§3高斯公式与斯托克斯公式 教学内容:1利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分; 2斯托克斯公式; 3空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件 教学重点:利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分 教学难点:斯托克斯公式
§3 高斯公式与斯托克斯公式 教学内容：1.利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分； 2.斯托克斯公式； 3.空间曲线第二型曲线积分与路径无关 的条件。 教学重点：利用高斯公式计算封闭曲面的第二型 曲面积分 教学难点：斯托克斯公式
、高斯公式 1.公式:设空间区域Ω由分片光滑的双侧封闭曲面 ∑围成函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、 R(x,y,z)在9上具有 阶连续偏导数,则有公式 aP O0 OR )dv=H pdyda+ odzdx+ rdxdy ay az 高斯公式 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧
1 .公式：设空间区域 由分片光滑的双侧封闭曲面 Σ围成,函 数P(x, y,z)、Q(x, y,z)、 R(x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 这 里是的整个边界曲面的外 侧 高斯公式
2几点说明: ⑥ Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系 ② Gauss公式中第二型曲 面积分一定为封闭面, 若不是封闭面,要添加 特殊的曲面或平面才能 用 Gauss公式。 ③与格林公式的异同
x y z o 1 2 3 Dxy 2.几点说明： ①Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系. ②Gauss公式中第二型曲 面积分一定为封闭面， 若不是封闭面，要添加 特殊的曲面或平面才能 用Gauss公式。 ③与格林公式的异同
④利用Gaus公式可以得出用曲面积分求体积的公式 P=xO R=z OP OO OR ax+)b=「3dh =手xyd+2b 体积△=手xdd+y+dh
= + + = + + xdydz ydzdx zdxdy dv dxdydz z R y Q x P ( ) 3 ④利用Gauss公式可以得出用曲面积分求体积的公式 P = x,Q = y,R = z V = xdydz + ydzdx + zdxdy 3 1 体积
例1计算曲面积分 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x+y2=1及平 面x=0,x=3所围成的空间闭 区域Ω的整个边界曲面的外侧 由高斯公式:原式=(y-)hh de drl(rsin 0-zrd2 4
例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz 其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3 由高斯公式：原式＝ (y − z)dxdydz − 2 0 3 0 1 0 ＝ d dr (rsin z)rdz 4 9 ＝−
例2:P289习题1(1)、(2) 练习:P289习题1(2)、P295习题1(1)、(2) 、斯托克斯( stokes)公式 1双测曲面∑的侧与边界曲线方向的规定 右手法则 ∑ T是有向曲面∑的 正向边界曲线
例2：P289习题1(1)、（2） 练习：P289习题1（2）、P295习题1（1）、（2） 二、斯托克斯(stokes)公式 1.双测曲面∑的侧与边界曲线Γ方向的规定 n 右手法则 是有向曲面 的 正向边界曲线
2.斯托克斯( stokes)公式 定理设r为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以 r为边界的分片光滑的有向曲面,T的正向与∑的 侧符合右手规则,函数P(x,y,z),Q(x,y,z) R(x,y,z)在包含曲面Σ在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数,则有公式 OR 00 OP OR 80 oP )dydz Ov a xoz C)+ os ax =P+g小y+R 斯托克斯公式 其中∑的侧与Ⅰ的方向按右手法则确定
2.斯托克斯(stokes)公式 定 理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是 以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与的 侧符合右手规则, 函 数P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)在包含曲面在内的一个空间区域内具 有一阶连续偏导数, 则有公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( ) − + − + − = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式 其中∑的侧与Г的方向按右手法则确定
3几点说明: ① Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系 ②便于记忆形式 「a0=手+b+ P 2 R
= + + Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy ②便于记忆形式 3.几点说明： ①Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线 上的曲线积分之间的关系
③当∑是xoy面的平面闭区域时 斯托克斯公式特殊情形格林公式 例3计算曲线积分乐(2y+)+(x=)+(y=x), 其中是平面x+y+z=1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则
斯托克斯公式 特殊情形 格林公式 当 Σ 是xoy面的平面闭区域时 例 3 计算曲线积分 (2y + z)dx + (x − z)dy + (y − x)dz , 其 中是平面 x + y + z = 1被三坐标面所截成的 三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧 的法向量之间符合右手规则. 0 Dxy x y z n 1 1 1 ③
三、空间曲线积分与路径无关的条件 1空间单连通区域 设Ω为空间区域,如果Ω内任一闭曲线均 可以不经过Ω以外的点而连续地收缩为属于_2 的一点,则称Ω2为空间单连通区域,否则称为 复连通区域 单连通区域 复连通区域
三、空间曲线积分与路径无关的条件 设为空间区域, 如果内任一闭曲线均 可以不经过以外的点而连续地收缩为属于 的一点，则称为空间单连通区域, 否则称为 复连通区域. 单连通区域 复连通区域 1.空间单连通区域 G G