§5无穷小量与无穷大量 无穷小量 与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义 定义1设在某()内有定义.若/()=0 ,则称为当→列时 的无穷小量 若函数吕在某(x)内有界,则称g为当不→列时的有界量 类似地定义当x→列,x→列,x→+,x→0以及x→0时的无穷 小量与有界量 例如,x2,nx与1-c0sx都是当x→0时的无穷小量, 是 当x→1时的无穷小量, 而 为当x 时的无穷小量.又如x是当x→∞时的有界量 x是当x→0时的有界 量.特别,任何无穷小量也必都是有界量 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质: 两个(相同类型的)无穷小量之和、差、积仍为无穷小量. 2.无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 例如,当x→0时,x2是无穷小量,x是有界量,故有性质2即得 0 clf,x=-0.1:1/500:0.1
1 §5 无穷小量与无穷大量 一 无穷小量 与无穷小数列的概念相类似,我们给出关于函数为无穷小量的定义. 定义 1 设 在某 内有定义．若 ，则称 为当 时 的无穷小量． 若函数 在某 内有界，则称 为当 时的有界量． 类似地定义当 ， ， ， 以及 时的无穷 小量与有界量． 例如， ， 与 都是当 时的无穷小量， 是 当 时的无穷小量， 而 ， 为当 时的无穷小量．又如 是当 时的有界量， 是当 时的有界 量．特别，任何无穷小量也必都是有界量． 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质： 1. 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量． 2. 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量． 例如，当 时， 是无穷小量， 是有界量，故有性质 2 即得 ． clf, x=-0.1:1/500:0.1;
y=x.2.*sin(1./x) y1=x. 2: y2=-x. 2: plot(x, y, x, y1, x, y2) 。15 0.1-o08-0.05004-002 0,COa0.00,8o.1 函数”一1x的图象如上图所示 由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论 lim f(x)=A ef(x)-A是当x→列时的无穷小量 二无穷小量阶的比较 无穷小量是以0为极限的函数,而不同的无穷小量收敛于0的速度有快有 慢.为此我们考察两个无穷小 量的比,以便对它们的收敛速度作出判断 设当x→时,J与尽均为无穷小量 1.若 ,则称当x→列时为的高阶无穷小量,E为的低阶无 穷小量,记作 =0
2 y=x.^2.*sin(1./x); y1=x.^2; y2=-x.^2;plot(x,y,x,y1,x,y2) 函数 的图象如上图所示． 由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论： 是当 时的无穷小量． 二 无穷小量阶的比较 无穷小量是以 0 为极限的函数，而不同的无穷小量收敛于 0 的速度有快有 慢．为此我们考察两个无穷小 量的比，以便对它们的收敛速度作出判断． 设当 时， 与 均为无穷小量． 1．若 ，则称当 时 为 的高阶无穷小量， 为的低阶无 穷小量，记作 （ ）．
特别,J为当x→和时的无穷小量记作 f(x)=o()(x→ 例如,当x→0时,x,x2…,x(为正整数)等都是无穷小量,因而有 o((x→0),k 而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量,即有 Cosx lim tan 又如,由于x0sinx 0.故有 1-c。x=(mx)(x→0) K≤ L 2.若存在正数K和L,使得在某(x)上有 lim f(a) 则称与尽为当不列时的同阶无穷小量.特别当8(=Cz0 时,J与尽必 为同阶无穷小量 m cos x 1 例如,当x→0时,1-c0x与x皆是无穷小量.由于 所以1-c0sx与x2为当x→0时的同阶无穷小量.又如,当x→0时, 都是无穷小量,由于它们之比的绝对值满足 1≤2+ ,所以x与 x为当x→0时的同阶无穷小量 若无穷小量7与满足关系式1bS x∈U0(x)
3 特别， 为当 时的无穷小量记作 （ ）． 例如，当 时， ， ， （ 为正整数）等都是无穷小量，因而有 （ ）， ， 而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量，即有 （ ）． 又如，由于 ＝ ＝ ．故有 （ ）． 2．若存在正数 和 ，使得在某 上有 ， 则称 与 为当 时的同阶无穷小量．特别当 时， 与 必 为同阶无穷小量． 例如，当 时， 与 皆是无穷小量．由于 ＝ ， 所以 与 为当 时的同阶无穷小量．又如，当 时， 与 都是无穷小量，由于它们之比的绝对值满足 ，所以 与 为当 时的同阶无穷小量． 若无穷小量 与 满足关系式 ，
则记作(x)=0(g(x)(x→) 特别,若f在某列(n)内有界,则记为f(x)=0)(x→列) 例如 1-cosx x→0 2+sin -=o() (x→0); 甚至当f(x)=o(x)(x→)时,也有f(x)=O(g()(x→) 注:本段中的等式f(x)=o(g(x)(x→)与f()=0(g(x)(x→而) 等,与通常等式的含义是不同的.这里等式左边是一个函数,右边是一个函数类, 而中间的等号的含义是“属于”,例如,前面已经提到 o(anx)(x→0 (1) fo 0} 其中 sin x 等式(1)表示函数1-c0sx属于此函数类 (x 3.若g(x),则称与吕为当x→x0时的等价无穷小量.记 作 f(x)-g(x) lin 例如,由于 故有smx~x(x→0 arctan x 又由于2-0x(上节习题1(6)),故有 arctan(x→0)
4 则记作 （ ）． 特别，若 在某 内有界，则记为 （ ）． 例如 （ ）； （ ）； （ ）． 甚至当 （ ）时，也有 （ ）． 注： 本段中的等式 （ ）与 （ ） 等，与通常等式的含义是不同的．这里等式左边是一个函数，右边是一个函数类， 而中间的等号的含义是“属于”．例如，前面已经提到 （ ） （1） 其中 ， 等式（1）表示函数 属于此函数类． 3．若 ，则称 与 为当 时的等价无穷小量．记 作 （ ）． 例如，由于 ，故有 （ ）． 又由于 （上节习题１（6）），故有 （ ）．
以上讨论了无穷小量阶的比较.但应指出,并不是任何两个无穷小量都可以 进行这种阶的比较.例如, 当x→0时 x和x都是无穷小量,但它们的比 sin 当x→0时都不是有界量,所以这两个无穷小量不能进行阶的比较 下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用 定理3.12设函数f,g,h在U(n)内有定义,且有f(x)~g(x) lim f(v(x)=A lim g(xa(x)=A (i)若x→ 则 =B = (ⅱi)若 g()(x)=()m/(x(x)=1A=A (i)可类似的证明. arctan x 例1求 解由于 arctan x~x(x→0),sn4x~4x(x→0),故有定理3.12 arctan x-o S1n4x *40 4x 例2利用定价无穷小量代换求极限
5 以上讨论了无穷小量阶的比较．但应指出，并不是任何两个无穷小量都可以 进行这种阶的比较．例如， 当 时， 和 都是无穷小量，但它们的比 = 或 = 当 时都不是有界量，所以这两个无穷小量不能进行阶的比较． 下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用． 定理 3.12 设函数 ， ， 在 内有定义，且有 （ ）． (ⅰ) 若 ，则 (ⅱ) 若 ，则 证 (ⅰ) (ⅱ)可类似的证明. 例 1 求 解 由于 （ ）, （ ）, 故有定理 3.12 得 . 例 2 利用定价无穷小量代换求极限
1-2-3 sinx 解由于tanx-smx=0x(-csx),而 COSTA sinx~x(x→0 2(x→>0),sinx3~x3(x→0) tanx-sinx 故有 sinx -0 cOSX x 注在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:只有对所求极限式中相乘 或相除的因式才能用等价无穷小量替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能 随意替代.如在例2中,若由 tanx~x(x→0),sinx~x(x→0) tanx-sinx X-x 0 而推出 sinx,则得到的是错误的。 例 在x→0时是等价无穷小量 im2-0x)=1m4sn(x/2=1 因为 所以,x→0时x,2(1-c08x)是等价无穷小量,记 clf,x=0:1/100:1 y=sin(x): y1=1-cos(x) subplot(1, 2, 1) plot(x,y,x,y1,’ linewidth’,2), hold on 6
6 . 解 由于 = ,而 （ ）, （ ）, （ ）, 故有 = 注 在利用等价无穷小量代换求极限时,应注意:只有对所求极限式中相乘 或相除的因式才能用等价无穷小量替代,而对极限式中的相加或相减部分则不能 随意替代.如在例 2 中,若由 （ ）, （ ）, 而推出 = , 则得到的是错误的。 例 在 时是等价无穷小量 因为 所以， 时 是等价无穷小量， 记 做 clf,x=0:1/100:1; y=sin(x); y1=1-cos(x); subplot(1,2,1) plot(x,y,x,y1,'linewidth',2),hold on
legend( sinx,'1-cosx subplot (1, 2, 2) y2=(1/2)*x.2 plot(x, y1, x, y2, linewidth, 2) legend('x 2,2(1-Cosx' 1-cosx 0.45 0.7 0.35 0.6 0.3 25 0.4 15 0.1 三无穷大量 定义2设函数f在某(x)内有定义,若对任给的G>0,存在正数 6>0,使得当 x∈U"(x,)(cU0(x)时有
7 legend('sinx','1-cosx') subplot(1,2,2) y2=(1/2)*x.^2; plot(x,y1,x,y2,'linewidth',2) legend('x^2','2(1-cosx') 三 无穷大量 定义 2 设函数 在某 内有定义, 若对任给的 ，存在正数 ,使得当 ( )时有 (2)
则称函数当x→时有非正常极限∞,记作 若(2)式换成“(x)>G”或“f(x)0,存在M>0,使得当x>M时有 f()0,存在M>0,使得当n>N时有 定义3对于自变量x的某种趋向(或”→0时),所有以∞,+0,或-0 为非正常极限的函数 (包括数列),都称无穷大量 例3证明 证任给G>0,要使> 只要√,因此令 ,则对一切x∈ U0(0.)有x>0
8 则称函数 当 时有非正常极限 ,记作 若(2)式换成“ ”或“ ”，则分别称 当 时有 非正常极限 或 ,记作 或 . 关于函数 在自变量 的其它不同趋向的非正常极限的定义,以及数列 当 时的非正常极限的定 义, 都可类似的给出．例如 的定义：任给 ，存在 , 使得当 时 有 ； 的定义：任给 ，存在 ,使得当 时有 ． 定义 3 对于自变量 的某种趋向（或 时），所有以 ， ，或 为非正常极限的函数 （包括数列），都称无穷大量． 例 3 证明 . 证 任给 ，要使 ，只要 ，因此令 ，则对一切 有 ．
这就证明了x=+ lim a=+ 例4证明:当a>1时 证明任给G>0(不妨设G>1),要使a">G,有对数函数的严格增性, 只要x> log, G 因此,令M=1gaG,则对一切x>M有a2>G.这就证明了 lim a=+∞ lin 0 顺便指出,容易证明:当a>1时,x :当01)是当x→+时的无穷大量 注2若了为x→列时的无穷大量,则易见f为()上的无界函数但 无界函数却不一定是无穷大量 如√(x)=xmx在U(+四)上无界,因对任给0>0,分x=2n ,这里正 n> 整数 则有f(x)= 2x丌+ 2n丌+ 2n丌+
9 这就证明了 ． 例 4 证明：当 时， ． 证明 任给 （不妨设 ），要使 ，有对数函数的严格增性， 只要 。 因此，令 ，则对一切 有 ．这就证明了 ． 顺便指出，容易证明：当 时， ；当 时， ， ． 注 1 无穷大量不是很大的数，而是具有非正常极限的函数．如由例 3 知 是当 时的无穷大量 ，由例 4 知 是当 时的无穷大量． 注 2 若 为 时的无穷大量，则易见 为 上的无界函数．但 无界函数却不一定是无穷大量． 如 ＝ 在 上无界，因对任给 ，取 ，这里正 整数 ， 则有 ＝ ＝ ．
lim ≠ 但 因若取数列x2=27(n=12…),则x→+ (n→0)从而 lim 如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样,对两个无穷大量也可定义高阶无 穷大量、同阶无穷大量等 概念.这里就不在祥述了 由无穷大量与无穷小量的定义,可推得它们之间有如下关系 定理3.13(i)设在(x内有定义且不等于0.若为当x和时的无 穷小量,则J为当 x→列时的无穷大量 (i)若尽为当x列时的无穷大量,则g为当x→时的无穷小量 定理的证明留给读者.根据这个定理,对无穷大量的研究可归结为无穷小量 的讨论 四曲线的渐近线 作为函数极限的一个应用,我们讨论曲线的渐近线问题 由平面解析几何知道,双曲线a 有两条渐近线ab
10 但 ，因若取数列 （ ），则 （ ）从而 ． 如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样，对两个无穷大量也可定义高阶无 穷大量、同阶无穷大量等 概念．这里就不在祥述了． 由无穷大量与无穷小量的定义，可推得它们之间有如下关系： 定理 3.13 (ⅰ)设 在 内有定义且不等于 0．若 为当 时的无 穷小量，则 为当 时的无穷大量． (ⅱ)若 为当 时的无穷大量，则 为当 时的无穷小量． 定理的证明留给读者．根据这个定理，对无穷大量的研究可归结为无穷小量 的讨论． 四 曲线的渐近线 作为函数极限的一个应用，我们讨论曲线的渐近线问题． 由平面解析几何知道，双曲线 有两条渐近线 ．