广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第二十章（20.1）对弧长的曲线积分

第一节对弧长的曲线积分 问题的提出 巴二、对弧长的曲线积分的概念 巴三、对弧长的曲线积分的计算 四、几何与物理意义 五、小结思考题 「划回

问题的提出 B L M 实例:曲线形构件的质量 (5,)/M 匀质之质量M=ps M M i-1 分割M 0 15 m1→△s M,∴……,M 工工工 取(5,m;)∈△s;,△M1≈p(51,m)△, 求和M≈∑p(5,m)A 近似值 精确值 取极限M=lim∑p(5,n),△s 0 → 上页

一、问题的提出 实例:曲线形构件的质量 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , )  i i L 匀质之质量 M =   s. 分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s  − ( , ) , i i i 取    s ( , ) . i i i i M      s 求和 ( , ) . 1 =    n i i i i M    s 取极限 lim ( , ) . 1 0= → =   n i i i i M    s  近似值 精确值

二、对弧长的曲线积分的概念 1定义 设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y) 在L上有界用L上的点M1,M2,…,M把L分成n 个小段设第个小段的长度为A,又(2,η为第 i个小段上任意取定的一点,y B 王作乘积(,m)2, L M -1 niM 王并作和∑(,n)△, i=1 0 上页

二、对弧长的曲线积分的概念 ( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = −            n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数  1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i  L

如果当各小弧段的长度的最大值λ→0时, 这和的极限存在则称此极限为函数f(x,y) 王在曲线弧上对弧长的曲线积分或第一类曲 线积分记作f(,y)dk,即 被积函数 ∫(xDk=m∑/,n),△s(积分和式 i=1 积分弧段 曲线形构件的质量M=J,(x,y)ks 上页

( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1  0  = → =      → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时 被积函数 积分弧段 积分和式 曲线形构件的质量 ( , ) .  = L M  x y ds

2存在条件: 当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分(x,)存在 3:推广 函数(x,2)在空间曲线弧上对弧长的 曲线积分为 f(x,2)b=m/(5,)△x 上页

2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds =  f  s  =  →    

注意 1.若L(或r)是分段光滑的,(L=L1+L2) S-L /(x, y)=S /(x, y)ds+. /( x,y)ds. 2.函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的 牛曲线积分记为(x,) 上页

注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2    = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的

4性质 ()J(x,)(x,)=』f(x,y)士8(x)h (2)6(x)=(x)(为常数 丰6)xM5 (L=L1+L2) 上页

4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) .     =  L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2    = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( ). L = L1 + L2

三、对弧长曲线积分的计算 定理 设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=φ(t), (a≤t≤B)其中 Ly=y(t) q(t),y()在a,B上具有一阶连续导数,且 (a<B) 上页

三、对弧长曲线积分的计算 定理 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2                  =  +       = =   f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续

士 注意: 1.定积分的下限a一定要小于上限; 2.∫(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的 特殊情形 (1)L:y=y(x)a≤x≤b. b Lf(, y)ds =]flx,(x)I1+v 2(x)dx(a<b) 上页

注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a  x  b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a =  + (a  b)

(2)L:x=φ(y)c≤y≤d. 生』x)=no)y+90 2(y)y (c<d) 推广:r:x=φ(t),y=y(t),z=o(t).(a≤t≤B f(x, y, z)ds B flo(t),y(t),o(tl2(t)+y2(t)+@2(t)dt (a<B) 上页 圆

推广:  : x = (t), y =(t), z =(t). (  t   ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2            =  +  +    f t t t t t t dt f x y z ds (2) L : x = ( y) c  y  d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c =  +  (c  d )