广州大学：《数学分析》课程教学资源（PPT课件讲稿）第十七章（17-4）泰勒公式与极值问题

第四节 第十七章 二元涵数的泰勒公式 、高阶偏导数 二、中值定理与泰勒公式 三、极值问题 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

*第四节 二、中值定理与泰勒公式 三、极值问题 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数的泰勒公式 第十七章 一、高阶偏导数

高阶偏导数 设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数 az f(x, y) f,(x, y) ax 若这两个偏导数仍存在偏导数,则称它们是x=f(x,y) 的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导 数 0z、O 00z、0 frr(x, y) fry(x, y) dxdx ax y dx axdy 00z、0 fyr(, y) 00z X O avOx yy 学 HIGH EDUCATION PRESS 0@8 机动目录 下页返回结束

一、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 ( , ) , f (x, y) y z f x y x z x = y   =   若这两个偏导数仍存在偏导数， ( ) x z   ( ) y z x     ( ) x z y     ( ) ( , ) 2 2 f x y y z y z y = y y   =     则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 2 2 x z   = f (x, y); = xx x y z    = 2 f (x, y) = x y ( , ); 2 f x y y x z = y x    = x  机动 目录 上页 下页 返回 结束 数:

类似可以定义更高阶的偏导数 例如,z=f(x,y)关于x的三阶偏导数为 dx ax f(x,y)关于x的n-1阶偏导数,再关于y的一阶 偏导数为 n dy ox ox"ay HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 ( ) y  x y z n n    = −1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 偏导数为

例5求函数z=c+2的二阶偏导数及 dox 解 x+2y x+2 y x+2y x+2y ax oXy 2e x+2y 4 x+2y x+2y ayax ax aydx 注意:此处 但这一结论并不总成立 axa yy oy ax HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

x y e 2 2 + = 例5. 求函数 x y z e +2 = . 2 3 y x z    解 : =   x z =   2 2 x z ( ) 2 2 3 y x z y x x z      =    =   y z =    y x z 2 =    x y z 2 =   2 2 y z 注意:此处 , 2 2 y x z x y z    =    但这一结论并不总成立. x y e +2 x y e 2 2 + x y e +2 x y e 2 2 + x y e 2 2 + x y e 2 4 + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导数及

x-y +y2≠0 例如,f(x,y)= x +y +y2=0 x++4x fi(x,y)=y 2 x2+y2≠0 (x2+y 0 x2+y2=0 4x x2+y2≠0 f,(x, y) (x2+ x2+y2=0 f3(00)=1imf(0,△y)-f(00)=im、△y=-1 △y->0 y △ y→>0△y fyc (Ax,O)-f,(0,0) △x fyx(0,0)=lim m 者不等 △x->0 x→>0△. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

, 0 ( ) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 +  + − − x y x y x x y y x y f y f x x y   −  → (0, ) (0,0) lim 0 f y (x, y) = 例如, f x (x, y) = f xy (0,0) = x f x f f y y x yx   − =  → ( , 0) (0,0) (0,0) lim 0 二 者 不 等 y y y  −  =  →0 lim = −1 x x x   =  →0 lim =1 f (x, y) = 0, 0 2 2 x + y = , 0 ( ) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 4 +  + + − x y x y x x y y y 0 , 0 2 2 x + y = , 0 2 2 2 2 2 2 +  + − x y x y x y x y 0, 0 2 2 x + y = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6.证明函数 +y2+z2满足拉普拉斯 方程△ 0 2 1 ar ax 3×33 3x ar 1 3 ax 1x-40x 利用对称性,有 a2×∞ +33 2 3(x2+y2+z 0 av- az HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结

例6. 证明函数 满足拉普拉斯 0 2 2 2 2 2 2 =   +   +   z u y u x u 证： =   2 2 x u 利用对称性 , 有 , 1 3 5 2 2 3 2 r y y r u = − +   2 2 2 2 2 2 z u y u x u   +   +    方程 u = 3 1 r − x r r x   +  4 3 5 2 3 1 3 r x r = − + 5 2 2 3 2 1 3 r z z r u = − +   5 2 2 2 3 3 3( ) r x y z r + + = − + 2 = r = 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理若/x(xy)和fyx(xy)都在点(xo,yo)连续,则 fxy(xo, yo)=fyx(xo,yo) (证明略) 本定理对n元函数的高阶混合导数也成立 例如,对三元函数u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数 在点(x,y,z)连续时有 xvz\2 yzx(] zry(r X2 ,(x,y,2)=f1 y y X2 (x,y,z)=f2 (3S 说明:因为初等函数的偏导数仍为初等函数,而初等 函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序 HIGH EDUCATION PRESS 证明目录上页下页返回结束

( ) ( ) ( , ) , 若 f xy x,y 和 f y x x,y 都在点 x0 y0 连续 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x y f x y x y = y x 则 证明 目录 上页 下页 返回 结束 定理. 例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 说明: 本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立. 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序. 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有 而初等 (证明略)

二、中值定理与泰勒公式 元函数f(x)的泰勒公式 f(x+b)=f(x0)+f(x)h+00h2+ f∫ (n) (x0)h (x0+6x) (n+1)! (0<6<1) 推广 多元函数泰勒公式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、中值定理与泰勒公式 一元函数 f (x) 的泰勒公式: +  + = +  + 0 2 0 0 0 2! ( ) ( ) ( ) ( ) h f x f x h f x f x h n n h n f x ! ( ) 0 ( ) + (0  1) 推广 多元函数泰勒公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

记号(设下面涉及的偏导数连续) (h+k)(x0,y0)表示hfx(x0,y10)+kf,(x0,y0) y (h0+k)2f(xo,y)表示 ax y h fxx(xo, yo)+2hk xv(xo, yo)+k fvy(xo, yo) 般地(hx+k)"f(x02y0)表示 ax cP hpk m-p a"f axPaym-P(xo, yo) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

记号 (设下面涉及的偏导数连续): ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h   +   ( ) ( , ) 0 0 2 f x y y k x h   +   ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h m   +   ( , ) ( , ) 0 0 0 0 h f x y k f x y 表示 x + y ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hk f x y k f x y xx + x y + y y ( , ) C 0 0 0 x y x y f h k p m p m p m p m p p m − − =     • 一般地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • • 表示 表示

定理1.设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有直 到n+1阶连续偏导数,(xo+h,y+k)为此邻域内任 点,则有 f(xo+h, yo+k)=f(xo, yo)+(ha+k a)(o, yo +2i(hox+kav'f(o, yo)+ +i(ha+k a)"f(o, yo)+Rn 其中R n=(m+(ba2+k3)+(0+0,y+)② (0<6<1) ①称为在点(x,y的m阶泰勒公式②称为其拉格 朗日型余项 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

定理1. ( , ) ( , ) 0 0 设 z = f x y 在点 x y 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , ( , ) 0 0 x + h y + k 为此邻域内任 一点, 则有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k = f x y ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x  y    + + + 2 1 ! (h   x + k   y ) 2 f (x0 , y0 ) + ( ) ( , ) ! 0 0 1 h k f x y n n x  y    + + ( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + +     + (0  1) + Rn 其中 ① ② ① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束