÔn½)¯K Ônþ=´žm¼ê—~‡©§ Ônþ=´žmÚm¼ê— ‡©§) ÊH5!
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5/81 性,更具体的条件无关,称为泛定方程 物理问题在数学上的完整提法—数学物理定解问题(定解问 题):在给定定解条件下,求解数学物理方程 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit 5/81 5§äN^‡Ã'§¡½§© Ôn¯K3êÆþJ{—êÆÔn½)¯K£½)¯ K¤µ3‰½½)^‡e§¦)êÆÔn§©

7.1.数学物理方程的建立—数学建模 6/81圆 871数学物理方程的建立一数学建模 由于物理规律反映的是物理量在临近地点和临近时间之间的联 系,因此原则上讲,其建立过程为: 1确定研究对象; 2分析临近部分与所划出的小部分间的相互作用; 3分析短时间内相互作用的影响 把上述作用和影响经简化(只考虑主要的、重要的作用和影响) 整理就是数学物理方程 ①波动方程双曲型 数学物理方程{②输运方程抛物型偏微分方程 ③稳定常方程一椭圆型 当然还有其它类型的方程 ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 6/81 §7.1 êÆÔn§ïá—êÆï duÔn5ƇN´Ônþ3C/:ÚCžmƒmé X§ÏdKþù§ÙïáL§µ 1 (½ïÄé¶ 2 ©ÛCÜ©†¤yÑÜ©mƒpŠ^¶ 3 ©ÛážmSƒpŠ^K© rþãŠ^ÚK²{z£Ä̇!­‡Š^ÚK¤ nÒ´êÆÔn§© êÆÔn§    ÅЧ—V­. Ñ$§—Ô. ­½~§—ý.  ‡©§ ,„kÙ§a.§©

§7.1.数学物理方程的建立—数学建模 7/81圆 7.11均匀弦的微小横振动 (1).振动与波动的机理一张力、弦(介质) 2).均匀、轻质弦的一维横向微小振动 轻质弦一无振动的弦在绷紧时是一根直线 选弦上各点所在平衡位置的直线为x轴,横向位移为u.因此,下面 的任务就是建立u(x,t)满足的方程 弦的振动是机械振动,机械运动的基本规律是质点动力 学 - Newton第二定律F=md.因此需要将质量均匀连续分布的弦分 为很多微元,对每个微元利用 Newton第二定律—建模使用的原理 (规律) Fr=T2 coS a2-TI COS a1=0, Fu=T2 sin a? -Ti sin al. ● First●Prev●Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 7/81 7.1.1 þ!u‡îÄ (1). ĆÅÄÅn—Üå!u£0Ÿ¤ (2). þ!!Ÿu‘Ä Ÿu—ÃÄu3 ;ž´Š†‚© Àuþˆ:¤3²ï †‚ x ¶§î• £ u©Ïd§e¡ ?ÖÒ´ïá u(x, t) ÷v§© uÄ´ÅħÅ$ÄÄ5Æ´Ÿ:Äå Æ—Newton 1½Æ F~ = m~a©ÏdI‡òŸþþ!ëY©Ùu© éõ‡§éz‡‡|^ Newton 1½Æ—ï¦^n £5Ƥ© Fx = T2 cos α2 − T1 cos α1 = 0, Fu = T2 sin α2 − T1 sin α1.

7.1.数学物理方程的建立—数学建模 8/81 选择平衡位置在(x,x+dx)上的微元B加以研 究.对轻质弦,它仅受临近微元A,C施加的拉 力,2的作用 由于弦没有纵向(x轴向)的运动,因此,作用7 于B上的纵向合力为零.微元B所受外力的纵 横向分量分别为 图7-1 如用un(On2/ar2的缩写)表示横向加速度,则 T2 COS a2-T1 COS 01=0 (7.1-1) T2 sin a2- TI sin a1 =(pds)utt (71-2) 式中,p—线密度,d-微元B的长度 ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 8/81 ÀJ²ï 3 (x, x + dx) þ‡ B \±ï Ä©éŸu§§=ÉC‡ A, C \. å T~ 1, T~ 2 Š^© duuvkp•£x ¶•¤$ħÏd§Š^ u B þp•Üå"©‡ B ¤É åp! þ©O X^ utt ￾ ∂u 2 /∂t 2 
L«î•\„ݧK T2 cos α2 − T1 cos α1 = 0, (7.1-1) T2 sin α2 − T1 sin α1 = (ρds)utt. (7.1-2) ª¥§ρ—‚ݧds—‡ B Ý©

7.1.数学物理方程的建立—数学建模 9/81 由于仅考虑很小的振动,因此α1,a2为小量,所以, cosa1=1-∞2/2+…÷1,sina1=a1-/3!+ coS 02 /2+…÷1,sina2=02-a2/3!+ tga1=uxx(点x的斜率),tgo2=lxlx+ax(点x+dx的斜率) ds= v(dx)2+(du) +vdx÷y/1+tg2adx÷dx. 所以,式(71-1)和(712变为(弦dx在振动过程中质量不变) T2-T1=0 (71-3) lXr Ix+dx Tiur Ix =utpdx. (7.1 可见,弦中的张力既与x无关,也与t无关,是一常数,记为T 式(71-4成为 T(urx+dr -uxIx)=purr dx, rIx+dr -ur x utts ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 9/81 du=ÄéħÏd α1, α2 þ§¤±§ cos α1 = 1 − α 2 1 /2 + · · ·  1 , sin α1 = α1 − α 3 1 /3! + · · ·  α1, cos α2 = 1 − α 2 2 /2 + · · ·  1 , sin α2 = α2 − α 3 2 /3! + · · ·  α2, tgα1 = ux |x £: x Ǥ, tgα2 = ux |x+dx £: x + dx Ǥ, ds = p (dx) 2 + (du) 2 = q 1 + u 2 xdx  q 1 + tg2αdx  dx. ¤±§ª(7.1-1)Ú(7.1-2)C£u dx 3ÄL§¥ŸþØC¤ T2 − T1 = 0, (7.1-3) T2ux |x+dx − T1ux |x = uttρdx. (7.1-4) Œ„§u¥ÜåQ† x Ã'§† t Ã'§´~ê§P T© ª(7.1-4)¤ T (ux |x+dx − ux |x ) = ρuttdx, T ux |x+dx − ux |x dx = ρutt,

7.1.数学物理方程的建立—数学建模 10/81⊙ 记u x lx+dx dr 得B短的运动方程为 这就是弦振动方程.对均匀弦,p是常数,令 以后将知道这正是振动传播的速度, 则 tt (71-6) (3).讨论 大如果弦受到外加横向强迫力作用,每单位长度弦所受强迫勒为 产(x,),则 utt -aurr f(r, t) 7.1-7) ●Fist●Prev·Next●Last● Go Back● Full Screen●cose●Quit

• First • Prev • Next • Last • Go Back • Full Screen • Close • Quit §7.1. êÆÔn§ïá—êÆï 10/81 P uxx = ux |x+dx − ux |x dx .  B á$Ч ρutt − Tuxx = 0. (7.1-5) ùÒ´u. . Ä. . §. ©éþ!u§ρ ´~ê§- a 2 = T ρ , ±￾￾￾òù´ÄD„Ý, K utt − a 2uxx = 0. (7.1-6) (3). ?Ø ✿ XJuÉ \î•r½åŠ^§zü Ýu¤Ér½V F~(x, t)§K utt − a 2uxx = f(x, t), (7.1-7)