山东理工大学：《数学分析》第十五章 极值和条件极值

第十五章极值和条件极值 §1.极值和最小二乘法 极值 定义1设∫(x,y)在M(x,%)的邻域内成立不等式 f(x,y)≤f(x,y) 则称函数f(x,y)在点M6取到极大值,点M(x,y)称为函数的极大点,若在M0(x,y)的邻域内成立不 等式 f(x,y)≥f(x,y 则称函数f(x,y)在点M取到极小值,点M0(x,y)称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值,极 大点和极小点统称为极值点。 定义2设D是R内的一个区域,(x3)是D的一个内点,如果(x2)。y(x)=0,则称 (x0,y)是f的一个驻点。 根据费玛定理,可知 定理1二元函数的极值点必为9=2=0的点或至少有一个偏导数不存在的点 ax ay 注:定理1的条件是必要条件,而不是充分条件。 例 在(00)点 例:二=x在(0.0) 怎样进一步判断是否有极值? 定理2设∫在点(x0y)的某个邻域内有各个二阶连续偏导数,并且点(x0,y0)是∫的一个驻点, A B (x0,y0),B=(x0,y0) AC-B2,则:(1)若H>0.,A>0 则∫在点(x2y)有极小值;(2)若H>0,A0b>0)的极值。 例:求z=3ay-x3-y3的极值 多元函数的最大(小)值问题

《数学分析（1，2，3，）》教案 15-1 第十五章 极值和条件极值 §1. 极值和最小二乘法 一 极值 定义 1 设 f x y ( , ) 在 M x y 0 0 0 ( , ) 的邻域内成立不等式 f x y f x y ( , , )  ( 0 0 ) 则称函数 f x y ( , ) 在点 M0 取到极大值，点 M x y 0 0 0 ( , ) 称为函数的极大点，若在 M x y 0 0 0 ( , ) 的邻域内成立不 等式 f x y f x y ( , , )  ( 0 0 ) 则称函数 f x y ( , ) 在点 M0 取到极小值，点 M x y 0 0 0 ( , ) 称为函数的极小点。极大值和极小值统称为极值，极 大点和极小点统称为极值点。 定义 2 设 D 是 2 R 内的一个区域， ( x y 0 0 , ) 是 D 的一个内点，如果 ( 0 0 , ) 0 f x y x  =  ， ( 0 0 , ) 0 f x y y  =  ，则称 ( x y 0 0 , ) 是 f 的一个驻点。 根据费玛定理，可知 定理 1 二元函数的极值点必为 0 f f x y   = =   的点或至少有一个偏导数不存在的点。 注：定理 1 的条件是必要条件，而不是充分条件。 例： z xy = 在 (0,0) 点。 例： z x = 在 (0,0) 点。 怎样进一步判断是否有极值？ 定理 2 设 f 在点 ( , ) 0 0 x y 的某个邻域内有各个二阶连续偏导数，并且点 ( , ) 0 0 x y 是 f 的一个驻点， ( , ) 2 0 0 2 x y x f A   = ， ( , ) 2 0 0 2 x y y f C   = ， ( , ) 0 0 2 x y x y f B    = ， A B 2 H AC B B C = = − ，则：（1）若 H A   0, 0， 则 f 在点 ( , ) 0 0 x y 有极小值；（2）若 H A   0, 0 ，则 f 在点 ( , ) 0 0 x y 有极大值；（3）若 H  0 ，则 f 在点 ( , ) 0 0 x y 没有极值；（4）若 H = 0 ，则须进一步判断。 例：求 (1 ) b y a x z = xy − − (a  0,b  0) 的极值。 例：求 3 3 z axy x y = − − 3 的极值。 多元函数的最大（小）值问题

设函数∫(x,y)在某一有界闭区域D中连续且可导,必在D上达到最大(小)值。若这样的点M0位于 区域内部,则在这点显然函数有极大(小)值。因此,在这种情形函数取到最大(小)值的点必是极值点之 然而函数f(x,y)的最大(小)值最可能在区域的边界上达到。因此,为找出函数=f(x,y)在区域D 上的最大(小)值,必须找出一切有极值的内点,算出这些点的函数值,再与区域边界上的函数值相比较 这些数值中最大数(或最小数)就是函数在闭区域D上的最大(小)值。通常可根据问题的实际意义来判断 例:有一块宽24cm的矩形薄铁皮,把两边折起来,做成一个梯形水槽,问x和θ各自为何值时,水槽的流 量是最大? 例:试在x轴,y轴与直线x+y=2围成的三角形区域上求函数=sinx+siny-sin(x+y)的最大值 二最小二乘法 例:已知(x,T),(x2T2),…(xn,T)服从线性关系:y=ax+b 问:如何根据这组数据来合理地确定系数a和b? 解:总偏差为 E=∑(7-ax-b) x 确定系数a,b,使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令 0 即可解得a,b。 几个疑间:1)如果m∑x2)-∑x2=0怎么办?2)这样求出的a、b就是达到极小值的点?3)在 选取a、b时,为什么不取各个偏差的代数和∑G作为总偏差? 例:已知y=ax2+bx+c,现测得一组数据(x,y),i=1,2,…n,利用最小二乘法,求系数a,b,c所满 足的三元一次方程组。 §2条件极值 何谓条件极值 在讨论极值问题时,往往会遇到这样一种情形,就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定 点(x0,y0,=0)到一曲面G(x,y,=)=0的最短距离问题,就是这种情形。我们知道点(x,y,=)到点(x0,y0,=0) 15-2

《数学分析（1，2，3，）》教案 15-2 设函数 f (x, y) 在某一有界闭区域 D 中连续且可导，必在 D 上达到最大（小）值。若这样的点 M0 位于 区域内部，则在这点显然函数有极大（小）值。因此，在这种情形函数取到最大（小）值的点必是极值点之 一。然而函数 f (x, y) 的最大（小）值最可能在区域的边界上达到。因此，为找出函数 z = f (x, y) 在区域 D 上的最大（小）值，必须找出一切有极值的内点，算出这些点的函数值，再与区域边界上的函数值相比较， 这些数值中最大数（或最小数）就是函数在闭区域 D 上的最大（小）值。通常可根据问题的实际意义来判断。 例：有一块宽 24cm 的矩形薄铁皮，把两边折起来，做成一个梯形水槽，问 x 和  各自为何值时，水槽的流 量是最大？ 例：试在 x 轴， y 轴与直线 x y + = 2 围成的三角形区域上求函数 u x y x y = + − + sin sin sin( ) 的最大值。 二 最小二乘法 例：已知 1 1 ( , ) x T ， 2 2 ( , ) x T ，…( , ) n n x T 服从线性关系： y = ax + b 问：如何根据这组数据来合理地确定系数 a 和 b ？ 解：总偏差为 ( ) 2 1 n i i i  T ax b = = − −  ， 确定系数 a b, ，使总偏差最小。这种确定系数的方法叫做最小二乘法。令 0 0 a b    =    =   即可解得 a b, 。 几个疑问：1）如果 ( ) 0 1 2 1 2  − = = = n i i n i i n x x 怎么办？2）这样求出的 a、b 就是达到极小值的点？3）在 选取 a、b 时，为什么不取各个偏差的代数和 = n i i 1  作为总偏差？ 例：已知 2 y ax bx c = + + ，现测得一组数据 ( x y i i , ) ，i n =1, 2, , ，利用最小二乘法，求系数 abc , , 所满 足的三元一次方程组。 §2 条件极值 一 何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定 点 ( , , ) 0 0 0 x y z 到一曲面 G(x, y,z) = 0 的最短距离问题，就是这种情形。我们知道点 (x, y,z) 到点 ( , , ) 0 0 0 x y z

的距离为F(x,y,=)=√x-x)2+(y-10)2+(二-二0)2。现在的问题是要求出曲面G(x,y,=)=0上的点 (x,y,=)使F为最小。即,问题归化为求函数F(x,yz)在条件G(x,y,z)=0下的最小值问题。 又如,在总和为C的几个正数x1,x2…xn的数组中,求一数组,使函数值∫=x12+x2+…+xn为最 小,这是在条件x+x2+…+xn=C(x1>0)的限制下,求函数∫的极小值问题。这类问题叫做条件极值 问题。 二条件极值的必要条件 为了方便起见,同时又不不失一般性,我们仅讨论以下情形 前提:设函数∫(x,yu,v)具有对各个变元的连续偏导数,而这些变元x,y,u,v之间又受到以下条件的限制: g(x,y, u,v)=0 h(x,y, u,v)=0 其中g(xy)和xyxT)都具有对各个变元的连续偏导数,并且它们的行列式D83≠0 目标:我们要求函数f(x,y,,)在限制条件g=0,h=0下的极值的必要条件。 定理1(限制极值的必要条件)∫(x,y,a,v)在限制条件 jg(x,y, u,v)=0 下于点(x0,y,0,v0)取得极值, h(x,y, u,v)=0 那么必存在常数λ1,2使得在该点有: gradf(o, yo, lo, vo)=ggradg(xo, yo, lo, vo)+ngradh(xo, yo, Lo, Vo) 称A1,A2是 lagrange乘数(待定乘数) 这一结果可推广靠n元函数 三条件极值的求法 在具体解题时,例如在限制条件 「g(x,y,,)=0 h(x,y,l1)=0下求f(x,y4)的极值,可如下进行: 引入函数L( lagrange函数):L(x,y,u,v)=f(x,y,,v)-g(x,y,,v)-2h(x,y,,v) 2.求L的极值(视x,y,l,v为独立变量):由 OL =(x,y,l2v) 0 (x, y, u,v)-1 ag =0 (x, y, u,v) (x,y,v)- ag =0 15-3

《数学分析（1，2，3，）》教案 15-3 的距离为 2 0 2 0 2 0 F(x, y,z) = (x − x ) + (y − y ) + (z − z ) 。现在的问题是要求出曲面 G(x, y,z) = 0 上的点 (x, y,z) 使 F 为最小。即，问题归化为求函数 F(x, y,z) 在条件 G(x, y,z) = 0 下的最小值问题。 又如，在总和为 C 的几个正数 n x , x , x 1 2 的数组中，求一数组，使函数值 2 2 2 2 1 n f = x + x ++ x 为最 小，这是在条件 x1 + x2 ++ xn = C (  0) i x 的限制下，求函数 f 的极小值问题。这类问题叫做条件极值 问题。 二 条件极值的必要条件 为了方便起见，同时又不不失一般性，我们仅讨论以下情形。 前提：设函数 f (x, y,u,v) 具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元 x, y,u, v 之间又受到以下条件的限制：    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 h x y u v g x y u v 其中 g(x, y,u,v) 和 h(x, y,u, v) 都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的行列式 ( , ) 0 ( , ) D g h D u v  。 目标：我们要求函数 f (x, y,u,v) 在限制条件 g = 0, h = 0 下的极值的必要条件。 定理 1（限制极值的必要条件） f (x, y,u,v) 在限制条件    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 h x y u v g x y u v 下于点 ( , , , ) 0 0 0 0 x y u v 取得极值， 那么必存在常数 1， 2 使得在该点有： 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 grad ( , , , ) grad ( , , , ) grad ( , , , ) f x y u v g x y u v h x y u v = +   称 1， 2 是 lagrange 乘数（待定乘数）。 这一结果可推广靠 n 元函数。 三 条件极值的求法 在具体解题时，例如在限制条件    = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 h x y u v g x y u v 下求 f (x, y,u,v) 的极值，可如下进行： 1． 引入函数 L （ lagrange 函数）： ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) 1 2 L x y u v = f x y u v − g x y u v − h x y u v 。 2． 求 L 的极值（视 x, y,u, v 为独立变量）：由 ( , , , ) 1 2 = 0   −   −   =   x h x g x y u v x f x L   ， ( , , , ) 1 2 = 0   −   −   =   y h y g x y u v y f y L   ， ( , , , ) 1 2 = 0   −   −   =   u h u g x y u v u f u L   ， ( , , , ) 1 2 = 0   −   −   =   v h v g x y u v v f v L  

《数学分析(1,2,3,)》教案 g(x,y,u,v)=0,h(x,y,a,v)=0。 解得可能的极值点。 3.求L的二阶全微分d2L。若d2L>0,则f(x,y,L,y)取得极小值:若d2L<0,则f(x,y,u,v)取 得极大值 例:求空间内一点(a,b,C)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离 例:要制造一容积为16m3的无盖长方形水箱,问水箱长、宽、高为多少时,所用材料最省?

《数学分析（1，2，3，）》教案 15-4 g(x, y,u,v) = 0 ， h(x, y,u,v) = 0 。 解得可能的极值点。 3. 求 L 的二阶全微分 2 d L 。若 2 d L  0 ，则 f (x, y,u,v) 取得极小值；若 2 d L  0 ，则 f (x, y,u,v) 取 得极大值。 例：求空间内一点 (a,b, c) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离。 例：要制造一容积为 16 3 m 的无盖长方形水箱，问水箱长、宽、高为多少时，所用材料最省？