第 第十八章 隐菡数 个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
第二节 第十八章 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数
二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形 以两个方程确定两个隐函数的情况为例,即 F(x,y,u,v)=0 u=u(x, y) G(,, u,v)=0 lv=v(x,y) 由F、G的偏导数组成的行列式 (F,G)Fu F 称为F、G的雅可比( Jacobi)行列式 HIGH EDUCATION PRESS 雅可比目录上贞下页返回结束
二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形. ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v ( , ) ( , ) v v x y u u x y 由 F、G 的偏导数组成的行列式 u v u v G G F F u v F G J ( , ) ( , ) 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.设函数F(x,y,u,),G(x,y,l,v)满足 ①在点P(xo,y:l2vo)的某一邻域内具有连续偏 导数; ②F(x02y,40,0)=0,G(x,y0;l0,”o)=0; OF,G ≠0 p du, v)IP 则方程组F(x,y,2y)=0,G(x,y,,y)=0在点(x,y) 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件u0=(x,y0) Vo=v(xo,yo)的单值连续函数u=l(x,y),v=v(x,y) 且有偏导数公式: HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
定理3.( , , , ) 0, F x0 y0 u0 v0 的某一邻域内具有连续偏 设函数 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v F(x, y,u,v), G(x, y,u,v) 则方程组 F(x, y, u, v) 0, G (x, y, u,v) 0 ③ ( , ) 0 0 在点 x y 的单值连续函数 u u(x, y), v v(x, y), 且有偏导数公式 : ① 在点 ② 的某一邻域内可唯一确定一组满足条件 满足: 0 ( , ) ( , ) u v P F G P J ( , , , ) 0; G x0 y0 u0 v0 导数； ( , ), 0 0 0 u u x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) 0 0 0 v v x y
a(F,G FF J0(x,)F。FG2G (P34-P35) 1 a(F,G) FF dy a(y,v) F FIG G av 1 a(F,G) 1 Fu F x JO(u, x)Fu Fr G 定理证明略 I(F,G F 仅推导偏导 数公式如下:O d(u, y) HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束
( , ) 1 ( , ) x v F G x J u ( , ) 1 ( , ) y v F G y J u ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v ( , ) 1 ( , ) u y F G y J v 定理证明略 . 仅推导偏导 数公式如下： v v u v u v G F G G F F 1 v v u v u v G F G G F F 1 u u u v u v G F G G F F 1 u u u v u v G F G G F F 1 (P34-P35) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x G F y y G F x x G F y y G F
设方程组{F(xy=0有陷函数组{=2(X),则 G(x,y,u4,) 0 V=1(x 「F(x,y2(x,y)2v(x,y)≡0 IG(x,y,u(x,y), v(,D=o 两边对x求导得 Ftu ax +F,·=0 x G+g +G, 0 OX x 这是关于 的线性方程组,在点P的某邻域内 ax ax 系数行列式/≈/FnF≠0,故得 HIGH EDUCATION PRESS 式目录上贞下页返回结束
( , , ( , ), ( , )) 0 ( , , ( , ), ( , )) 0 G x y u x y v x y F x y u x y v x y 这是关于 , 的线性方程组, x v x u ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v 有隐函数组 则 两边对 x 求导得 , ( , ) ( , ) v v x y u u x y 设方程组 0, u v u v G G F F J 在点P 的某邻域内 x u x v x u x v Fx Fu Fv 0 Gx Gu Gv 0 公式 目录 上页 下页 返回 结束 系数行列式 故得
au IOF,G ax a(,v) av 1a(F, G) ax d(u, x) 同样可得 au laF,G) dy Ja(y, v) av 1a(F,G) ay Jou,y) HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束
同样可得 ( , ) 1 ( , ) y v F G y J u 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( , ) 1 ( , ) x v F G x J u ( , ) 1 ( , ) u x F G x J v ( , ) 1 ( , ) u y F G y J v
例4.设x-yv=0,yl+xv=1,求 ax dy ax a 解:方程组两边对x求导,并移项得 Ou-n aru au av 练习:求 av Dy ay oX 答案 由题设J x-y x2+y2≠0 y x y x-+ 01-l xu+ vv av xu+ yv 故有 x-+1 y x+y av 1 x-u xv-yu ax J 学 HIGH EDUCATION PRESS 0 机动目录上下返回结束
例4. 设 x u y v 0, y u x v 1, , , , . y v x v y u x u 解: y x x y J x J u 1 2 2 x y yu xv y u 方程组两边对 x 求导，并移项得 求 v x v x x u y v x u y 2 2 x y xu yv y v x u x J v 1 2 2 x y xv yu 练习: 求 y v y u , u x v y x u x 0 2 2 x y 2 2 x y xu yv y v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 由题设 故有
例5.设函数x=x(l,1),y=y(2)在点(x)的某 邻域内有连续的偏导数、日O(x,y)≠0 (,v) 1)证明函数组 x=x(u, v) ly=y(u,v) 在与点(,)对应的点 (x,y)的某一邻域内唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数u=u(x,y),v=v(x,y 2)求=1(xy),v=v(x,y)对x,y的偏导数 解:1)令F(x,y,2v)≡x-x(l,yv)=0 G(x,y,u,v=y-y(u, v)=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
例5.设函数 x x (u ,v), y y (u ,v)在点(u,v) 的某一 0 ( , ) ( , ) u v x y 1) 证明函数组 ( , ) ( , ) y y u v x x u v ( x, y) 的某一邻域内 u u ( x,y ) , v v ( x, y ). 2) 求 u u ( x,y ) , v v ( x, y ) 解: 1) 令 F(x, y,u,v) x x (u,v) 0 G(x, y,u,v) y y (u,v) 0 对 x , y 的偏导数. 在与点 (u, v) 对应的点 邻域内有连续的偏导数,且 唯一确定一组单值、连续且具有 连续偏导数的反函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
则有 0(F,G)(x,y) ≠0 (u,v)a(u,v) 由定理3可知结论1)成立 2)求反函数的偏导数 ∫x≡x((xy)(xy) yu(x,y),v(x,y)) ①式两边对x求导,得 0 dy au ay av HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
( ( , ), ( , )) ( ( , ), ( , )) y y u x y v x y x x u x y v x y ①式两边对 x 求导, 得 u y 0 x v x u 1 x u x v u x v x v y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有 ( , ) ( , ) u v F G J 0, ( , ) ( , ) u v x y 由定理 3 可知结论 1) 成立. 2) 求反函数的偏导数. ① ②
注意J≠0,从方程组②解得 ax ax ou av 10y av 1 au 1ay ax o ay jav ax oy 0 J au 同理,①式两边对y求导,可得 X vlax y dy ou HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下返回结束
注意J 0, v y v x J 0 1 1 x u x v , 1 v y J u y J 1 0 1 1 u y u x J 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从方程组②解得 同理, ①式两边对 y 求导, 可得 , 1 v x y J u u x y J v 1