第五章导数和微分 §1导数的概念 §2求导法则 §3参变量函数的导数 §4高阶导数 §5微分
第五章 导数和微分 • §1 导数的概念 • §2 求导法则 • §3 参变量函数的导数 • §4 高阶导数 • §5 微分
§1导数的概念 教学内容: 1、给出了导数的物理模型—瞬时速度和几何模型一切线斜率 2、给出了函数在一点的导数(可导)的定义和函数在一点的左、 右导数的定义,以及函数在区间上可导的定义;给出了可导与连 续的关系。 给出了导数的几何意义—切线的斜率 4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。 教学重点:导数的定义和计算 要求: 1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用 2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导 3、应用导数的定义计算函数在一点的导数
1、给出了导数的物理模型—瞬时速度和几何模型—切线斜率。 2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、 右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连 续的关系。 3、给出了导数的几何意义—切线的斜率。 教学内容： 4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。 教学重点: 导数的定义和计算 要求: 1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用. 2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导. 3、应用导数的定义计算函数在一点的导数. §1 导数的概念
问题的提出: 在中学里我们学习过,物体作匀速直线运动,其速度等 于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的, 通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的 平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我 们已知物体的运动规律,如何计算它的瞬时速度?
问题的提出: 在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等 于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的， 通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的 平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我 们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度?
两个例子: 1.瞬时速度 设一质点作直线运动,其运动规律为s=s(t) 若10为某一确定的时刻,求其在该时刻的速度 设t为邻近于0的时刻,则 s(t)-s(t0) t-to 是质点在时间段[0,n(或[t,(0p上的平均速度
两个例子: 1. 瞬时速度 0 . ( ). 若 为某一确定的时刻，求其在该时刻的速度 设一质点作直线运动，其运动规律为 t s = s t ] . 0 , ] [ , 0 [ 0 ) 0 ( ) ( 0 是质点在时间段 （或 ）上的平均速度 设 为邻近于 的时刻，则 t t t t t t s t s t v t t − − =
则物体在时刻t。的瞬时速度定义为 △ v(to)=lim v=lim △t→>0 0△t (o+△)-s(t0) m △t→>0 △t 速度反映了路程对时间变化的快慢程度
则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为 t s v t v t t = = →0 →0 0 ( ) lim lim t s t t s t t + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2.切线的斜率 曲线y=f(x)在其上一点P(x0,y0) 曲线y=f(x)在其上一点P(xO0,y0)处的切线PT是割线PQ当动点 Q沿曲线无限接近与点P时的位置因为割线PQ的斜率为 k f(x)-f(x0) X- 所以当x→>x0时如果k的极限存在则极限 k f(x)-f(x0) x>xoXO 即为曲线在点P的切线的斜率
2. 切线的斜率 沿曲线无限接近与点 时的位置 因为割线 的斜率为 曲线 在其上一点 处的切线 是割线 当动点 Q P PQ y f x P x y PT PQ . = ( ) ( 0 , 0 ) x Q 曲线 在其上一点 P(x 0, y 0) , 0 ( ) ( 0 ) x x f x f x k − − = 所以当x → x 0时如果k的极限存在, 则极限 y = f (x) 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x k − − → = 即为曲线在点 P的切线的斜率. O P T y
导数的定义 定义1:设函数y=x)在点x0的某邻某邻域内有定义极限 f(x)-f(x0) x->x0 存在则称函数点x0处可导并称该极限为函数点x0 处的导数,记作f(x0) 即 f(x0)=lim △x→>0△x 邱xO+Ax)-fx0)(1) △x→>0 △ f(x)-ixo) x>x0X=×0 若式极极限不存在,则称在点x0处不可导
一 导数的定义 x y x → = 0 f (x0) lim , ( 0). , 0 , 0 f x f x f x 处的导数 记作 存在 则称函数 在点 处可导 并称该极限为函数 在点 设函数y = f(x) 在点 x0 的某邻某邻域内有定义,极限 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x − − → 定义1: 即 x x0 f(x) f(x 0) lim f(x 0 ) f(x 0 ) 0 lim 0 − − → = + − → = x x x x x 若式极极限不存在，则称f在点 x0 处不可导. (1)
例求函数f(x)=x2在点x=1处的导数,并求曲线在 点(1,1处的切线方程 解:由定义求得 f(1)=mf1+△x)-1) +△x)2 Ax→>0 △r x→)x 2△x+△ m im(2+△x)=2 △x→>0Ax Ax→>0 由此知道抛物线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为 k=f(x) 所以切线方程为 (x-1)即 2x-1
点(1 , 1)处的切线方程. 例1求函数 f (x) = x 2 在点x = 1处的导数,并求曲线在 解: 由定义求得 (2 ) 2 0 lim 2 2 0 lim x 1 2 (1 x) lim f(1 ) f(1) 0 (1) lim 0 + = → = + → = + − → = + − → = x x x x x x x x x x x f 由此知道抛物线 y = x 2 在点(1 , 1)处的切线斜率为 k = f (x) = 2 所以切线方程为 y −1 = 2(x −1) 即 y = 2x −1
例证明函数f(x)=x在点0=0处不可导 证因为 f(x)-()__∫1 当x→O时极限不存在所以在点x=0处不可导 注 利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零, 即 C′=0
例2证明函数f (x) = x 在点x 0 = 0处不可导. 证 因为 − = = − − 1, 0 1, 0, 0 ( ) (0) x x x x x f x f 当x →0时极限不存在,所以f 在点x = 0处不可导. 注: 利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零, 即 C = 0
定义2:设数y=f(x)在点0的某邻域x0,0+。)上 有定义,若右极限 fx0+△x)-fx0) Ax0+△x Ax→>0 f(x)-ixo) (0X0 0 存在则称该极限为f在点x0的右导数,记作(x0) 类似地,可以定义左导数 f(x0+Ax)-f(xo) lim f(x)-f(x0) △x->0 △v x→>X0 0 左、右导数统称为单侧导数
(0 ) 0 x - x ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 lim x 0 lim 0 − → = + − → = → + + + x x x x x x y 定义2: 限 域 有定义,若右极 设函数y = f (x)在点x 0 的某邻 (x 0 , x 0 + )上 存在,则称该极限为f 在点x 0的右导数,记作f + (x 0). 类似地, 可以定义左导数 x - x0 ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 (x) lim / - f 0 - − → = + − → = − x x x x 左﹑右导数统称为单侧导数