《数学分析(1,2,3)》教案 第二章极限与连续 §1数列的极限与无穷大量 ◆引言 为了掌握变量的变化规律,往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量 它开始是1,然后为234……如此,一直无尽地变下去,虽然无尽止,但它的变化有一个趋势, 这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说,这个变量的极限为0。所以,我们有必要 对极限作深入研究。 数列极限的定义 1数列的定义 定义:若函数∫的定义域为全体正整数集合N,则称∫:N→R为数列。 注:记f(n)=an,则数列f(n)就可写作为:a,a2…,an…,简记为{an}。 2数列的例子 1 I j23…(2){1+}:21+,1+1,1+2,…(3){m2}:14.1625 2、什么是数列极限 引言 容易看出,数列 2}的通项随着n的无限增大而无限地接近于零。 一般地说,对于数列{an},若当n无限增大时,an能无限地接近某一个常数a,则称此数列为收敛 数列,常数a称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列 据此可以说,数列 是收敛数列,0是它的极限 数列{n),(1+(-))都是发散的数列 需要提出的是,上面关于“收敛数列”的说法,并不是严格的定义,而仅是一种“描述性”的说法, 如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 1为例,可观察出该数列具以下特性: 随着n的无限增大,a=1-1无限地接近于1→随着n的无限增大,1-1与1的距离无限减少→ 随着n的无限增大,|1---1限减少→>|1---1会任意小,只要n充分大 n
《数学分析（1，2，3）》教案 2-1 第二章 极限与连续 §１ 数列的极限与无穷大量 ◆ 引 言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势。例如有这么一个变量， 它开始是１，然后为 1 1 1 1 , , , , , 234 n 如此，一直无尽地变下去，虽然无尽止，但它的变化有一个趋势， 这个趋势就是在它的变化过程中越来越接近于零。我们就说，这个变量的极限为０。所以，我们有必要 对极限作深入研究。 一 数列极限的定义 １ 数列的定义 定义：若函数 f 的定义域为全体正整数集合 N+ ，则称 f N R : + → 为数列。 注：记 ( ) n f n a = ，则数列 f n( ) 就可写作为： 1 2 , , , , n a a a ，简记为 an。 ２ 数列的例子 （1） 1 1 1 1 :1, , , , n 234 ；（2） 1 1 1 1 1 : 2,1 ,1 ,1 , n 4 3 5 + + + + （3） 2 n :1,4,9,16,25, 2、什么是数列极限 １．引言 容易看出，数列 1 2 n 的通项 1 2 n 随着 n 的无限增大而无限地接近于零。 一般地说，对于数列 an ，若当 n 无限增大时， n a 能无限地接近某一个常数 a ，则称此数列为收敛 数列，常数 a 称为它的极限。不具有这种特性的数列就称为发散数列。 据此可以说，数列 1 2 n 是收敛数列，０是它的极限。 数列 2 1 , 1 ( 1)n n + + − 都是发散的数列。 需要提出的是，上面关于“收敛数列”的说法，并不是严格的定义，而仅是一种“描述性”的说法， 如何用数学语言把它精确地定义下来。还有待进一步分析。 以 1 1 n − 为例，可观察出该数列具以下特性： 随着 n 的无限增大， 1 1 n a n = − 无限地接近于 1 → 随着 n 的无限增大， 1 1 n − 与１的距离无限减少 → 随着 n 的无限增大， 1 |1 1| n − − 无限减少 → 1 |1 1| n − − 会任意小，只要 n 充分大
《数学分析(1,2,3)》教案 如:要使|---1k0.1,只要n>10即可; 要使|1---1k0.01,只要n>100即可; 任给无论多么小的正数E,都会存在数列的一项a,从该项之后(n>N) VE>0,N,当n>N时,‖1--|-1kE。 如何找N?(或N存在吗?)解上面的数学式子即得:1取N=[。+1即可。这样vE>0,当 n>n N时,有山1-1)-1k6·此即{1-}以1为极限的精确定义,记作 1--|=1或n→m,1--→1。 2.数列极限的定义 定义1设{an}为数列a为实数,若对任给的正数E,总存在正整数N,使得当刀>N时有an-aK6, 则称数列{an}收敛于aa称为数列{an}的极限,并记作iman=a或an→a(n→>) 若数列{an}没有极限,则称{an}不收敛,或称{an}为发散数列 问题]:如何表述{an}没有极限? 3。举例说明如何用E-N定义来验证数列极限 例:证明m上D 0 例:证明lim 例:证明m3n2-0 2.2
《数学分析（1，2，3）》教案 2-2 如：要使 1 |1 1| 0.1 n − − ，只要 n 10 即可； 要使 1 |1 1| 0.01 n − − ，只要 n 100 即可； 任给无论多么小的正数 ，都会存在数列的一项 N a ，从该项之后 ( ) n N ， 1 | 1 1| n − − 。即 0, N ，当 n N 时， 1 | 1 1| n − − 。 如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得： 1 n ，取 1 N [ ] 1 = + 即可。这样 0, 当 n N 时， 1 1 1 | 1 1| n n N − − = 。 综上所述，数列 1 1 n − 的通项 1 1 n − 随 n 的无限增大， 1 1 n − 无限接近于１，即是对任意给定正数 ， 总存在正整数Ｎ，当 n N 时，有 1 | 1 1| n − − 。此即 1 1 n − 以１为极限的精确定义，记作 1 lim 1 1 n→ n − = 或 1 n ,1 1 n → − → 。 2.数列极限的定义 定义 1 设 an 为数列,a 为实数,若对任给的正数 ,总存在正整数 N ,使得当 n N 时有 | | n a a − , 则称数列 an 收敛于 a, a 称为数列 an 的极限, 并记作 lim n n a a → = 或 ( ) n a a n → → . 若数列 an 没有极限，则称 an 不收敛，或称 an 为发散数列。 [问题]：如何表述 an 没有极限？ ３。举例说明如何用 −N 定义来验证数列极限 例： 证明 1 3 ( 1) lim 0 n n n + → − = . 例： 证明 1 lim 0 2 n n→ = . 例：证明 2 3 2 1 lim 0 n 9 7 n → n − = +
《数学分析(1,2,3)》教案 例:证明Iim 4 例:证明lim√a=1,其中a>0 4关于数列的极限的E-N定义的几点说明 (1)关于E:①E的任意性:;②E的暂时固定性:③E的多值性:④正由于E是任意小正数,我们 可以限定E小于一个确定的正数 (2)关于N:①相应性:②N多值性 (3)数列极限的几何理解:“当n>N时有|an-akE”所有下标大于N的项an都落在邻域O(a,E) 内;而在O(a,)之外,数列{an}中的项至多只有N个(有限个) (4)数列极限的等价定义(邻域定义) 定义1任给E>0,若在O(a,E)之外数列{an}中的项只有有限个,则称数列{an}收敛于极限a 由此可见:数列是否有极限,只与它从某一项之后的变化趋势有关,而与它前面的有限项无关。所 以,在讨论数列极限时,可以添加、去掉或改变它的有限项的数值,对收敛性和极限都不会发生影响 例:证明{n2}都是发散数列。 无穷小数列 在所有收敛数列中,有一类重要的数列,称为无穷小数列,其定义如下 定义2若 i lim a=0,则称{a}为无穷小数列 都是无穷小数列。 数列{an}收敛于a的充要条件: 定理1数列{an}收敛于a的充要条件是{an-a}为无穷小数列 三收敛数列的性质 性质1(保不等式性)设数列{an}与{b}均收敛,若存在正数N,使得当n>N时有an≤bn,则 lim a≤ lim b 性质2(保号性)若 lim a=a>0(或aN时有an>a'(或anN
《数学分析（1，2，3）》教案 2-3 例：证明 2 2 4 lim 4 n 3 n → n = − . 例：证明 lim 1 n n a → = ，其中 a 0 . ４ 关于数列的极限的 −N 定义的几点说明 （１） 关于 ：① 的任意性；② 的暂时固定性；③ 的多值性；④正由于 是任意小正数，我们 可以限定 小于一个确定的正数。 （２） 关于Ｎ：① 相应性；②Ｎ多值性。 （３） 数列极限的几何理解：“当 n N 时有 | | n a a − ” 所有下标大于Ｎ的项 n a 都落在邻域 O a( , ) 内；而在 O a( , ) 之外，数列 an 中的项至多只有Ｎ个（有限个）。 （４） 数列极限的等价定义（邻域定义）： 定义 1 任给 0 ，若在 O a( , ) 之外数列 an 中的项只有有限个，则称数列 an 收敛于极限 a. 由此可见：数列是否有极限，只与它从某一项之后的变化趋势有关，而与它前面的有限项无关。所 以，在讨论数列极限时，可以添加、去掉或改变它的有限项的数值，对收敛性和极限都不会发生影响。 例：证明 3 n 都是发散数列。 二 无穷小数列 在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下： 定义２ 若 lim 0 n n a → = ，则称 an 为无穷小数列。 如 2 1 1 1 , , 3 n n n 都是无穷小数列。 数列 an 收敛于 a 的充要条件： 定理１ 数列 an 收敛于 a 的充要条件是 a a n − 为无穷小数列。 三 收敛数列的性质 性质 1（保不等式性）设数列 an 与 bn 均收敛，若存在正数 N0 ，使得当 0 n N 时有 n n a b ，则 lim lim n n n n a b → → 。 性质 2（保号性） 若 lim 0 n n a a → = （或 a 0 ），则对任何 a a (0, ) （或 a a ( ,0) ），存在正数 Ｎ，使得当 n N 时有 n a a （或 n a a ）。 性质 3（极限唯一性） 若数列 an 收敛，则它只有一个极限。 性质 4（迫敛性） 设收敛数列 an、bn 都以 a 为极限，数列 cn 满足：存在正数 N0 ，当 0 n N
《数学分析(1,2,3)》教案 时有an≤Cn≤bn,则数列{cn}收敛,且imcn=a 注:迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法,而且也提供了一个求数列极限的工具。 例!:求数列小的极限 性质5(有界性)若数列{a}收敛,则{an}为有界数列 注:数列收敛则必有界,反之未必。例如数列{(-1)"}有界,但它不收敛。 四数列极限的运算 性质6(极限的四则运算法则)若{a}、{bn}为收敛数列,则{an+b},{an-b},{nbn}也都收敛,且 有 lim(an±bn)=a±b= lim a±lmbn lim(a, b)=a. b=lim a,. lim b 若再做假设b,≠0及lmbn≠0,则数列{}也收敛,且有 b lim e n→ n→b 在求数列的极限时,常需要使用极限的四则运算法则。 例:求Im+mm+“+4+,其中m5k.a≠0b≠0 bn+b=n+…+bn+b 例:求lm√m(m+2-Vm) 五单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时,通常分两步来解决:先判断该数列是否有极限(极限的存在性问题) 若有极限,再考虑如何计算些极限(极限值的计算问题)。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极 限的存在性问题。 定义若数列{an}的各项满足不等式an≤an1(a≥an),则称{an}为递增(递减)数列。递增和递减数列 统称为单调数列 例如:{}为递减数列;{}为递增数列 定理(单调有界定理)在实数系中,有界且单调数列必有极限。 例:设an=1+++…+,n=12…其中a≥2,证明数列{an}收敛。 例:证明下列数列收敛,并求其极限: √.√3+√3
《数学分析（1，2，3）》教案 2-4 时有 nnn a c b ，则数列 cn 收敛，且 lim n n c a → = . 注：迫敛性不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求数列极限的工具。 例： 求数列 n n 的极限。 性质 5（有界性）若数列 an 收敛，则 an 为有界数列。 注：数列收敛则必有界，反之未必。例如数列 ( 1) n − 有界，但它不收敛。 四 数列极限的运算 性质６（极限的四则运算法则） 若 an、bn 为收敛数列，则 a b a b a b n n n n n n + − , , 也都收敛，且 有 lim( ) lim lim n n n n n n n a b a b a b → → → = = ; lim( ) lim lim n n n n n n n a b a b a b → → → = = . 若再做假设 0 n b 及 lim 0 n n b → ，则数列 n n a b 也收敛，且有 lim lim lim n n n n n n n a a a b b b → → → = = . 在求数列的极限时，常需要使用极限的四则运算法则。 例： 求 1 1 1 0 1 1 1 0 lim m m m m k k n k k a n a n a n a b n b n b n b − − → − − + + + + + + + + ，其中 , 0, 0 m k a b m k . 例： 求 lim ( 2 ) n n n n → + − 。 五 单调有界数列 在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）； 若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。下面将重点讨论极 限的存在性问题。 定义 若数列 an 的各项满足不等式 1 1 ( ) n n n a a a a + + ，则称 an 为递增（递减）数列。递增和递减数列 统称为单调数列． 例如： 1 n 为递减数列； 2 n 为递增数列。 定理（单调有界定理） 在实数系中，有界且单调数列必有极限。 例：设 1 1 1 1 , 1,2, 2 3 n a n n = + + + + = 其中 2 ，证明数列 an 收敛。 例：证明下列数列收敛，并求其极限： 3, 3 3, , 3 3 3 , n + + + 个根号
《数学分析(1,2,3)》教案 例:证明lim(1+-)存在 六无穷大量的定义 定义:设{xn}是一个数列。若VG>0,N∈N,当n>N时必有xn|>G,则称{xn}是无穷大量 几何解析: 例:证明 是无穷大量。 5n-4n-4 定义:设{xn}是一个数列。若VG>0.,N∈N,当n>N时必有xn>G,则称{x}是正无穷大量 定义:设{xn}是一个数列。若G>0,N∈N,当n>N时必有xnx0(x≠x0)时,对应的函数值能否趋于某个定数A数列。 先看下面几个例子: 例:(x)=~4 当x≠2时,f(x)=x+2,当x→>2时,f(x)→>4) 由上例可见,对有些函数,当x→x0(x≠x0)时,对应的函数值f(x)能趋于某个定数A:但对有些函 数却无此性质。所以有必要来研究当x→x0(x≠x0)时,f(x)的变化趋势。 定义1设函数f(x)在点x的附近有定义,A为定数,若对任给的vE>0,3δ>0,使得当04x-xkd 时有f(x)-AkE,则称称A为x→>xo时f(x)的极限,记作Iimf(x)=A或∫(x)→A(x→>x) 注:(1)|f(x)-AkE是结论,04x-x0kd是条件,即由0<x-x0kd推出 (2)E是表示函数f(x)与A的接近程度的 5
《数学分析（1，2，3）》教案 2-5 例：证明 1 lim(1 )n n→ n + 存在。 六 无穷大量的定义 定义：设 xn 是一个数列。若 G N N 0, , + 当 n N 时必有 n x G ，则称 xn 是无穷大量。 几何解析： 例：证明 3 2 2 5 1 5 4 4 n n n n − + − − 是无穷大量。 定义：设 xn 是一个数列。若 G N N 0, , + 当 n N 时必有 n x G ，则称 xn 是正无穷大量。 定义：设 xn 是一个数列。若 G N N 0, , + 当 n N 时必有 n x G − ，则称 xn 是负无穷大量。 七 无穷大量的性质和运算 1、 无穷大量和无穷小量的关系 定理： xn 为无穷大量，当且仅当，xn 为无穷小量，这里要求 1 n x 。 2、 无穷大量的一些运算法则 定理：正无穷大量的和仍是正无穷大量，负无穷大量的和仍是负无穷大量。无穷大量加上有界数列仍是无穷 大量。 定理：设 xn 为无穷大量， yn 收敛于 a 0 ，则 x yn n 是无穷大量。 §2 函数的极限 一 函数在一点的极限 现在讨论当 0 0 x x x x → ( ) 时，对应的函数值能否趋于某个定数Ａ数列。 先看下面几个例子： 例： 2 4 ( ) 2 x f x x − = − 。当 x 2 时， f x x ( ) 2 = + ，当 x →2 时， f x( ) 4 → ）。 由上例可见，对有些函数，当 0 0 x x x x → ( ) 时，对应的函数值 f x( ) 能趋于某个定数Ａ；但对有些函 数却无此性质。所以有必要来研究当 0 0 x x x x → ( ) 时， f x( ) 的变化趋势。 定义 1 设函数 f x( ) 在点 0 x 的附近有定义，Ａ为定数，若对任给的 0, 0 ，使得当 0 0 | | − x x 时有 | ( ) | f x A − ，则称称Ａ为 0 x x → 时 f x( ) 的极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → . 注:（１） | ( ) | f x A − 是结论， 0 0 | | − x x 是条件，即由 0 0 | | − x x 推出。 （２） 是表示函数 f x( ) 与Ａ的接近程度的
《数学分析(1,2,3)》教案 (3)d是表示x与x0的接近程度,它相当于数列极限的E-N定义中的N。它的第一个特性是相应性。 第二个特性是多值性 (4)在定义中,只要求函数∫在x的某空心邻域内有定义,而一般不要求∫在x处的函数值是否存 在,或者取什么样的值 (5)定义的几何意义。 例:证明1m3z3 x+1x-1 二函数极限的性质和运算 性质1(局部保号性)若imf(x)=A>0,则对任何正数00,当0r>0;若imf(x)=A0,当00,当00,当0x0时极限也存在, 且 1)im[(x)±g(x)]=imf(x)±img(x) 2) lim((x)g(x)=lim f(x). lim g(x) 又若mg(x)≠0,则C当x→x0时极限也存在,且有3)mJ(x)limf(x) x-o g(x) lim g(x) 性质8无穷小量乘有界变量仍是无穷小量 三单侧极限 1.引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同,如
《数学分析（1，2，3）》教案 2-6 (3) 是表示 x 与 0 x 的接近程度，它相当于数列极限的 −N 定义中的Ｎ。它的第一个特性是相应性。 第二个特性是多值性。 （４）在定义中，只要求函数 f 在 0 x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求 f 在 0 x 处的函数值是否存 在，或者取什么样的值。 （５）定义的几何意义。 例：证明 3 1 1 lim 3 x 1 x → x − = − ; 二 函数极限的性质和运算 性质 1（局部保号性）若 0 lim ( ) 0 x x f x A → = ，则对任何正数 0 r A ，存在 0 ，当 0 0 − x x 时， 有 f x r ( ) 0 ；若 0 lim ( ) 0 x x f x A → = ，则对任何负数 A r 0 ，存在 0 ，当 0 0 − x x 时有 f x r ( ) 0 。 性质 2（保不等式性）设 0 lim ( ) x x f x → 和 0 lim ( ) x x g x → 都存在，且存在 0 ，当 0 0 − x x 时，有 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x → → 。 性质 3（唯一性） 若极限 0 lim ( ) x x f x → 存在，则此极限是唯一的。 性 质 4 （ 迫敛性 ） 设 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x g x A → → = = ， 且 存 在 0 ， 当 0 0 − x x 时 有 f x h x g x ( ) ( ) ( ) ，则 0 lim ( ) x x h x A → = 。 性质 5（局部有界性）若 0 lim ( ) x x f x → 存在，则 f 在 0 x 的某空心邻域内有界。 性质 6（海涅定理） ( ) 0 lim x x f x A → = 0 , , n n x x x 都有 lim ( n ) n f x A → = 。 性质 7（四则运算法则）若 0 lim ( ) x x f x → 和 0 lim ( ) x x g x → 都存在，则函数 f g fg , 当 0 x x → 时极限也存在， 且 １） 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x → → → = ； ２） ( ) 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x g x f x g x → → → = . 又若 0 lim ( ) 0 x x g x → ，则 f g 当 0 x x → 时极限也存在，且有 ３） 0 0 0 lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x f x g x g x → → → = 。 性质 8 无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。 三 单侧极限 １．引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如
《数学分析(1,2,3)》教案 x2.x≥0 x.x0,3d>0,使得当 00,存在正数XC≥a),使得当 x>X时有|f(x)-AkA(x→+∞) 类似可定义Imf(x)=A和lmf(x)=A EE: lim f(x)=A o lim f(x)=lim f(x)=A 例:按定义证明lim-=0 例:按定义证明1) lim arctan x=--:2) lim arccox= 五函数值趋于无穷大的情形 定义4设函数∫(x)在点x的附近有定义,若对任给的ⅤG>0,36>0,使得当04x-x0k时有 f(x)>G,则称f(x)在点x0时趋于无穷大,记作lmf(x)=∞。 类似可定义limf(x)=∞,limf(x)=∞,limf(x)=∞
《数学分析（1，2，3）》教案 2-7 2 1 , 0 ( ) , 0 x x f x x x = 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如 2 f x x x ( ) , 0 = 。 这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？ 定义 2 设函数 f x( ) 在点 0 x 的有近旁有定义，Ａ为定数，若对任给的 0, 0 ，使得当 0 0 − x x 时有 | ( ) | f x A − ，则称数Ａ为函数 f 当 x 趋于 0 x 时的右极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → + = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → + 或 0 f x A ( 0) + = 。 类似可给出左极限定义。 注：右极限与左极限统称为单侧极限。 例： 讨论函数 f x x ( ) = 在 x = 0 的左、右极限。 例： 讨论 sgn x 在 x = 0 的左、右极限。 函数极限 0 lim ( ) x x f x → 与 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 的关系。 定理１ 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x A f x f x A → → → + − = = = . 注：利用此可验证函数极限的存在。 四 函数在无限远处的极限 定义 3 设 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数，Ａ为实数。若对任给的 0 ，存在正数 X ( ) a ，使得当 x X 时有 | ( ) | f x A − , 则称函数 f 当 x → + 时以Ａ为极限。记作 lim ( ) x f x A →+ = 或 f x A x ( ) ( ) → → + . 类似可定义 lim ( ) x f x A →− = 和 lim ( ) x f x A → = 。 注： lim ( ) x f x A → = lim ( ) lim ( ) x x f x f x A →+ →− = = 。 例: 按定义证明 1 lim 0 x→ x = . 例: 按定义证明１） lim arctan x 2 x →− = − ；２） lim x 2 arccox →+ = . 五 函数值趋于无穷大的情形 定义 4 设函数 f x( ) 在点 0 x 的附近有定义，若对任给的 G 0, 0 ，使得当 0 0 | | − x x 时有 | ( ) | f x G ，则称 f x( ) 在点 0 x 时趋于无穷大，记作 0 lim ( ) x x f x → = 。 类似可定义 0 lim ( ) x x f x → + = ， 0 lim ( ) x x f x → − = ， lim ( ) x f x → =
《数学分析(1,2,3)》教案 六两个常用的不等式和两个重要的极限 1的证明 2、limx=1的应用 例:求lmx 7-x 例:求lim 1-cOS x SIn 注:利用归结原则,可求数列极限。如求lim-n= lim nsin+,直接利用1mx=1是不严格的:但已 知 lim sinx 1,故取xn=,(n=1,2…),则xn→0(m→∞),从而由归结原则limf(x)=lim 0 例:求lim2x 3、证明m+=或lm(1+a 应用 例:烈求m(1+2x) 例:求im(-x) 例:求lim(1+--=2)” §3连续函数 引言 在数学分析中,要研究种种不同性质的函数,其中有一类重要的函数,就是连续函数。下面我们就来研 究这类函数的特点 连续的定义 定义1(∫在点x连续)设函数∫在某x点的附近包括x点有定义,若Imf(x)=f(x0),则称∫在 点x连续 注limf(x)=∫(x)=∫(imx),即“∫在点x连续”意味着“极限运算与对应法则∫可交换
《数学分析（1，2，3）》教案 2-8 六 两个常用的不等式和两个重要的极限 1、 0 sin lim 1 x x → x = 的证明 2、 0 sin lim 1 x x → x = 的应用 例：求 sin lim x x → − x . 例：求 2 0 1 cos lim x x → x − . 注：利用归结原则，可求数列极限。如求 1 sin 1 lim lim sin n n 1 n n n n → → = ，直接利用 0 sin lim 1 x x → x = 是不严格的；但已 知 0 sin lim 1 x x → x = ，故取 ,( 1,2, ) n x n n = = ，则 0( ) n x n → → ，从而由归结原则 1 sin lim ( ) lim 0 1 n n n n f x n → → = = . 例：求 0 lim x tgx → x . 3、证明 1 lim 1 x x e → x + = 或 ( ) 1 0 lim 1 e → + = . 4、 应用 例：烈求 ( ) 1 0 lim 1 2 x x x → + . 例：求 ( ) 1 0 lim 1 x x x → − . 例：求 2 1 1 lim(1 )n n→ n n + − . §3 连续函数 ⚫ 引言 在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。下面我们就来研 究这类函数的特点。 一 连续的定义 定义１（ f 在点 0 x 连续）设函数 f 在某 0 x 点的附近包括 0 x 点有定义，若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ，则称 f 在 点 0 x 连续。 注 0 0 0 lim ( ) ( ) (lim ) x x x x f x f x f x → → = = ，即“ f 在点 0 x 连续”意味着“极限运算与对应法则 f 可交换
《数学分析(1,2,3)》教案 例:x∈ R sin x,cosx在x处连续 例:lim(2x+1)=5=f(2)。 xsIn x≠0 例:讨论函数f(x) 在点x=0处连续性 0 x=0 注:1)设y=f(x),4=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)=y-y-函数y在点x的增量。 2)等价定义1:函数∫在点x连续0,36>0,当|x-x0k时,|f(x)-f(x0)kE 注:一个定义是等价的,根据具体的问题选用不同的表述方式。 总的来讲,函数在点x连续的要求是:①f(x)在点x有定义;②imf(x)存在;③ limf(x)=f(x0)任何一条不满足,∫在点x就不连续。同时,由定义可知,函数在某点是可连续,是函 数在这点的局部性质。 5.f在点x左(右)连续定义 ①定义2设函数∫在点x点的右(左)近旁包括x点有定义,若limf(x)=f(x) (Iimf(x)=∫(x0)),则称∫在点x右(左)连续。 ②∫在点x连续的等价刻划 定理1函数∫在点x连续◇∫在点x既是右连续,又是左连续 x+2.x≥0 例:讨论函数∫(x)= 在点x=0的连续性 二连续函数的性质和运算 定理2(四则运算)若∫和g在x点连续,则f±g,f·g,(g(x)≠0)也都在点x连续 问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续? 定理3(复合函数的连续性)若∫在点x连续,记f(x)=0,函数g在l连续,则复合函数g°∫在 点x连续。 注1)据连续性定义,上述定理可表为:limg[f(x)=gf(x0)=g[limf(x).(即函数运算与极限 可以交换次序,条件是函数连续,利用它可来求一些函数的极限。) 三初等函数的连续性
《数学分析（1，2，3）》教案 2-9 例： 0 x R x x ,sin ,cos 在 0 x 处连续。 例： 2 lim(2 1) 5 (2) x x f → + = = 。 例：讨论函数 1 sin , 0 ( ) 0 , 0 x x f x x x = = 在点 x=0 处连续性。 注：1）设 0 0 y f x = ( )， 0 0 0 0 = − = + − = − y f x f x f x x f x y y ( ) ( ) ( ) ( ) ——函数 y 在点 0 x 的增量。 2）等价定义１：函数 f 在点 0 x 连续 0 lim 0 x y → = 。 3) 等价定义２：函数 f 在点 0 x 连续 0, 0 ，当 0 | | x x − 时， 0 | ( ) ( ) | f x f x − 。 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。 总 的 来 讲， 函 数在 点 0 x 连 续 的要 求 是： ① f x( ) 在 点 0 x 有定义；② 0 lim ( ) x x f x → 存在；③ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . 任何一条不满足， f 在点 0 x 就不连续。同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函 数在这点的局部性质。 ５． f 在点 0 x 左（右）连续定义 ① 定义２ 设 函 数 f 在 点 0 x 点 的 右 ( 左 ) 近 旁 包 括 0 x 点 有 定 义 ， 若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = （ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = ），则称 f 在点 0 x 右（左）连续。 ② f 在点 0 x 连续的等价刻划 定理 1 函数 f 在点 0 x 连续 f 在点 0 x 既是右连续，又是左连续。 例：讨论函数 2, 0 ( ) 2, 0 x x f x x x + = − 在点 x = 0 的连续性。 二 连续函数的性质和运算 定理 2（四则运算）若 f 和 g 在 0 x 点连续，则 0 , , ( ( ) 0) f f g f g g x g 也都在点 0 x 连续。 问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 定理 3（复合函数的连续性）若 f 在点 0 x 连续，记 0 0 f x u ( ) = ，函数 g 在 0 u 连续，则复合函数 g f 在 点 0 x 连续。 注 1) 据连续性定义，上述定理可表为： 0 0 0 lim [ ( )] [ ( )] [lim ( )] x x x x g f x g f x g f x → → = = .（即函数运算与极限 可以交换次序，条件是函数连续，利用它可来求一些函数的极限。） 三 初等函数的连续性
《数学分析(1,2,3)》教案 定理4任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。 定理5一切基本初等函数都是其定义域上连续函数 2.利用初等函数的连续性可计算极限 例:设lmu(x)=a>0,lim(x)=b,证明:limu(x)()=a。 例:求lmnm+x2) COS x 四不连续点的类型 不连续点分类 1)可移不连续点若limf(x)=A,而∫在点x无定义,或有定义但f(x0)≠A,则称x为f的可 去间断点 例如:x=0是函数f(x)=sgnx,g(x)= sin x 的可移不连续点 设x是f(x)的可移不连续点,且imnf(x)=A。令(1(x),x=x A,x≠x ,则x是f(x)的连续点 2)第一类不连续点若limf(x),limf(x)存在,但左右极限不相等,则称点x为函数∫的第一类不 连续点 例如,对y=[x],lim[x]=0,lim[x]=-1故x=0是它的第一类不连续点。 3)第二类不连续点左右极限至少有一不存在的点(即函数至少有一侧极限不存在的点)称为函数的 第二类不连续点 例如,x=0是函数一,sin-的第二类不连续点 五区间上连续函数的基本性质 性质1(最大、最小值定理)若∫在闭区间[a,b上连续,则∫在[a,b]上有最大值与最小值 性质2(有界性定理)若∫在[a,b]上连续,则∫在[a,b上有界。 注:上述性质成立的条件是充分的,而非必要的 性质3(介值定理)设∫在{a,b]上连续,且f(a)≠f(b)。若是介于f(a)和∫(b)之间的任何实数, 则至少存在一点x∈(a,b),使得f(x0)= 注表明若∫在[a,b]上连续,又∫(a)<∫(b)的话,则∫在[anb]上可以取得f(a)和∫(b)之间的一切 值。 性质4(根存在定理)若∫在[a,b]上连续,且f(a)和∫(b)异号(f(a)·f(b)<0),则至少存在 点x∈[a,b],使得f(x0)=0 几何意义若点A(a,f(a)和B(b,f(b)分别在x轴两侧,则连接A、B的曲线y=f(x)与x轴至少有
《数学分析（1，2，3）》教案 2-10 定理 4 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。 定理 5 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。 2．利用初等函数的连续性可计算极限 例：设 0 lim ( ) 0 x x u x a → = ， 0 lim ( ) x x v x b → = ，证明： 0 ( ) lim ( )v x b x x u x a → = 。 例：求 4 0 ln(1 ) lim cos x x → x + 。 四 不连续点的类型 不连续点分类 １） 可移不连续点 若 0 lim ( ) x x f x A → = ，而 f 在点 0 x 无定义，或有定义但 0 f x A ( ) ，则称 0 x 为 f 的可 去间断点。 例如： x = 0 是函数 sin ( ) | sgn |, ( ) x f x x g x x = = 的可移不连续点。 设 0 x 是 f x( ) 的可移不连续点，且 0 lim ( ) x x f x A → = 。令 0 0 ( ), ( ) , f x x x f x A x x = ，则 0 x 是 f x( ) 的连续点。 ２） 第一类不连续点 若 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 存在，但左右极限不相等，则称点 0 x 为函数 f 的第一类不 连续点。 例如，对 y x = [ ]， 0 0 lim[ ] 0, lim[ ] 1 x x x x → → + − = = − 故 x = 0 是它的第一类不连续点。 ３） 第二类不连续点 左右极限至少有一不存在的点（即函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数的 第二类不连续点。 例如， x = 0 是函数 1 x ， 1 sin x 的第二类不连续点。 五 区间上连续函数的基本性质 性质１（最大、最小值定理）若 f 在闭区间 [ , ] a b 上连续，则 f 在 [ , ] a b 上有最大值与最小值。 性质２（有界性定理）若 f 在 [ , ] a b 上连续，则 f 在 [ , ] a b 上有界。 注：上述性质成立的条件是充分的，而非必要的。 性质３（介值定理）设 f 在 [ , ] a b 上连续，且 f a f b ( ) ( ) 。若 是介于 f a( ) 和 f b( ) 之间的任何实数， 则至少存在一点 0 x a b ( , ) ，使得 0 f x( ) = 。 注 表明若 f 在 [ , ] a b 上连续，又 f a f b ( ) ( ) 的话，则 f 在 [ , ] a b 上可以取得 f a( ) 和 f b( ) 之间的一切 值。 性质４（根存在定理） 若 f 在 [ , ] a b 上连续，且 f a( ) 和 f b( ) 异号（ f a f b ( ) ( ) 0 ），则至少存在一 点 0 x a b [ , ] ，使得 0 f x( ) 0 = 。 几何意义 若点 A a f a ( , ( )) 和 B b f b ( , ( )) 分别在 x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线 y f x = ( ) 与 x 轴至少有