灰色系统理论及其应用 总觉国方志等表 条统 Gtr Black tate 南京競窆茨大学经济管狸学院 精品程群建组
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6.1五步建模思想 第一步:开发思想,形成概念,通过定性分析、研究,明确研究的方向、目标、 途径、措施,并将结果用准确简练的语言加以表达,这是语言模型。 第二步:剖析语言模型中各个因素之间的相互关系,并以框图的形式表示出来 第三步:对各个环节的因果关系进行量化研究,得到量化模型。 第四步:进一步收集各环节的输入、输出数据,利用所得得数据序列建立动态模 型。这是系统分析、优化的基础。 第五步:对动态模型进行系统分析和研究,通过结构、机理、参数的调整,进行 系统重组,达到优化配置 语言模型 网络模型 量化模型 动态模型 优化 模型
6.1 五步建模思想 第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标、 途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这是语言模型。 第二步：剖析语言模型中各个因素之间的相互关系，并以框图的形式表示出来。 第三步：对各个环节的因果关系进行量化研究，得到量化模型。 第四步：进一步收集各环节的输入、输出数据，利用所得得数据序列建立动态模 型。这是系统分析、优化的基础。 第五步：对动态模型进行系统分析和研究，通过结构、机理、参数的调整，进行 系统重组，达到优化配置。 语言模型 网络模型 量化模型 动态模型 优化 模型
62灰色微分方程 62.1设微分方程为 +ax=b dx t 则称,为x的导数;x为,的背景值;ab为参数。因此,一个一阶 微分方程由导数、背景值和参数三部分构成 定义622设x()为定义在时间集T上的函数,若当△t→>0时,恒有 x(+△)-x(1)≠0则称x(2)在T上的信息浓度无限大。 命题6.2.1使微分方程ax +ax=b dt 成立的函数x(1)满足信息浓度无限大的条件。 定义62.5设 +ax= b 为微分方程,x(t+△)x()为背景集的元素,X={x(t+△)x() 则
6.2 灰色微分方程 6.2.1 设微分方程为 则称 为 的导数； 为 的背景值； 为参数。因此，一个一阶 微分方程由导数、背景值和参数三部分构成。 定义 6.2.2 设 为定义在时间集T上的函数，若当 时，恒有 则称 在T上的信息浓度无限大。 命题 6.2.1 使微分方程 成立的函数 满足信息浓度无限大的条件。 定义 6.2.5 设 为微分方程， 为背景集的元素， 则 dx ax b dt + = dx dt x x dx dt a b x t( ) →t 0 x t t x t ( ) ( ) 0 + − x t( ) dx ax b dt + = x t( ) dx ax b dt + = x t t ( ) + x t( ) X x t t x t = + ( ), ( )
dx Rx(t+△t) Rx(t)时,称导数与背景值元素满足平射关系 2、若x为背景值取值,且 x≠x(1)2x≠x(t+△)2x(O)2x(t+△)2x(t)∈X 设(t+△)2(t)为 d 的成分 dt (t+△t)Rx=(t)Rx 时,则称背景取值与导数成分满足平射关系。 定理6.2.1微分方程构成的条件有以下三条: 1、信息浓度无限大 2、背景值是灰数; 3、导数与背景值满足平射关系;
1、当 时，称导数与背景值元素满足平射关系； 2、若 为背景值取值，且 设 为 的成分，当 时，则称背景取值与导数成分满足平射关系。 定理 6.2.1 微分方程构成的条件有以下三条： 1、信息浓度无限大； 2、背景值是灰数； 3、导数与背景值满足平射关系； ( ) ( ) dx dx Rx t t Rx t dt dt + = x x x t x x t t x t x t t x t X + + ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) t t t + dx dt ( ) ( ) t t Rx t Rx + =
63GM(1,1)模型 定义631称d(k)+ax(k,)=b为灰色微分方程 命题6.3.1对于灰色微分方程 x(k)+ax(k)=b 灰导数x(k)与背景值{x(k)x(k-1)中元素不满足平射关系 命题6.3.2若背景值取x()中元素的均值,即令 z(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1) 则背景值2(k)与灰导数成分x(k),x0(k-1)具有算术平射关系
6.3 GM（1，1）模型 定义 6.3.1 称 为灰色微分方程。 命题 6.3.1 对于灰色微分方程 灰导数 与背景值 中元素不满足平射关系。 命题 6.3.2 若背景值取 中元素的均值，即令 则背景值 与灰导数成分 具有算术平射关系。 ( ) (1) ( ) ( ) i d k ax k b i i + = (0) (1) x k ax k b ( ) ( ) + = (0) x k( ) (1) (1) x k x k ( ), ( 1) − (1) (1) (1) z k x k x k ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1) = + − (1) X (1) z k( ) (1) (1) x k x k ( ), ( 1) −
定义6.3.2若灰色微分型方程满足下列条件: 1、信息浓度无限大。 2、序列具有灰微分内涵。 3、背景值到灰导数成分具有平射关系 则称此灰色微分型方程为灰色微分方程。 命题633方程x(k)+a0(k)=b为灰色微分方程,其中 z(k)=0.5x(k)+05x(k-1) 定义6.3.3称 x((k)+azo(k)=b 为GM(1,1)模型。 定理63.1设x(0)为非负序列: X0)=(x0(,x0(2)…,x0(m) 其中
定义 6.3.2 若灰色微分型方程满足下列条件： 1、信息浓度无限大。 2、序列具有灰微分内涵。 3、背景值到灰导数成分具有平射关系。 则称此灰色微分型方程为灰色微分方程。 命题 6.3.3 方程 为灰色微分方程，其中 定义 6.3.3 称 为GM（1，1）模型。 定理 6.3.1 设 为非负序列： 其中 (0) X (0) (0) (0) (0) X x x x n = ( (1), (2), , ( )) (0) (1) x k az k b ( ) ( ) + = (1) (1) (1) z k x k x k ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1) = + − (0) (1) x k az k b ( ) ( ) + =
x0(k)≥0,k=1,2,…,m;X0)为X()的1-AGO序列 X0D)=(x0(1),x(2)…,x"(n) 其中x(k)=∑x0(,k=1,2,…,nZ0为X0的紧邻均值生成 序列 其中0(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1),k=2,3…,n 若a=(a,b)为参数列,且
(0) x k k n ( ) 0, 1,2, , ; = 为 的1-AGO序列 其中 为 的紧邻均值生成 序列。 其中 若 为参数列，且 (0) X (1) X (1) (1) (1) (1) X x x x n = ( (1), (2), , ( )) (1) (0) 1 ( ) ( ), 1, 2, , ; k i x k x i k n = = = (1) Z (1) X (1) (1) (1) (1) Z z z z n = ( (1), (2), , ( )) (1) (1) (1) z k x k x k k n ( ) 0.5 ( ) 0.5 ( 1); 2,3, , = + − = ˆ ( , )T a a b =
(2)1 (3) (3) Y B 则灰色微分方程x(k)+ax(k)=b的最小二乘估计参数满足 (BB)BY 定义634设X为非负序列,X(①)为X0的1-AGO序列,Z(为X(D 的紧邻均值生成序列,[a,b=(BB)BY则称 dx +ax(1)=b 为灰色微分方程
(0) (1) (0) (1) (0) (1) (2) (2) 1 (3) (3) 1 , ( ) ( ) 1 x z x z Y B x n z n − − = = − 则灰色微分方程 的最小二乘估计参数满足 (0) (1) x k az k b ( ) ( ) + = 1 ˆ ( ) T T a B B B Y − = 定义 6.3.4 设 为非负序列， 为 的1-AGO序列， 为 的紧邻均值生成序列， 则称 为灰色微分方程 (0) X (1) X (0) X (1) Z (1) X 1 [ , ] ( ) T T T a b B B B Y − = (1) dx (1) ax b dt + =
x0(k)+a20(k)=b 的白化方程,也叫影子方程。 定理6.32设B,Ya如定理631所示,a=[a,b]=(BB)BY,则 1、白化方程 dx +ax()=b的解也称时间响应函数为 b (t)=(x(0)--) 2、GM(1,1)灰色微分方程x0(k)+a0(k)=b的时间响应序 列为 (k+1)=(x(0) b ,k=1,2,…,n (0) 1)则, 3、取x(0)=x0(1) (k+1)=(x0(1)--)e+-;k=1,2, 4、还原值
(0) (1) x k az k b ( ) ( ) + = 的白化方程，也叫影子方程。 定理 6.3.2 设 如定理6.3.1所示， 则 1、 白化方程 的解也称时间响应函数为 2、GM（1，1）灰色微分方程 的时间响应序 列为 3、取 则， 4、还原值 B Y a , , ˆ 1 ˆ [ , ] ( ) , T T T a a b B B B Y − = = (1) dx (1) ax b dt + = (1) (1) ( ) (( (0) ) b b at x t x e a a − = − + (0) (1) x k az k b ( ) ( ) + = (1) (1) ˆ ( 1) ( (0) ) , 1,2, , b b ak x k x e k n a a − + = − + = (1) (0) x x (0) (1) = (1) (0) ˆ ( 1) ( (1) ) ; 1,2, , b b ak x k x e k n a a − + = − + =
x0(k+1)=a0x0(k+1)=x(k+1)-x(k) 定义6.3.5称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数,b为灰色作用量。 定理633GM(1,1)模型x0(k)+a(k)=b 可以转化为 x0(k)=B-ax(k-1) 其中 1+0.5a 1+0.5a 定理634设 b B C 1+0.5 1+0.5a 且 XD)=(x(1),x(2),…,0(m)
(0) (1) (1) (1) (1) x k x k x k x k ( 1) ( 1) ( 1) ( ) + = + = + − ˆ 定义 6.3.5 称GM（1，1）模型中的参数 为发展系数， 为灰色作用量。 定理 6.3.3 GM（1，1）模型 可以转化为 其中 定理 6.3.4 设 且 −a b (()) (1) x k az k b ( ) ( ) + = (()) (1) x k x k ( ) ( 1) = − − , 1 0.5 1 0.5 b a a a = = + + , 1 0.5 1 0.5 b a a a = = + + (1) (1) (1) (1) ˆ X x x x n = ( (1), (2), , ( )) ˆ