广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十七章 多元函数微分学

第十七豪 多元函数微分学

第一节可微性 元函数y=f(x)的微分 △y=AAx+O(△x) 近似计算 dy=f(x)△x应用 估计误差 本节内容: 全微分的定义 二、偏导数 可微性条件 二、全微分在数值计算中的应用 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

*二、全微分在数值计算中的应用 应用 一元函数 y = f (x) 的微分 y = Ax + o(x) dy = f (x)x 近似计算 估计误差 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容: 一、全微分的定义 第一节 可微性 二、偏导数 三、可微性条件

全微分的定义 定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+Ax,y+4y)-f(x,y)可表示成 △z=AAx+BM+0(p),p=(△)2+(Ay)2 其中A,B不依赖于Ax,△y,仅与x,y有关,则称函数 f(xy)在点(x,y)可微,Vx+BV称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分,记作 dz=df= AAx+ bay 若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关， 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, 则称函数 f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 处全增量 则称此函数在D 内可微

由微分定义 lim Az= lim[(AAx+BAy)+o(p)=0 ->0 △→>0 得1imf(x+△x,y+△y)=f(x,y △x->0 △y->0 即函数==f(x,y)在点(xy)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 (1)函数可微 偏导数存在 (2)偏导数连续← 函数可微 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

(2) 偏导数连续 z = f (x + x, y + y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数存在 函数可微 即

二、偏导数定义及其计算法 引例:研究弦在点x处的振动速度与加速度,就是 将振幅v(x,1)中的x定于x处求(x0,1)关于t的 一阶导数与二阶导数 u(xo, t) O 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

二、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 u(x, t) 0 o x x u 中的 x 固定于 求 一阶导数与二阶导数. x0 处, ( , ) 0 u x t 关于 t 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 将振幅

定义1.设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内 极限 lim f(xo+△x,yo)-f(xo,y) r->0 △x 存在则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x02y)对x 的偏导数,记为 az x(x0,y0)2Ox(x0,y0) x0,y0 f(xo, y0);f(xo, yo) 注意:f(x2)=1imf(x+Ax,1)f(x,yo) △x→>0 △ f(r,yo) dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定义1. z = f (x, y) 在点 存在, z f (x, y) 在点(x , y ) 对x = 0 0 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内 ; ( , ) 0 0 x x y f   x + x 0 0 x 则称此极限为函数 极限 设函数 f (x0 ) = ( ) ( ) 0 0 f x + x − f x x 0 lim x→ x ; ( , ) 0 0 x x y z d 0 d x x x y = = ( , ). 1 0 0 f  x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x f x x y f x y x  +  − =  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) 0 0 f x y 注意 x :

同样可定义对y的偏导数 f(x0,y0)=1m f(x0,y+△y)-f(xo,yo) △y→>0 △ d f(ro, y) d 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在,则该偏导数称为偏导函数,也简称为 偏导数,记为,0,E,f(x,y),f(x,y ax ax fy(x,y), f2(x,y) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

同样可定义对 y 的偏导数 lim  →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y  ( , ) 0 f x ( , ) 0 − f x y 记为 y + y 0 0 y 机动 目录 上页 下页 返回 结束 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z    

警告各位! 偏导数的符号一,一是一个整体记号 不能像一元函数那样将 看成是

警告各位！ 偏导数的符号 x y    , 不能像一元函数那样将 是一个整体记号， z 与 x , y 的商。 y z x z     , 看成是

若函数f(x,y)在点(x0,y)处关 于变量x和y的偏导数均存在,则称 函数f(x,y)在点(x0,y)处可偏导。 若函数f(x,y)在区域g内的任 点处均可偏导,则称函数f(x,y) 在区域Ω内可偏导

若函数 f (x , y) 在点 于变量 x 和 y 的偏导数均存在，则称 在区域  内的任 ( , ) 0 0 x y 处关 函数 f (x , y) 在点 ( , ) 0 0 x y 处可偏导。 若函数 f (x , y) 一点处均可偏导，则称函数 f (x , y) 在区域  内可偏导

f(x+△x,y)-f(x,y) △x->0 △x 可以看出:定义时变量y是不变的 实际上,是对函数f(x,y),将y视为常 数,关于变量x按一元函数导数的定义

x f x x y f x y x z x  +  − =    → ( , ) ( , ) lim 0 可以看出: 定义 x z   时， 实际上 , 是对函数 变量 y 是不变的, f (x , y) , 将 y 视为常 数 , 关于变量 x 按一元函数导数的定义 进行的