s2、直角坐标系下二重积分的计算 教学目的:1熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算; 2懂得用二重积分求面积及体积。 教学重点:一般区域上二重积分的计算 教学难点:把二重积分化为不同次序的累次积分
§2、直角坐标系下二重积分的 计算 教学目的：1.熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算； 2.懂得用二重积分求面积及体积。 教学重点：一般区域上二重积分的计算 教学难点：把二重积分化为不同次序的累次积分
矩形区域上二重积分的计算 若f(x,y)在D=[a,b]×[c,d上连续,则 f(x, y)dxdy= dx f(x, y)dy= dy f(x,y)dx 即:矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分 此时,选择哪种次序就看被积函数(积分要简单) 例1求 1+x,ddhy,其中D=11x0
一 .矩形区域上二重积分的计算 = = = b a d c b a d c D f x y dxdy dx f x y dy dy f x y dx f x y D a b c d ( , ) ( , ) ( , ) 若 ( , )在 [ , ] [ , ]上连续，则 即：矩形区域上的二重积分可以化为任何一种次序的累次积分 此时，选择哪种次序就看被积函数（积分要简单） , [0,1] [0,1] 1 1. = + dxdy D x y x D 例 求 其中
二.一般区域上二重积分的计算 1x-型区域与y-型区域 如果积分区域为:a≤x≤b,φ1(x)≤y≤q2(x) 其中函数q1(x)、g2(x)在区间{a,b上连续 y=φ2(x) y=φ2(x) D X一型] D 区域 y=,(x) y=qp(x) X型区域的特点:穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点
二.一般区域上二重积分的计算 1.x-型区域与y-型区域 如果积分区域为： a x b, ( ) ( ). 1 x y 2 x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2 x [a,b] ［X－型］ 区域 ( ) y = 2 x a b D ( ) y = 1 x D a b ( ) y = 2 x ( ) y = 1 x X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点
如果积分区域为:c≤y≤d,q1(y)≤x≤q2(y) 其中函数1(y2(y)在区间[c,d]上连续 Y一型] 区域 x=p,() P(y) D q2(y) Y型区域的特点:穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点
如果积分区域为： c y d, ( ) ( ). 1 2 y x y 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 y ( ) 2 y [c,d] ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D c d c d ( ) 2 x = y ( ) 1 x = y D ［Y－型］ 区域 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点
若区域如图,则必须分割 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 ∫+』+ D X 2.一般区域上二重积分的计算 ①积分区域为X型区域 若f(x,y)在x-型区域a≤x≤b,1(x)≤y≤02(x)上 连续,其中g(x)、2(x)在ab连续,则 ∫ f(x, do= dx f(x, y)dy g1(x)
若区域如图，则必须分割. 在分割后的三个区域上分别 使用积分公式 . 1 2 3 = + + D D D D 2.一般区域上二重积分的计算 ①积分区域为X-型区域 连续，其中 、 在 连续，则 若 在 型区域 上 ( ) ( ) [ , ] ( , ) , ( ) ( ) 1 2 1 2 x x a b f x y x a x b x y x − ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy
f∫(x,y)dσ的值等于以D为底,以曲面z f(x,y)为曲顶柱体的体积 z=f(r, y) 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,只 A( d y=91(x) 得f(x,y)d=f(x,y)小y q1(x) 先y后x的累次积分
为曲顶柱体的体积． 的值等于以 为底，以曲面 ( , ) ( , ) f x y f x y d D z D = 应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法, a 0 x b z y x ( ) 0 A x z = f (x, y) ( ) 1 y = x ( ) 2 y = x ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D b a x x f x y d dx f x y dy 得 先y后x的累次积分
②积分区域为Y-型区域 若f(x,y)在y-型区域c≤y≤d,(y)≤x≤的2(y)上 连续,其中(y)、的(y)在cd连续,则 ∫(x,yg=∫d」m q2(y) f(x, y)dx Pi(J 先x后y的累次积分 题型1:改变累次积分的次序 步骤:(1)先根据已知累次积分写出积分区域并作图; (2)根据积分区域及图写出边界曲线的方程; (3)根据边界曲线的方程写出另一积分次序
②积分区域为Y-型区域 连续，其中 、 在 连续，则 若 在 型区域 上 ( ) ( ) [ , ] ( , ) , ( ) ( ) 1 2 1 2 y y c d f x y y c y d y x y − ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1 = D d c y y f x y d dy f x y dx 先x后y的累次积分 题型1：改变累次积分的次序 步骤：(1)先根据已知累次积分写出积分区域并作图； (2)根据积分区域及图写出边界曲线的方程； (3)根据边界曲线的方程写出另一积分次序
例1改变积分 ∫(x,y)y的次序 0.8 .6 .2 口.20.40.60.81
y = 1− x 例 1 改变积分 − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序
例2改变积分 f(x,y)+af(x,y)的次序 0 2 2-x y=vrtx 面看g面温 0.5 1 1.5 2
y = 2 − x 2 y = 2x − x 例 2 改变积分 − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序
例3改变积分2af(x,y)(a>0) 的次序 2 2a
例 3 改变积分 ( , ) ( 0) 2 0 2 2 2 − dx f x y dy a a a x a x x 的次序. a 2a 2a