山东理工大学：《数学分析》第十四章 多元函数微分学

《数学分析(1,2,3)》教案 第十四章多元函数微分学 §1偏导数和全微分的概念 偏导数的定义 偏导数定义 定义1设f(x,y)是一个二元函数,定义在R2内某一个开集D内,点(x0,y)∈D,在f(xy)中固 定y=y,那么f(x,y)是一个变元x的函数,如果f(x,y)在点x0可导,即如果 lim f(xo+Ax, yo)-f(xo, y (1) Ax→>0 存在,则称此极限值为二元函数/(x)在点(x,)关于x的偏导数。记为(2,(而,x) 类似地可定义9(,) 2.偏导数的计算 例:设f(xy)=习,求偏导数f, 例: 求 2=xcsx,求x和x3 例:U=x2+y2+yzex求l2 3.偏导数和连续 若f(x,y)在点(x,y)关于x(或y)可导,则f(xy)在(x,y)关于x(或y)连续。但不能推出f(x,y) 关于两个变量是连续的。见下面的例子 例:(xy)={x+y2(xy)≠(00 (x,y)=(0,0) f(,y) =x或y=y 其它 4.偏导数的几何意义 (10.f(x,y)就是曲线x=xy=y0,=f(xy)在M6(x,y,=)的切向量 14-1

《数学分析（1，2，3）》教案 14-1 第十四章 多元函数微分学 §1 偏导数和全微分的概念 一 偏导数的定义 1． 偏导数定义 定义 1 设 f x y ( , ) 是一个二元函数，定义在 2 R 内某一个开集 D 内，点（ 0 x ， 0 y ）  D， 在 f x y ( , ) 中固 定 0 y y = ,那么 f x y ( , 0 ) 是一个变元 x 的函数，如果 f x y ( , 0 ) 在点 0 x 可导，即如果 0 lim x → f x x y f x y ( 0 0 0 0 , , ) ( ) x +  − −  (1) 存在，则称此极限值为二元函数 f x y ( , ) 在点（ 0 x , 0 y ）关于 x 的偏导数。记为 f x y ( 0 0 , ) x   ， f x y x ( 0 0 , ) 。 类似地可定义 f x y ( 0 0 , ) y   。 2． 偏导数的计算 例: 设 f x y xy ( , ) = ，求偏导数 f x ， f y 。 例： z x xy = cos ，求 x z 和 y z 。 例：U= 2 x + 2 y +yz x−8 e 求 x u ， y u ， z u 。 3. 偏导数和连续 若 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 关于 x （或 y ）可导，则 f x y ( , ) 在 ( x y, ) 关于 x （或 y ）连续。但不能推出 f x y ( , ) 关于两个变量是连续的。见下面的例子。 例： ( ) 2 2 , 0 xy f x y x y   =  +   ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) =  x y x y ； ( ) 2 , 1 f x y  =   0 0 x x y y = = 或 其它 。 4. 偏导数的几何意义 (1,0, , f x y x ( 0 0 )) 就是曲线 x x y y u f x y = = = , , , 0 0 ( ) 在 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的切向量

《数学分析(1,2,3)》教案 (0.f(x,y)就是曲线x=x,y=y=f(x,y)在M6(x,y)的切向量 全微分的定义 二元函数微分的定义 定义2若函数u=f(x,y)的全改变量△可表示为 △M=f(x+Ax,y+Ay)-f(xy)=AAx+BAy+o(√△x2+Ay 且其中A,B与Ax,△y无关而仅与x,y有关,则称函数f(x,y)在点(x,y)可微,并称AAx+B△y为 f(x,y)在点(xy)的全微分,记为dhm,即 d=AAx+B△y 性质1如果∫在点(x0,y0)可微,则A=(x, 注:若u=f(x,y)在点(x,y)可微,则d=f(xy)a+f(x,y)。 性质2若∫在点(x0’y)可微,则f在点(x0,y)连续。 例:设 (xy)={x+yp,x+y2≠0 证明∫(x,y)在(0.0)点不可微。 定理1设函数∫的两个偏导数 af af 在点(x0,y)存在而且都连续,则∫在点(x0,y)可微。 例:设u=xy-sinx2y,求dh 三高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数的高阶导数,可以定义高阶偏导数。 例:设z=x3y2+ cos xy,求 a= a 8= a2-a 注:一般情况下,未必有un=ly 例,设(x)={2+y(x=0,可求得,(00=1,(00=1 0 14-2

《数学分析（1，2，3）》教案 14-2 (0,1, , f x y y ( 0 0 )) 就是曲线 x x y y u f x y = = = 0 0 , , , ( ) 在 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的切向量。 二 全微分的定义 二元函数微分的定义 定义 2 若函数 u f x y = ( , ) 的全改变量 u 可表示为 u = f ( x + x , y + y ) − f x y ( , ) = A x + B y + o ( 2 2 x + y ) 且其中 A B, 与 x ， y 无关而仅与 x y , 有关，则称函数 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 可微，并称 A x B y  +  为 f x y ( , ) 在点 ( x y, ) 的全微分，记为 du ，即 du A x B y =  +  。 性质 1 如果 f 在点（ 0 x , 0 y ）可微，则 f x y ( 0 0 , ) A x  =  ， f x y ( 0 0 , ) B y  =  。 注：若 u f x y = ( , ) 在点 ( x y, ) 可微，则 du f x y dx f x y dy = + x y ( , , ) ( ) 。 性质 2 若 f 在点（ 0 x ， 0 y ）可微，则 f 在点（ 0 x ， 0 y ）连续。 例：设 ( ) 2 2 2 2 2 2 , 0 , 0, 0 xy x y f x y x y x y  +   =  +   + = 证明 f x y ( , ) 在 (0, 0) 点不可微。 定理 1 设函数 f 的两个偏导数 x f   ， y f   在点（ 0 x ， 0 y ）存在而且都连续，则 f 在点（ 0 x ， 0 y ）可微。 例：设 2 u xy x y = −sin ，求 du 。 三 高阶偏导数与高阶全微分 类似于一元函数的高阶导数，可以定义高阶偏导数。 例：设 3 2 z x y xy = + cos ，求 x z   ， y z   ； 2 2 x z   ， y x z    2 ； 3 3 x z   ， y x z    2 3 。 注：一般情况下，未必有 xy yx u u = 。 例： 设 ( ) 2 2 2 2 , 0 x y xy f x y x y  −  =  +   ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) =  x y x y ，可求得 f xy (0,0 1 ) = − ， f yx (0,0 1 ) =

《数学分析(1,2,3)》教案 定理2设二元函数的两个混合偏导数∫,∫在(x,y)连续,则有∫(x,y)f(x0,y0) §2求复合函数求导的链式法则 复合函数求导的链式法则 定理1(链式法则)设=f(xy),x=p(s,1),y=(,1),此时∫在点(x,y)可微,又x和y都在点(1) 关于s,t的偏导数存在,则 at ax at ay at 说明:(1)几种特殊情形:定理1显然讲的是2个中间变量,2个自变量的情形,但其思想方法完全适用与其 它情形: 1)=f(x,y),x=x(1),y=y().则 2)设u=f(x,y,1),x=x(S,D),y=y(S,1).则 as ax as as at as at ax at ay at at at 例:设=f(x1)在R2内有关于u和的二阶连续偏导数,又设=x2y,y=2。求2, (2)计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数,只要重复运用链式法则即可 (3)有时,为书写上方便,记=9,即/(xn)关于第一个变量m的偏导数 =9,即(x关于第一个变量的偏导数f1=可,后1=,2=y au? 例:设厂二阶可微,=f(x2c2)求,在 例:设∫二阶可微,z=f(x2-2y2),求 (4)链式法则链式法则中的条件是充分的,并非必要的。在使用链式法则时,要注意∫的可微性条件,如 果不满足这一条件,链式法则不一定成立 14-3

《数学分析（1，2，3）》教案 14-3 定理 2 设二元函数的两个混合偏导数 f xy ， f yx 在( 0 x ， 0 y )连续，则有 f xy ( 0 x , 0 y )= f yx ( 0 x , 0 y )。 §2 求复合函数求导的链式法则 一 复合函数求导的链式法则 定理 1（链式法则）设 u f x y = ( , )，x s t y s t = =   ( , , , ) ( ) ，此时 f 在点 （x y, ） 可微，又 x 和 y 都在点 ( , ) st 关于 st , 的偏导数存在，则 ; . u u x u y s x s y s u u x u y t x t y t      =  +            =  +       说明：(1) 几种特殊情形：定理 1 显然讲的是 2 个中间变量，2 个自变量的情形，但其思想方法完全适用与其 它情形： 1） u f x y x x t y y t = = = ( , ), ( ), ( ). 则 u u x u y t x t y t      =  +       。 2）设 u f x y t x x s t y y s t = = = ( , , ), ( , ), ( , ). 则 u u x u y u zt s x s y s t s u u x u y u t t x t y t t t        =  +  +                =  +  +         例： 设z = f (u,v)在R 2内有关于u和v的二阶连续偏导数， 又设 x y u = x y,v = 2 。求 。 y z x z     , （2） 计算复合函数的两阶及两阶以上偏导数，只要重复运用链式法则即可。 （ 3 ） 有 时 ， 为 书 写 上 方 便 ， 记 ( , ) ; ' 1 ，即f u v 关于第一个变量u的偏导数 u f f   = ( , ) ; ' 2 ，即f u v 关于第一个变量v的偏导数 v f f   = 2 2 ' 22 2 ' 2 12 ' 11 , v f f u v f f u f f   =    =   = ， 。 例： 2 2 2 ( , ), , x dz dz f z f x e dx dx 设 二阶可微， = 求 。 例： 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 ), , , . d z z z f z f x y x y x y    = −     设 二阶可微， 求 （4）链式法则链式法则中的条件是充分的，并非必要的。在使用链式法则时，要注意 f 的可微性条件，如 果不满足这一条件，链式法则不一定成立

《数学分析(1,2,3)》教案 阶微分形式不变性 阶微分有个很重要性质一—一形式不变性。在二元函数中也有类似的性质 设二=f(x,y)是二元可微函数,如果x,y是自变量,则 az d=d+d.(dx,d各自独立变量) 如果x,y不是自变量而是中间变量,x=x(u,v),y=y(u,v),又设x,y都可微,并且f,x,y可以构成复合函 dz=-du +-dv az ax az ay ax az ay (d,d如上,由u,v,dh,d决定) 由(1),(2)的d可知一阶微分形式的不变性。 注意(1)两阶微分没有这一性质,如下例 例:设二=x+y,x=l2,y=l+V.z=u2y++.则 a dudy+--dv=2vdu+ 4ududy 如果二阶微分只有形式不变性,则有: d==dx+2-dxdy+dy axon 但 =0,从而d2z=0 (2)利用一阶微分形式不变性求偏导数 例:设z=esin(x+y),利用微分形式不变性求d,并求出 (3)高阶微分不具有形式不变性 §3由方程(组)所确定的函数的求导法 在此之前,我们所接触的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如 14-4

《数学分析（1，2，3）》教案 14-4 二 一阶微分形式不变性 一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在二元函数中也有类似的性质。 设 z = f (x, y) 是二元可微函数，如果 x, y 是自变量，则： dy. y z dx x z dz   +   = （ dx,dy 各自独立变量） （1） 如果 x, y 不是自变量而是中间变量， x = x(u,v), y = y(u,v), 又设 x, y 都可微，并且 f , x, y 可以构成复合函 数，那么： dv v z du u z dz   +   = ( , 如上，由 , , , 决定)。 . ( ) ( ) ( ) ( ) dx dy u v du dv dy y z dx x z dv v y du u y y z dv v x du u x x z v y y z v x x z u y y z su x x z   +   =   +     +   +     =     +      +      +      = （2） 由（1），（2）的 dz 可知一阶微分形式的不变性。 注意（1）两阶微分没有这一性质，如下例。 例：设 2 z x y x u v y u v = + = = + , , . 2 z u v u v = + + . 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 z z z d z du dudv dv vdu ududv u u v v    = + + = +     如果二阶微分只有形式不变性，则有： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy y z dxdy x y z dx x z d z   +    +   = 但 2 2 2 2 2 2 0 0 z z z d z x x y y    = + = =     ，从而 （2）利用一阶微分形式不变性求偏导数 例：设 sin( ) , xy z e x y = + 利用微分形式不变性求 dz, 并求出 , . z z x y     （3）高阶微分不具有形式不变性。 §3 由方程（组）所确定的函数的求导法 在此之前，我们所接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如

《数学分析(1,2,3)》教案 y=x+5,u=e(sin xy +sin y=) 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数,其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数 本节将介绍由一个方程F(x,y,=)=0所确定的隐函数求导法以及由方程组 F(x,y,=,u,v)=0 G(x,y.n)=0 所确定 的隐函数求导法。 一个方程F(x,y,)=0的情形 对F(x,y,z)=0关于x,y求导,利用链式法则: aF aFaF az z OF aF az z =0三 (F≠0) x az ax x a= a az 说明:(1)求,需要假定a(F)≠0,这一假设是很重要的:(2)这里只用到了“链式法则 (3)对F(x,y,z)=0求导,只在假定z是x和y的函数的情况下,求导数,如何确定z=x(x,y)。 例:设 求 例:设F二阶可微,F(x,y-,x=)=0,求x,=y,y 方程组的情形 设由方程组 ∫F(xy=1)=0 (x2a")=D确定了,是x,y的函数:u=(x,y,=)V=(xy2)并且它们具 有对各个变元的连续偏导数,如何求偏导数? FF F y F 「F+Fu,+FV=0 GG 解决方案 IG, +G, u,+G,v,=0 FF FF 求,",及u,v的方法与求n2"2完全相同 例:设x=r0sO,y=rinO,求rn,rO,, x+v+=+u+v=0 例:设 x2+y2+z2+u2+y2=2 14-5

《数学分析（1，2，3）》教案 14-5 5 , (sin sin ) xyz y x u e xy yz = + = + 这种形式的函数称为显函数。但在不少场合常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则 是由一个方程式所决定的。这种形式的函数称为隐函数。 本节将介绍由一个方程 F(x, y,z) = 0 所确定的隐函数求导法以及由方程组    = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 所确定 的隐函数求导法。 一 一个方程 F(x, y,z) = 0 的情形 对 F(x, y,z) = 0 关于x，y求导，利用链式法则： 0 ( 0); 0 ( 0) z z F F F F z z F F z z x y F F x z x x x z y y F F z z             + =  = −  + =  = −              说明：（1） 求 y z x z     , 需要假定 ( )  0,   Fz z F ，这一假设是很重要的；（2） 这里只用到了“链式法则”； （3） 对 F(x, y,z) = 0 求导，只在假定 z是x和y 的函数的情况下，求导数，如何确定 z = z(x, y) 。 例： 设 2 2 2 2 2 2 2 x y z r a b c + + = ，求 y z x z     , 。 例： 设 F 二阶可微， F xy y z xz ( , , ) 0 − = ，求 x y xy z ,z ,z 。 二 方程组的情形 设由方程组    = = ( , , , , ) 0 ( , , , , ) 0 G x y z u v F x y z u v 确定了 u,v是x, y,z的函数：u = u(x, y,z), v = v(x, y,z) 并且它们具 有对各个变元的连续偏导数，如何求偏导数？ 解决方案： 0 0 x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v  + + =   + + =  x v x v x u v u v F F G G U F F G G = y x u x x u v u v F F G G V F F G G = 求 , , y y z z x x u v u v u v 及 ， 的方法与求 完全相同。 例：设 x y x y x = r cos , y = rsin  ,求r ,r  , 。 例：设 2 2 2 2 2 0 , , , , 2 u u uu uu x y z u v x y x y x y z u v  + + + + =   + + + + = 求

《数学分析(1,2,3)》教案 例:设n=x+y,=x-y,m=xy-=,变换方程+25+=0 §4空间曲线的切线与法平面 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 参数方程的情形 设空间曲线l的参数方程为 x(1) y=y(1)(a≤t≤b) 二=z(D) 其中t的参数。又设x',y’,z'都在[a,b]连续,并且对每t∈[a,b],x'(t),y(t),=(t)不全为0,这样的曲线称 为光滑曲线。通过曲线上任一点M6(x2y,=0)的切线定义为割线的极限位置,由此就可写出曲线/在任 点M0(x2,y,二0)的切线方程为 X-xo r-yo Z-= (0)y(0)=(0) 法平面:过点M可以作无穷多条切线与切线垂直,所有这些直线都在同一平面上,称这个平面为曲线/在点 M处的法平面,其方程为 x(t0)(X-x0)+y(t0(Y-y)+2(0Z-二0)=0 例:求螺旋线l:x= a cost,y= asin t,z=ct,(其中a,b,c为常数)在点(a,0,0)的切线方程和法平 面方程。 如果曲线方程由下式表示 则过点M0的切线方程为 X Vo y(x)(x0) 过点M0的法平面方程为 (X-x)+y(x0)(-y)+(x0(Z-=0)=0 空间曲线是用两个曲面的交线表示: 14-6

《数学分析（1，2，3）》教案 14-6 例：设 u x y = + ， v x y = − ， w xy z = − ，变换方程 2 2 2 2 2 2 0 z z z x x y y    + + =     。 §4 空间曲线的切线与法平面 本节主要讨论由参数方程表示的空间曲线和由方程组表示的空间曲线的切线和法平面的计算问题。 参数方程的情形 设空间曲线 l 的参数方程为 ( ) ( ) ( ) x x t y y t z z t  =   =   = ( ) a t b   其中 t 的参数。又设 x y z    , , 都在 [ , ] a b 连续，并且对每一 t a b x t y t z t [ , ], ( ), ( ), ( )    不全为 0，这样的曲线称 为光滑曲线。通过曲线上任一点 M x y z 0 0 0 0 ( , , ) 的切线定义为割线的极限位置，由此就可写出曲线 l 在任一 点 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 的切线方程为： 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) X x Y y Z z x t y t z t − − − = =    。 法平面：过点 M0 可以作无穷多条切线与切线垂直，所有这些直线都在同一平面上，称这个平面为曲线 l 在点 M0 处的法平面，其方程为： 0 0 0 0 0 0 x t X x y t Y y z t Z z    ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 − + − + − = 。 例：求螺旋线 l ： x a t y a t z ct = = = cos , sin , ，（其中 abc , , 为常数）在点（ a ，0，0）的切线方程和法平 面方程。 如果曲线方程由下式表示： y y x = ( )， z z x = ( )。 则过点 M0 的切线方程为 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) X x Y y Z z y x z x − − − = =   ， 过点 M0 的法平面方程为 0 0 0 0 0 ( ) ( )( ) ( )( ) 0 X x y x Y y z x Z z − + − + − =   。 空间曲线 l 是用两个曲面的交线表示：

《数学分析(1,2,3)》教案 又设F,G关于x,y,z有连续的偏导数 D(FG D(F,G) y(x) D(x,y) D(F,G DOF.G 例,求两柱面的交线在点M万 的切线方程和法平面方程 §5曲面的切平面与法线 1、设光滑曲面的方程F(xy,=)=0,M(x,为,0)为曲面上一点,过点M的切平面方程为 (Fx)Mn(X-x0)+(Fy)Mn(Y-y)+(F)M(2--0)=0 过点M并与切线平面垂直的直线,称为曲线在点M的法线,方程为 2、若曲面方程为z=f(xy),则曲面过M(x0,y02=)的切平面方称为 )(x-x0)+(=)1,(-y)-(2-0)=0 法线方柱:_三 ar(xoyo) 3、曲面方程由方程组给出: 给出,其中v是参数。则曲面过M0(xy,二0)的切平面方称为 Dxn24(x-+)+( (Y-y)+( a(=,y) o(u d(u,v) 法线方程为:ax一 例:求曲面==x2+y2-1在点(2,1,4)的法向量的方向余弦,并求其法线方程和切平面方程。 例:证明对任何常数,球面x2+y2+2=p2和锥面x2+y2=g2正交。 147

《数学分析（1，2，3）》教案 14-7    = = ( , , ) 0 ( , , ) 0 G x y z F x y z 。 又设 F ，G 关于 x y z , , 有连续的偏导数， ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) D F G D z x y x D F G D y z  = ； ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) D F G D x y z x D F G D y z  = 例：求两柱面的交线     + = + = 1 1 2 2 2 2 x z x y 在点 0 111 ( , , ) 222 M 的切线方程和法平面方程。 §5 曲面的切平面与法线 1、设光滑曲面的方程 F(x, y,z) = 0 ， ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 为曲面上一点，过点 M0 的切平面方程为： ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 0 Fx M X − x + Fy M Y − y + Fz M Z − z = 。 过点 M0 并与切线平面垂直的直线，称为曲线在点 M0 的法线，方程为： 0 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 x M y M Fz M Z z F Y y F X x − = − = − 。 2、若曲面方程为 Z = f (x, y) ，则曲面过 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 的切平面方称为 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x y x y z z X x Y y Z z x y   − + − − − =   法线方程： 1 ( ) ( ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0 0 0 0 0 Z z y z Y y x z X x x y x y − =   − − =   − − 。 3、曲面方程由方程组给出： x = x(u,v)， y = y(u,v)， z = z(u,v) 给出，其中 u,v 是参数。则曲面过 0 0 0 0 M x y z ( , , ) 的切平面方称为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) M M M D y z z x z y X x Y y Z z D u v u v u v   − + − + − =   。 法线方程为： 0 0 0 ) ( , ) ( , ) ) ( ( , ) ( , ) ) ( ( , ) ( , ) ( 0 0 0 M M M u v z y Z z u v z x Y y u v y z X x   − =   − =   − 例：求曲面 1 2 2 z = x + y − 在点（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法线方程和切平面方程。 例：证明对任何常数 , ，球面 2 2 2 2 x + y + z =  和锥面  2 2 2 x + y = tg 正交

《数学分析(1,2,3)》教案 §6方向导数和梯度 方向导数 在许多实际问题中,常常需要知道函数∫(x,y,-)在一点P沿任何方向或某个方向的变化率 定义1设D是R2中的一个区域,f是D内一个函数,P∈D,是一个方向向量,令P→>P,如果 lim f(P)-f(P) 存在,则称此极限是f(x,y=)在点P沿方向的方向导数,记为()。它表示/在点沿方向的变化率 定理1设函数∫在点B可微,则∫在点路沿任何方向1的方向导数存在,并且有 ar o)=(o)cosa+ ar(Po P+e(PS,cosy ay 其中cosa,cosB,cosy是方向的方向余弦 例:设u=x-y2=+e,求u在点(1,0,2)沿方向(2,1,-1)的方向导数 设D是R2中的一个区域,f(x,y)是D内的一个二元可微函数,那么在D内每一点(x,y),f沿单位向量l 的方向导数是 cosa+-sina 其中a是x轴的正向(即x轴上单位向量i)和向量之间的夹角 二梯度 引言 在一个数量场中,在给定点沿不同的方向,其方向导数一般是不相同的,现在我们所关心的是:沿哪 个方向其方向导数最大?其最大值是多少?为此引进一个很重要的概念——梯度。 2、梯度的定义 定义2设u=f(x,y,)定义于某个三维区域D内,又设函数∫具有关于各个多元的连续偏导数,称向量 af(x,ys-i+ x,y, k 是∫在点(x,y,=)的梯度,记为grad,即 8ad=可(x,y,1+9(x,y,2);+(x,y2) 它的长度为 14-8

《数学分析（1，2，3）》教案 14-8 §6 方向导数和梯度 一 方向导数 在许多实际问题中，常常需要知道函数 f x y z ( , , ) 在一点 P 沿任何方向或某个方向的变化率。 定义 1 设 D 是 3 R 中的一个区域， f 是 D 内一个函数， P D 0  ，l 是一个方向向量，令 P P '→ ，如果 ' ( ') ( ) lim ' P P f P f P PP → −− − 存在，则称此极限是 f x y z ( , , ) 在点 P0 沿方向 l 的方向导数，记为 ( ) P0 l f   。它表示 f 在点 P0 沿方向 l 的变化率。 定理 1 设函数 f 在点 P0 可微，则 f 在点 P0 沿任何方向 l 的方向导数存在，并且有   cos ( ) cos ( ) cos ( ) ( ) 0 0 0 0 z f P y f P x f P P l f   +   +   =   其中 cos,cos ,cos 是方向 l 的方向余弦。 例：设 x u = xy − y z + ze 2 ，求 u 在点（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向导数。 设 D 是 2 R 中的一个区域， f (x, y) 是 D 内的一个二元可微函数，那么在 D 内每一点 (x, y) ，f 沿单位向量 l 的方向导数是 cos sin y f x f l f   +   =   ， 其中  是 x 轴的正向（即 x 轴上单位向量 i ）和向量 l 之间的夹角。 二 梯度 1、引言 在一个数量场中，在给定点沿不同的方向，其方向导数一般是不相同的，现在我们所关心的是：沿哪一 个方向其方向导数最大？其最大值是多少？为此引进一个很重要的概念——梯度。 2、梯度的定义 定义 2 设 u f x y z = ( , , ) 定义于某个三维区域 D 内，又设函数 f 具有关于各个多元的连续偏导数，称向量 f x y z f x y z f x y z ( , , ) ( , , ) ( , , ) i j k x y z    + +    是 f 在点 ( , , ) x y z 的梯度，记为 gradu ，即 ( , , ) ( , , ) ( , , ) grad f x y z f x y z f x y z u i j k x y z    = + +    。 它的长度为

《数学分析(1,2,3)》教案 av 注:它是一个向量,是由数量场∫产生的向量。 gradf的性质 设f,g可微,则 (1)grad(∫+g)= gradf+ grade:grad(qf)=c· gradf(c是常数) (2)grad(∫·g)= f grade+ g gradf;(3)grad()= f·grad(O)- g gradf (g≠0) g (4)grad(o((x,y:)=q(u)x2grad(x,y.)(o在n=(x)可微) 例:设在空间原点处有一个点电荷q,在真空中产生一个静电场,在空间任一点(xy,=)处的电位是 grad=-9 4、 gradu的意义 gradu的方向表示数量场u沿此方向的方向导数达到最大; gradu的根长就是这个最大的方向导数 例:求数量函数u=x2+xy2在(11,1)的梯度及其大小 §7泰勒公式 定理1设函数f(xy)在点(xy)内对x及y具有直到n+1阶连续偏导数。对D内任意一点(x,y), 设△x=x-x,4y=y-y,则 f(ro+h, yo +k)=f(xo, yo)+2(o, yo)h+2(o, yo)k+-(h+k)f(xo, yo)+ +一(h+k)”f(x0,y)+ (n+1)! (h+k)f(x +Oh, yo+Ok (h+k)f(x0,y)+ (h+k)f(xo+Oh, yo +ek) n 14-9

《数学分析（1，2，3）》教案 14-9 2 2 2 grad uuu u x y z        = + +                。 注：它是一个向量，是由数量场 f 产生的向量。 3、 gradf 的性质： 设 f , g 可微，则 （1） grad( ) grad grad f g f g + = + ； grad( ) grad cf c f =  （ c 是常数）。 （2） grad( ) grad grad f g f g g f  =  +  ； （3） 2 grad( ) grad grad( ) f f f g f g g  −  = （ g  0 ） （4） ( , , ) grad( ( ( , , )) ( ) grad ( , , ) u f x y z   f x y z u f x y z = =   （ (u) 在 u = f (x, y,z) 可微） 例：设在空间原点处有一个点电荷 q ，在真空中产生一个静电场，在空间任一点 (x, y,z) 处的电位是： r q V = ， 2 2 2 r = x + y + z 则 2 grad grad q V r r = − 。 4、 gradu 的意义 gradu 的方向表示数量场 u 沿此方向的方向导数达到最大； gradu 的根长就是这个最大的方向导数。 例：求数量函数 2 2 u x xy = + 在 (1,1,1) 的梯度及其大小。 §7 泰勒公式 定理 1 设函数 f x y ( , ) 在点 ( x y 0 0 , ) 内对 x 及 y 具有直到 n+1 阶连续偏导数。对 D 内任意一点 (x, y) ， 设 0 0 x = x − x ,y = y − y ，则 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) 2! f f f x h y k f x y x y h x y k h k f x y x y x y     + + = + + + + +      1 0 0 0 0 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ! ( 1)! n n h k f x y h k f x h y k n x y n x y       + + + + + + +   +   1 0 0 0 0 0 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) ! ( 1)! n p n p h k f x y h k f x h y k k x y n x y   + =     = + + + + +   +   

《数学分析(1,2,3)》教案 这里h+kf(xy)=∑C"h"k axa 二元函数的中值公式 f(o+h,yo+k)f(o, yo)=f(,+0h, yo+Ok)h+f, (*o+Oh, yo+Ok)k,x+ +0<e<l 例:写出在点(1-2)附近函数f(x,y)=2x2-xy-y2-6x-3y+5的泰勒公式 例:按x及y的乘幂展开函数∫(x,y)=eh(1+y)到三项为止

《数学分析（1，2，3）》教案 14-10 这里 ( ) 0 , p p p r p r r p p r r r f h k f x y C h k x y x y − − =        + =        。 二元函数的中值公式 f x h y k f x y f x h y k h f x h y k k ( 0 0 0 0 0 0 0 0 + + − = + + + + + , , , , ) ( ) x y (     ) ( ) ，其中 0 1    。 例：写出在点 (1, 2− ) 附近函数 ( ) 2 2 f x y x xy y x y , 2 6 3 5 = − − − − + 的泰勒公式。 例：按 x 及 y 的乘幂展开函数 ( , ln 1 ) ( ) x f x y e y = + 到三项为止