第一章实数集与函数 §1实数 教学内容:实数的概念与性质;绝对值与其不等式性质 重点:绝对值与其不等式性质 要求:理解绝对值不等式性,会解绝对值不等式 实数及其性质: 回顾中学中关于有理数和无理数的定义 有理数,能用互质分数(pq为整数,q≠0)表示的数 q 有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 若规定 a0a1a2…an=a0a1a2…(an-1)99…9
1 第一章 实数集与函数 §1 实数 教学内容：实数的概念与性质；绝对值与其不等式性质 重点：绝对值与其不等式性质 要求：理解绝对值不等式性，会解绝对值不等式。 第一章 实数集与函数 § 1 实 数 数学分析研究的对象是定义在实数集上的函数，因此先叙述一下实数的有关概 念 一． 实数及其性质： 回顾中学中关于有理数和无理数的定义. 有理数： ( , 0) p q q p 能用互质分数 为整数， 表示的数； q 有限十进小数或无限十进循环小数表示的数 若规定： 0 1 2 0 1 2 a a a a a a a a . . ( 1)99 9 n n = − 则有限十进小数都能表示成无限循环小数
则有限十进小数都能表成无限循环小数。 例如:2.001记为2000999…;0记为0.000…;-8记为-7999 实数大小的比较 定义1给定两个井负实数 其中a,b为非负整数,0≤a,b≤9。若由 1)ak=b,k=0,1,2,…则称x与y相等,记为x=y 2)若存在非负整数l,使得ak=b,(k=0,1,2,…,D,而a1>b1 则称x大于y(或y小于x),分别记为x>y(或y<x)
2 则有限十进小数都能表成无限循环小数。 例如：2.001 记为 2.000999 ；0 记为 0.000 ；− 8 记为 − 7.999 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1a2 an , y = b0 .b1b2bn 其中 k k a , b 为非负整数，0 , 9 k k a b 。若由 1） ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 , 1 , 2 , ,l) k = k = ，而al+1 bl +1， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有 − x − y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义 2 设 x = a0 .a1 a2 an 为非负实数，称有理数 n a a a an x = 0 . 1 2 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1a2 an , y = b0 .b1b2bn 其中 k k a , b 为非负整数，0 , 9 k k a b 。若由 1） ak = bk , k = 0 , 1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 , 1 , 2 , ,l) k = k = ，而al+1 bl +1， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或 y x ）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数 x , y ，若按定义 1 有 − x − y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义 2 设 x = a0 .a1 a2 an 为非负实数，称有理数 n a a a an x = 0 . 1 2
规定任何非负实数大于任何负实数;对于负实数x,y,若按定义1有 则称y>x 实数的有理数近似表示 定义2设x=a04a12…an…为非负实数,称有理数 xn=aoa1a"an为实数x的n位不足近似值,而有理数 X.=x. 10 称为x的n位过剩近似值。 对于负实数x=-a0a1a2…an x的n位不足近似值规定为:x,=-a, 10″
3 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1a2 an, y = b0 .b1b2bn 其中 ak bk , 为非负整数，0 ak , bk 9。若由 1） ak = bk , k = 0 ,1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 ,1 , 2 , ,l) k = k = ，而al+1 bl+1， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或y x）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数x , y，若按定义1 有 − x −y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义2 设 x = a0 .a1a2 an 为非负实数，称有理数 n a a a an x = 0 . 1 2 下页 实数大小的比较 定义 1 给定两个非负实数 x = a0 .a1a2 an, y = b0 .b1b2bn 其中 ak bk , 为非负整数，0 ak , bk 9。若由 1） ak = bk , k = 0 ,1 , 2 , 则称 x 与 y 相等，记为 x = y 2） 若存在非负整数 l，使得 a b , (k 0 ,1 , 2 , ,l) k = k = ，而al+1 bl+1， 则称 x 大于 y （或 y 小于 x ），分别记为 x y （或y x）。 规定任何非负实数大于任何负实数；对于负实数x , y，若按定义1 有 − x −y ，则称 y x 实数的有理数近似表示 定义2 设 x = a0 .a1a2 an 为非负实数，称有理数 n a a a an x = 0 . 1 2 为实数 下页 x 的n 位不足近似值，而有理数 n n n x x 10 1 = + 称为 x 的n 位过剩近似值。 对于负实数 x = −a0 .a1 a2an x 的n 位不足近似值规定为： n n n x a a a a 10 1 . = − 0 1 2 − ； x 的n 位过剩近似值规定为： n a a a an x = − 0 . 1 2 比如 2 1.4142 = ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 2 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 2 的过剩近似值。 命题 设 0 1 2 0 1 2 x a a a y b b b = = . , . 为? 个实数，则 , n n x y n x y 存在非负整数 使得 为实数 x 的n 位不足近似值，而有理数 n n n x x 10 1 = + 称为 x 的n 位过剩近似值。 对于负实数 x = −a0 .a1 a2an x 的n 位不足近似值规定为： n n n x a a a a 10 1 . = − 0 1 2 − ； x 的n 位过剩近似值规定为： n a a a an x = − 0 . 1 2 比如 2 1.4142 = ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 2 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 2 的过剩近似值。 命题 设 0 1 2 0 1 2 x a a a y b b b = = . , . 为? 个实数，则 , n n x y n x y 存在非负整数 使得
x的n位过剩近似值规定为:xn=-aoa1a2…an 比如√2=14142 14,1.41,1414,14142,…称为√2的不足近似值; 1.5,142,1415,14143,…称为√2的过剩近似值。 命题设x=a0a1a2…,y=b0bb2…为2个实数,则 存在非负整数n,使得xn>歹 例1设x,y为实数,x>y,证明:存在有理数r满足 x>r> y
4 为实数 x 的n 位不足近似值，而有理数 n n n x x 10 1 = + 称为 x 的n 位过剩近似值。 对于负实数 x = −a0 .a1 a2an x 的n 位不足近似值规定为： n n n x a a a a 10 1 . = − 0 1 2 − ； x 的n 位过剩近似值规定为： n a a a an x = − 0 . 1 2 比如 2 1.4142 = ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 2 的不足近似值； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 2 的过剩近似值。 命题 设 0 1 2 0 1 2 x a a a y b b b = = . , . 为? 个实数，则 , n n x y n x y 存在非负整数 使得 例 1 设 x , y 为实数， x y ，证明：存在有理数 r 满 足 x r y 证 明 由 x y 存在非负整数 n ，使得 n n x y ， 取 2 n n x y r + = 则 r 显然为有理数，且 x x r y y n n 实数的一些主要性质 1 四则? 算封闭性: 2 三? 性( 即有序性 ): 任何两个实数 a , b ，必满足下述三个关系之一： a b , a = b , a b 3 实数大小由传 递性 ，即 a b b c , 则有 a c. 4 Achimedes 性: a, b R, b a 0, n N, n a b. 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6 实数集的几何表示： 数轴: 例 , 0, . 0, a < b + a b a b a b = − 为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数 n n n x x 1 0 1 = + 称 为 x 的 n 位过剩近似值。 对于负实数 x = −a 0 .a1a 2 an x 的 n 位不足近似值规定为： n n n x a a a a 1 0 1 . = − 0 1 2 − ； x 的 n 位过剩近似值规定为： n a a a a n x = − 0 . 1 2 比 如 2 1.4142 = ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 2 的不足近似值 ； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 2 的过剩近似值 。 命题 设 0 1 2 0 1 2 x a a a y b b b = = . , . 为? 个实数 ，则 , n n x y n x y 存在非负整数 使得 2 为实数 x 的 n 位不足近似值，而有理数 n n n x x 1 0 1 = + 称 为 x 的 n 位过剩近似值。 对于负实数 x = −a 0 .a1a 2 an x 的 n 位不足近似值规定为： n n n x a a a a 1 0 1 . = − 0 1 2 − ； x 的 n 位过剩近似值规定为： n a a a a n x = − 0 . 1 2 比 如 2 1.4142 = ，则 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 称为 2 的不足近似值 ； 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 称为 2 的过剩近似值 。 命题 设 0 1 2 0 1 2 x a a a y b b b = = . , . 为? 个实数 ，则 , n n x y n x y 存在非负整数 使得 2
证明由x>y→存在非负整数n,使得xn>歹n,取r xn+ y 则r显然为有理数,且 x≥xn>r>yn≥y 实数的一些主要性质 四则运算封闭性 2三?性(即有序性)任何两个实数a,b,必满足下述三个关系之一: ab 3实数大小由传递性,即a>b,b>c则有a>c 4 Archimedes性:Va,b∈R,b>a>0,彐n∈N,)na>b 5稠密性:有理数和无理数的稠密性,给出稠密性的定义
5 例 1 设 x , y 为实数， x y ，证明：存在有理数 r 满 足 x r y 证 明 由 x y 存在非负整数 n ，使得 n n x y ， 取 2 n n x y r + = 则 r 显然为有理数，且 x x r y y n n 实数的一些主要性质 1 四则? 算封闭性: 2 三? 性( 即有序性 ): 任何两个实数 a , b ，必满足下述三个关系之一： a b , a = b , a b 3 实数大小由传 递性 ，即 a b b c , 则有 a c. 4 Achimedes 性: a, b R, b a 0, n N, n a b. 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6 实数集的几何表示： 数轴: 例 , 0, . 0, a < b + a b a b a b = − 运
6实数集的几何表示:数轴 b 分VE>0,a-b0,a<b+E→a≤b 二绝对值与不等式 a.a≥0 绝对值定义:|a| a<0 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离: a a
6 例 1 设 x , y 为实数， x y ，证明：存在有理数 r 满 足 x r y 证 明 由 x y 存在非负整数 n ，使得 n n x y ， 取 2 n n x y r + = 则 r 显然为有理数，且 x x r y y n n 实数的一些主要性质 1 四则? 算封闭性: 2 三? 性( 即有序性 ): 任何两个实数 a , b ，必满足下述三个关系之一： a b , a = b , a b 3 实数大小由传 递性 ，即 a b b c , 则有 a c. 4 Achimedes 性: a, b R, b a 0, n N, n a b. 5 稠密性: 有理数和无理数的稠密性, 给出稠密性的定义. 6 实数集的几何表示： 数轴: 例 , 0, . 0, a < b + a b a b a b = − 二. 绝对值与不等式 绝对值定义： , 0 | | , 0 a a a a a = − 从数轴上看的绝对值就是到原点的距离： -a 0 a
对值的些主要性质 c|=|-a|≥0当且仅当a=0时|a 2.-a≤a≤a 3|dh≤a≤h,h>0 ≤a±b≤a+ 5. abAll /6j、b≠0
7 绝对值的一些主要性质 | | | | 0 0 | | 0 - < < ; | | , 0 4. 5. | | | || | | | 6. , 0 | | a a a a a a a a h h a h a h h a h h a b a b a b ab a b a a b b b = − = = − − + = = 1. 当且仅当 时 2. -| | | | 3. | |
性质4(三角不等式)的证明: 由性质2 a|≤a≤a,-b|≤b≤|b 两式相加 a +b)satbsa b 由性质3上式等价于ab≤|a+|b 把上式的b换成-b得|a-b|≤a+b 由此可推出 f(x)-Ake A-8<f(x)<A+8 A|=6<|f(x)<|A|-E
8 性质 4（三角不等式）的证明： 由性质2 -|a| a |a|, -|b| b |b| 两式相加 -(|a|+|b|) a+b |a|+|b| 由性质 3 上式等价于 |a+b| |a|+|b| 把上式的 b 换成 -b 得 |a-b| |a|+|b| 由此可推出 − − − − + | | | ( ) | | | | ( ) | ( ) A f x A f x A A f x A
三.几个重要不等式: (1)a2+b2≥2ab sinx|≤1 SIn x (2)对a1,a2…,an∈R,记 a1+a2+…+a,1 M(a1) a (算术平均值) G(a1) (几何平均值) (调和平均值) 一+∴ 有均值不等式:H(a1)≤G(a1)≤M(a1等号当且仅当a1=a2=…=an时成立
9 三. 几个重要不等式: （1） 2 , 2 2 a + b a b sin x 1. sin x x . （2）对 , , , , 1 2 + a a an R 记 , 1 ( ) 1 1 2 = = + + + = n i i n i a n n a a a M a (算术平 均值) ( ) , 1 1 1 2 n n i i n i n G a a a a a = = = (几何平均值) . 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 = = = = + + + = n i i n n i i i a n a a a n a n H a (调和平均值) 有 均值不等式: ( ) ( ) ( ), i i i H a G a M a 等号当且仅当 n a = a = = a 1 2 时成 立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归 纳法证明过) 对 x 0, 由 二项展开式 2 3 ( 1) ( 1)( 2) (1 ) 1 , 2! 3! n n n n n n n x nx x x x − − − + = + + + + + 有: (1 )n + h 上式右端任何一项
(3) Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法证明过) 对∨x>0,由二项展开式 n(n (1+x) 1+m+ x-+ x3+…+xn 2! 有:(1+h)”>上式右端任何一项 思考题: 1、设a、b∈R,E是任意正数,恒有关系式a-b<E成立,请问 a、b之间关系如何? 2、设a、b、c∈R,(R+表示全体正实数的集合).有关系式: Na+b2-a2+c2|sb-c成立,它的几何意义是什么?
10 三. 几个重要不等式: （1） 2 , 2 2 a + b a b sin x 1. sin x x . （2）对 , , , , 1 2 + a a an R 记 , 1 ( ) 1 1 2 = = + + + = n i i n i a n n a a a M a (算术平 均值) ( ) , 1 1 1 2 n n i i n i n G a a a a a = = = (几何平均值) . 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 2 1 1 = = = = + + + = n i i n n i i i a n a a a n a n H a (调和平均值) 有 均值不等式: ( ) ( ) ( ), i i i H a G a M a 等号当且仅当 n a = a = = a 1 2 时成 立. （3） Bernoulli 不等式: (在中学已用数学归 纳法证明过) 对 x 0, 由 二项展开式 2 3 ( 1) ( 1)( 2) (1 ) 1 , 2! 3! n n n n n n n x nx x x x − − − + = + + + + + 有: (1 )n + h 上式右端任何一项. 2 2 2 2 1 , 2 ,( a b R a b a b c R R a b a c b c + + + − + − 思考题： 、设 、 是任意正数，恒有关系式 a-b 成立，请问 、 之间关系如何？ 、设 、 、 表示全体正实数的集合).有关系式： 成立，它的几何意义是什么？