第2讲度量空间及其拓扑 教学目的:介绍度量空间的公理及其拓扑性质。 授课要点: 度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相 互关系。 定义1设X是某个集合,d:XxX→R是一个二元映射,满足 (1)d(x,y)≥0;d(x,y)=0当且仅当x=y (2)d(x,y)=d(y,x) (3)d(x,-)≤d(x,y)+d(y,)(三角不等式) 则称d是X上的度量(距离)函数,称X为度量(距离)空间.有时为了明确,记为(X 度量空间的子集合E,仍以d为E上度量构成的度量空间称为(X,d)的子空间 例1对于n维空间Φ”中的点x=(x1…,x)和y=(1…,y),定义 d(x,y)=∑x-y 容易验证d是Φ"上的度量函数.其中的三角不等式即数学分析中用到的 Minkowski不等式 记此空间为(Φ,d).称之为n维欧几里德( Euclid)空间 实际上在”上还可以定义其他度量,例如d(x,y)=maxx1-y,此时(o,d)仍是度 量空间.但须注意应把(Φ",d1)与(Φ,d)视为不同的度量空间.此外注意今后当说到Φ”是 度量空间时,总意味着它带有欧氏度量 例2空间s 考虑上节例2中的线性空间Φ°,对于x=(x),y=(yn),定义 21 现证明d是度量函数,记此空间为s
第 2 讲 度量空间及其拓扑 教学目的：介绍度量空间的公理及其拓扑性质。 授课要点： 度量空间、赋范空间、内积空间的公理体系以及三者的相 互关系。 定义 1 设 X 是某个集合， d : X × X → R 是一个二元映射，满足 （1） 0 d(x, y) ≥ ； d(x, y) = 0 当且仅当 x = y ． （2） ) d(x, y) = d( y, x ． （3） ) d(x,z) ≤ d(x, y) + d( y,z （三角不等式）． 则称 d 是 X 上的度量（距离）函数，称 X 为度量（距离）空间．有时为了明确，记为(X , d) ． 度量空间的子集合 E ，仍以 d 为 E 上度量构成的度量空间称为(X , d) 的子空间． 例 1 对于 n 维空间 n Φ 中的点 ( , , ) 1 n x = x " x 和 ( , , ) 1 n y = y " y ，定义 1 2 2 1 (, ) , n i i i dxy x y = = − ∑ （1） 容易验证 d 是 n Φ 上的度量函数．其中的三角不等式即数学分析中用到的 Minkowski 不等式 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 + − ≤ − ∑ − ∑ ∑ = = = n i i i n i i i n i i i x z x y y z , 记此空间为( ,d) n Φ . 称之为 n 维欧几里德（Euclid）空间． 实际上在 n Φ 上还可以定义其他度量，例如 i i i n d x y = x − y 1≤ ≤ 1 ( , ) max ，此时 ( , ) d1 n Φ 仍是度 量空间．但须注意应把 ( , ) d1 n Φ 与( ,d) n Φ 视为不同的度量空间．此外注意今后当说到 n Φ 是 度量空间时，总意味着它带有欧氏度量. 例 2 空间 s ． 考虑上节例 2 中的线性空间 ∞ Φ ，对于 ( ), ( ) n n x = x y = y ，定义 ∑ ∞ = + − − = 1 2 1 1 ( , ) i i i i i i x y x y d x y ． （2） 现证明 d 是度量函数，记此空间为 s ．
证明(1)显然d(x,y)≥0.若d(x,y)=0,则必有x-y=0,即x=y(=12 故 (2)d(x,y)=d(y,x)显然 (3)考虑函数∫()=,,t≥0.由于ω的递增性,对于任意实数a,b,由 +b≤a+b得到 a+b1++b1+l1+{b 所以 d(x,=)= a21+x- 211 x, y d(x,y)+d(,=) 例3空间Ca,b] Ca,b是区间[a,b]上的连续函数全体,对于x,y∈Ca,b],定义 d(x,y)=max x(0)-y(ol (3) 则d是Ca,b]上的度量函数.容易验证 1°d(x,y)≥0.若d(x,y)=0则vt∈[a,b,x()=y(),故x=y 2°显然d(x,y)=d(y,x) x()-() ≤max{x()-y()+10)-oW} < maxx(()-y(+maxx(0)-=(0 C[a,b是度量空间
证明 （1）显然 d(x, y) ≥ 0 ．若 d(x, y) = 0 ，则必有 − = 0 i i x y ，即 x = y (i =1,2,") i i ， 故 x = y ． （2） d(x, y) = d( y, x) 显然． （3）考虑函数 t t f t + = 1 ( ) ， t ≥ 0 ．由于 f (t) 的递增性，对于任意实数 a ， b ，由 a + b ≤ a + b 得到 b b a a a b a b a b a b + + + ≤ + + + ≤ + + + 1 1 1 1 ， 所以 ∑ ∞ = + − − = 1 2 1 1 ( , ) i i i i i i x z x z d x z ∑ ∞ = + − + − − + − = 1 2 1 1 i i i i i i i i i i x y y z x y y z ∑ ∞ = + − − + + − − ≤ 1 2 1 1 1 i i i i i i i i i i y z y z x y x y = d(x, y) + d( y,z) ． 例 3 空间C[a,b]． C[a,b]是区间[a,b]上的连续函数全体，对于 x, y∈C[a,b]，定义 d(x, y) max x(t) y(t) a t b = − ≤ ≤ ． （3） 则 d 是C[a,b]上的度量函数．容易验证 1° d(x, y) ≥ 0 ．若 d(x, y) = 0 则∀t ∈[a,b] ， x(t) = y(t) ，故 x = y ． 2°显然 d(x, y) = d( y, x) ． 3° d(x,z) max x(t) z(t) a t b = − ≤ ≤ max{ } x(t) y(t) y(t) z(t) a t b ≤ − + − ≤ ≤ max x(t) y(t) max y(t) z(t) a t b a t b ≤ − + − ≤ ≤ ≤ ≤ ) = d(x, y) + d( y,z ． C[a,b]是度量空间．
定义2设(X,d)是度量空间,EcX (1)称damE=sup{d(x,y)x,y∈E}是E的直径.称E是有界集,若damE∞) 记之为lmxn=x或xn→>x 定理1度量空间中序列的极限是惟一的.收敛序列的元素构成有界集 证明若 d(x,x)→0,d(xn,y)→>0,(n→∞) 由三角不等式知道 0≤d(x,y)≤d(xn,x)+d(xn,y)→0,(n→>∞) 故d(x,y)=0,由定义知道x=y.后一结论是明显的 定理2d(x,y)是两个变元的连续函数,即当x→x,y→y时, d(xn,y)→d(x,y) 证明由三角不等式知道, 同样地 d(x,y)-d(x,-)≤d(,y)=d(y,-) 于是 d(x,y)-d(x,)≤d(y,2) (4) 应用(4),则 d( ym)-d(x,y)sd(m, m)-d(m, x)+d( d(x,x)+d(yn,y)→0 故
定义 2 设(X , d) 是度量空间， E ⊂ X ． （1）称diamE = sup{d(x, y); x, y∈ E}是 E 的直径．称 E 是有界集，若diamE < ∞ ． （2）对于 n x ， x∈ X ，称 n x （依度量 d ）收敛于 x ，若 d(x , x) → 0(n → ∞) n ． 记之为 x x n n = →∞ lim 或 x x n → ． 定理 1 度量空间中序列的极限是惟一的．收敛序列的元素构成有界集． 证明 若 x x n → ， x y n → ，即 d(x , x) → 0 n ， d(x , y) → 0 n ，(n → ∞) ． 由三角不等式知道 0 ≤ d(x, y) ≤ d(x , x) + d(x , y) → 0 n n ，(n → ∞) ． 故 d(x, y) = 0 ，由定义知道 x = y ．后一结论是明显的． 定理 2 ) d(x, y 是两个变元的连续函数，即当 x x n → ， y y n → 时， d(x , y ) d(x, y) n n → ． 证明 由三角不等式知道， d(x,z) − d(x, y) ≤ d( y,z) ， 同样地 d(x, y) − d(x,z) ≤ d(z, y) = d( y,z)， 于是 d(x, y) − d(x,z) ≤ d( y,z) （4） 应用（4），则 d(x , y ) d(x, y) d(x , y ) d( y , x) d( y , x) d(x, y) n n − ≤ n n − n + n − ≤ d(x , x) + d( y , y) → 0 n n ． 故
d(xny)→d(x,y) 例4设X是任一点集,定义 d(x,y) vx,y∈X 容易验证(X,d)是度量空间.称此类空间为离散度量空间 此例说明对于任一点集X,可以在X上规定某种度量函数使之成为度量空间.但是我 们研究度量空间的目的在于研究空间的性质并用于解决实际问题,因此我们通常所关心的 是与空间的某种性质紧密联系的度量函数.下面是这方面的例子 命题2C[a,b]中的序列x依度量收敛于x等价于xn在[a,]上一致收敛于x 由CIa,b]中度量函数的定义直接得出 例5空间S.设(,E,)是有限测度空间,A(2)0 (0)-x(2a}=0 记E,()=x0)-x(o≥),则 d(rm, x)= +lx, (0-x(ol x()-x() ≤(En(0)+,() 由于以()0,先取σ足够小使第二项小于,再取n足够大使第 项小于,则知d(x,x)→0
d(x , y ) d(x, y) n n → ． 例 4 设 X 是任一点集，定义 ∀ ∈ ≠ = = x y X x y x y d x y , 1, , 0, , ( , ) ． （5） 容易验证(X , d) 是度量空间．称此类空间为离散度量空间． 此例说明对于任一点集 X ，可以在 X 上规定某种度量函数使之成为度量空间．但是我 们研究度量空间的目的在于研究空间的性质并用于解决实际问题， 因此我们通常所关心的 是与空间的某种性质紧密联系的度量函数．下面是这方面的例子． 命题 2 ] C[a,b 中的序列 n x 依度量收敛于 x 等价于 n x 在[a,b]上一致收敛于 x ． 由C[a,b]中度量函数的定义直接得出． 例 5 空间 S ．设(Ω,Σ ,µ) 是有限测度空间， µ(Ω) 0， lim { } , ( ) − ( ) ≥ = 0 →∞ µ t xn t x t σ n ． 记 En (σ ) = { } t, xn (t) − x(t) ≥ σ ， 则 µ µ σ Ω σ d 1 ( ) ( ) ( ) ( ) d 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ∫ ( ) ∫ \ ( ) + − − + + − − = n En n n E n n n x t x t x t x t x t x t x t x t d x x ( ) 1 ( ( )) µ Ω σ σ µ σ + ≤ En + ． 由于 µ(Ω) 0 ，先取σ 足够小使第二项小于 2 ε ，再取 n 足够大使第 一项小于 2 ε ，则知 d(x , x) → 0 n ．
反之,对于每个a>0,由于 (E()≤ d≤d(xn,x) E.o1+x()-x() 所以当d(xn,x)→0时,im(En(σ)=0,这说明xn依测度收敛于x 思考题 空间s中依度量d收敛等价于依坐标收敛. 2、证明当d是x上的度量时,mn(d,l与、4 也是 3、对于例4中定义的离散度量空间,若x∈X,01,写出O(x,E)=? O(x,r)=? 个线性空间上未必定义有度量.反过来一个度量空间也未必是线性的.同时是线性又 是度量的空间称为是线性度量空间,假若加法和数乘关于此度量是连续的.即当在X中, xn→x,yn→y,在标量域φ中λ→>λ时 x+y→x+y, →Ax 定义3设(X,d)是度量空间. (1)若x∈X,r>0,称 O(xo, r)=xeX; d(x, xo)0,使得O(x,r)cB (3)包含x的任一开集称为x的邻域 (4)集合EcX称为闭集,若X\E为开集 引理球O(xnr)(r>0)是开集 证明对于任意的y∈O(x,r),取r=r-d(y,x), 则r>0,此时v∈O(yr (=,x0)≤d(=,y)+d(y,x)<r+d(y,x)=r, 故z∈O(x,r).z是任意的,所以O(,r)cO(x0,r) 由定义知道O(x,)是开集
反之，对于每个σ > 0，由于 d ( , ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 1 ( ) d x x x t x t x t x t E n E n n n n ≤ + − − ≤ + ∫ µ σ µ σ σ σ ， 所以当 d(xn , x) → 0 时， lim ( ( )) = 0 →∞ µ n σ n E ，这说明 n x 依测度收敛于 x ． 思考题 1、 空间 s 中依度量 d 收敛等价于依坐标收敛． 2、 证明当 d 是 X 上的度量时， min{ ,1} d 与 1 d + d 也是。 3、 对于例 4 中定义的离散度量空间，若 x ∈ X , 0 1, 1 r ，写出 O x(, ) ? ε = Oxr (,) ? = 一个线性空间上未必定义有度量．反过来一个度量空间也未必是线性的．同时是线性又 是度量的空间称为是线性度量空间，假若加法和数乘关于此度量是连续的．即当在 X 中， x x n → ， y y n → ，在标量域Φ 中λn → λ 时 x y x y n + n → + ， x x λn n → λ ． 定义 3 设(X , d) 是度量空间． （1）若 x0 ∈ X ， r > 0 ，称 O(x ,r) = { } x ∈ X;d(x, x ) 0，使得O(x0 ,r) ⊂ B ． （3）包含 x 的任一开集称为 x 的邻域． （4）集合 E ⊂ X 称为闭集，若 X \ E 为开集． 引理 球 ( , ) ( 0) O x0 r r > 是开集． 证明 对于任意的 ( , ) 0 y∈O x r ，取 ( , )0 r′ = r − d y x ， 则 r′ > 0 ，此时∀z ∈O( y,r′) ， d(z, x ) ≤ d(z, y) + d( y, x ) < r′ + d( y, x ) = r 0 0 0 ， 故 ( , ) 0 z ∈O x r ． z 是任意的，所以 ( , ) ( , ) 0 O y r′ ⊂ O x r ． 由定义知道 ( , ) 0 O x r 是开集．
下面定理可以仿照实数轴上的情况证明之,这里将具体的证明略去 定理3设X是度量空间,则 (1)空集②与X是开集, (2)任意多个开集之并是开集, (3)有限个开集之交是开集 设有集合X的子集族{B,∈A},若空集⑧与X都属于该集族,并且该集族中的集合 对于任意并和有限交封闭,则称{B2∈A是X上的拓扑,称X是拓扑空间.每个B2都称 为是该空间中的一个开集 定理3表明度量空间中由全体开集构成的集族是它的拓扑,从而每个度量空间是一个拓 扑空间 定义4设X是度量空间,EcX,x∈X (1)若存在r>0使得O(x,r)cE,称x是E的内点.E的内点全体称为E的内部, 记为E°. (2)若存在r>0使得O(x,r)∩E=②,称x0是E的外点,E的外点全体记为E (3)若vE>0,O(x,E)∩E≠⑧,称是E的接触点.E的接触点全体称为E的闭包, 记为E. (4)若vE>0,O(x,E)n(E\{x})≠②,称x是E的聚点.E的聚点全体记为E 下面命题容易由定义直接验证,这里将具体的验证留给读者 命题4 (1)EUE=X,E∩E=②,E=EUE (2)x∈E当且仅当存在xn∈E,xn→x (3)x∈E'当且仅当存在xn∈E,x≠x使得xn→x, 定理4设X是度量空间,EcX (1)E为开集当且仅当E=E°,E°是包含在E中的最大开集 (2)E为闭集当且仅当E=E,E是包含E的最小闭集 (3)E为闭集当且仅当任何xn∈E,x→x,则x∈E 证明1°若E是开集,Vx0∈E,存在r>0,使得O(x,r)cE.从而 x∈E, 故 EcE°.显然E°cE,所以E=E 反之若E=E°,只须证明E°为开集.x∈E°,x为E的内点,故存在r>0
下面定理可以仿照实数轴上的情况证明之，这里将具体的证明略去． 定理 3 设 X 是度量空间，则 （1）空集∅ 与 X 是开集， （2）任意多个开集之并是开集， （3）有限个开集之交是开集． 设有集合 X 的子集族{ } Bλ,λ ∈ Λ ，若空集∅ 与 X 都属于该集族，并且该集族中的集合 对于任意并和有限交封闭，则称{ } Bλ,λ ∈ Λ 是 X 上的拓扑，称 X 是拓扑空间．每个 Bλ都称 为是该空间中的一个开集． 定理 3 表明度量空间中由全体开集构成的集族是它的拓扑，从而每个度量空间是一个拓 扑空间． 定义 4 设 X 是度量空间， E ⊂ X ， x0 ∈ X ． （1）若存在 r > 0 使得O(x0 ,r) ⊂ E ，称 0 x 是 E 的内点． E 的内点全体称为 E 的内部， 记为 E°． （2）若存在 r > 0 使得O(x0 ,r) ∩ E = ∅ ，称 0 x 是 E 的外点， E 的外点全体记为 e E ． （3）若∀ε > 0 ，O(x0 ,ε )∩ E ≠ ∅ ，称是 E 的接触点． E 的接触点全体称为 E 的闭包， 记为 E ． （4）若∀ε > 0 ，O(x0 ,ε ) ∩ (E \ {x0}) ≠ ∅ ，称 0 x 是 E 的聚点． E 的聚点全体记为 E′． 下面命题容易由定义直接验证，这里将具体的验证留给读者． 命题 4 （1） E E X e ∪ = ， = ∅ e E ∩ E ， E = E ∪ E′． （2） x0 ∈ E 当且仅当存在 xn ∈ E ， 0 x x n → ． （3） x ∈ E′ 0 当且仅当存在 xn ∈ E ， 0 x x n ≠ 使得 0 x x n → ． 定理 4 设 X 是度量空间， E ⊂ X ． （1） E 为开集当且仅当 E = E° ， E°是包含在 E 中的最大开集． （2） E 为闭集当且仅当 E = E ， E 是包含 E 的最小闭集． （3） E 为闭集当且仅当任何 xn ∈ E ， 0 x x n → ，则 x0 ∈ E ． 证明 1°若 E 是开集， ∀x0 ∈ E ，存在 r > 0 ，使得 O(x0 ,r) ⊂ E ．从而 x ∈ E° 0 ，故 E ⊂ E°．显然 E° ⊂ E ，所以 E = E° ． 反之若 E = E° ，只须证明 E° 为开集． x ∈ E° 0 ， 0 x 为 E 的内点，故存在 r > 0
O(x,r)cE.由引理,O(x,n)为开集,故其中每一点z∈O(x0,r)是O(x,r)的内点,从而为 E的内点,即O(x)cE°,E为开集 若G为开集,GcE,显然G°cE°,由以上所证G=G°cE°. 2°对于任一集合EcX,由定义可以得出,E的外点等于E的余集的内点,即 (X\EP=X\E.若E闭,则X\E开,由1°知道X\E=(X\E)=X\E,从而E=E 反之若E=E,则X\E=X\E=(X\E)是开集,从而E是闭集 3°定理中的(3)由(2)和命题4(3)得出 可以直接验证,闭球S(x,r)是闭集 定义5设X为线性空间,若p:X→R是一个映射,使得x,y∈X,a∈φ (1)p(x)≥0 (2)p(ax)=a|p(x) (3)p(x+y)≤p(x)+p(y) 则称p是X上的半范数.若还有 (4)p(x)=0,则x=0 称P是X上的范数.此时记p(x)=|,称(XD是线性赋范空间.在不至于混淆时记 (X,·为X 定理5(1)线性赋范空间是度量空间,并且 d(x,y)引x-y‖l 是此空间上的度量函数 (2)范数关于变元x是连续函数,即若x→x,则 ‖xn‖xl‖ (3)若xn,y,xy∈X,,∈Φ,并且x→x,yn→y,λn→,则 证明1°(1)由直接验证得出 2°在定义(2)中令a=-1得出‖-x|=x‖.再由定义中(3)的不等式得出 lxn‖≤‖x‖‖x-x‖l 或者 xn‖-‖x‖≤‖xn-xl, 同样地
O(x0 ,r) ⊂ E ．由引理， ( , ) 0 O x r 为开集，故其中每一点 ( , ) 0 z ∈O x r 是 ( , ) 0 O x r 的内点，从而为 E 的内点，即O(x ,r) ⊂ E° 0 ， E°为开集． 若G 为开集，G ⊂ E ，显然G° ⊂ E° ，由以上所证G = G° ⊂ E° ． 2°对于任一集合 E ⊂ X ，由定义可以得出， E 的外点等于 E 的余集的内点，即 (X \ E)° = X \ E ．若 E 闭，则 X \ E 开，由 1°知道 X \ E = (X \ E)° = X \ E ，从而 E = E ． 反之若 E = E ，则 X \ E = X \ E = (X \ E)°是开集，从而 E 是闭集． 3°定理中的（3）由（2）和命题 4（3）得出． 可以直接验证，闭球 ( , ) 0 S x r 是闭集． 定义 5 设 X 为线性空间，若 p : X → R 是一个映射，使得∀x, y∈ X ，α ∈Φ ． （1） p(x) ≥ 0 ， （2） p(αx) =|α | p(x) ， （3） p(x + y) ≤ p(x) + p( y) ． 则称 p 是 X 上的半范数．若还有 （4） p(x) = 0 ，则 x = 0 ． 称 p 是 X 上的范数．此时记 p(x) = x ，称 (X ,|| ⋅||) 是线性赋范空间．在不至于混淆时记 (X ,|| ⋅||) 为 X ． 定理 5 （1）线性赋范空间是度量空间，并且 d(x, y) =|| x − y || 是此空间上的度量函数． （2）范数关于变元 x 是连续函数，即若 x x n → ，则 || x || || x || n → ． （3）若 xn , yn , x, y ∈ X ，λn ,λ ∈Φ ，并且 x x n → ， y y n → ，λn → λ ，则 x y x y n + n → + ， x x λn n → λ ． 证 明 1°（1）由直接验证得出． 2°在定义（2）中令α = −1得出|| −x ||=|| x || ．再由定义中（3）的不等式得出 || || || || || || n n x ≤ +− x xx ， 或者 || || || || || || n n x − ≤− x xx ， 同样地
x||-lxn‖s‖x-xn|‖xn-xl‖l 从而 ‖xn|-|xsxn-xl (7) 若xn→x即‖xn-x|}→0,故有‖xn‖x‖ X→x 则 l(xn+yn)-(x+y)‖≤|xn-xl|+‖yn-y|→>0 即xn+yn→x+y 为证后面的式子成立,注意到收敛数列n是有界的,不妨设|λnM,则 nxn-Axl≤‖元nxn-xnxl+xnx-x 121x-x+12一x lx, -xll+am 当n→∞时后面两项都趋于0,故知结论成立 设(X,|D是线性赋范空间,以 (x,y)=x-y‖ 定义的X上的度量称为是由范数‖‖诱导的度量.今后当说到一个赋范空间的度量时,总是 指由它的范数诱导的度量.容易知道,线性赋范空间是线性度量空间.此时x→x当且仅 当 称这种收敛是依范数收敛.此外,集合EcX有界,当且仅当 p{‖xlx∈E}< 定理6线性空间X上的度量d使得X成为线性赋范空间,当且仅当d满足 (1)d(ax10)=l(x0),wx∈x,a∈ (2)d(x+=,y+s=d(x, y),x,y,EX 证明若X是线性赋范空间,‖‖为其范数,d(x,y)=x-y‖,由范数的性质可知 d(ar,0)=l a=a l x ad(x,O) d(x+,y+2)叫(x+2)-(y+2)|=x-y|=d(x,y) 反之,若d满足条件(1),(2),定义‖x|=d(x,0),则 1°显然‖x|0.若‖x|=0,即d(x、0)=0,由度量函数的性质,x=0 2 l rlp(aar,0)=ad(x,0)=a/llll
|| || || || || || || || n nn x − x xx x x ≤− = − ， 从而 || || || || || || n n x − ≤− x xx ， （7） 若 x x n → 即|| x − x ||→ 0 n ，故有|| x || || x || n → ． 3°若 x x n → ， y y n → ，则 || ( ) ( ) || | || || || 0 nn n n x y xy x x y y + −+ ≤ − + −→ ， 即 x y x y n + n → + ． 为证后面的式子成立，注意到收敛数列λn 是有界的，不妨设| λn |≤ M ，则 || || || || || || nn nn n n λ x −≤ − + − λ λ λ λλ x x x xx || x x || || x || ≤ λn n − + λn − λ M || x x || || x || ≤ n − + λn − λ ， 当 n → ∞ 时后面两项都趋于 0，故知结论成立． 设(X ,|| ⋅||) 是线性赋范空间，以 d(x, y) =|| x − y || 定义的 X 上的度量称为是由范数|| ⋅|| 诱导的度量．今后当说到一个赋范空间的度量时，总是 指由它的范数诱导的度量．容易知道，线性赋范空间是线性度量空间．此时 x x n → 当且仅 当 || x − x ||→ 0 n ． 称这种收敛是依范数收敛．此外，集合 E ⊂ X 有界，当且仅当 sup{|| x ||; x∈ E}< ∞ ． 定理 6 线性空间 X 上的度量 d 使得 X 成为线性赋范空间，当且仅当 d 满足 （1） d(αx,0) = α d(x,0) ，∀x∈ X ，α ∈Φ ． （2） d(x + z, y + z) = d(x, y) ，∀x, y,z ∈ X ． 证 明 若 X 是线性赋范空间，|| ⋅|| 为其范数， d(x, y) =|| x − y ||，由范数的性质可知 d(αx,0) =||αx ||= α || x ||= α d(x,0) ， d(x + z, y + z) =|| (x + z) − ( y + z) ||=|| x − y ||= d(x, y)． 反之，若 d 满足条件（1），（2），定义|| x ||= d(x,0) ，则 1° 显然|| x ||≥ 0 ．若|| x ||= 0 ，即 d(x,0) = 0，由度量函数的性质， x = 0 ． 2° ||αx ||= ρ(αx,0) = α d(x,0) = α || x || ．
0)=d(x,-y) ≤d(x,0)+d(0,-y) =d(x,0)+d(y,0)=x‖+‖yl 故‖‖为X上的范数,X为线性赋范空间 例3′考虑例3中的度量空间C[a,b.对于每个x=x()∈CIa,b],现在定义 按照函数空间的加法与数乘,C[a,b是线性空间.直接验证表明C[a,b]是赋范空间 此例也可用定理6的判定条件验证.同样地,例4的欧氏空间是赋范空间.注意例 中的s和例8中的S不是线性赋范空间.例如对于s,取x=(1,0,…),若a≠0,±1,则 d(a:0)=2+)4=adcx0) 由定理6,s不是线性赋范空间. 现在让我们转到比线性赋范空间更为特殊的一类空间 定义7设X为线性空间,若vx,y∈X,对应有标量,记为(x,y),满足 (1)(, x)=(x,y),Vx,yex (2)(ax,y)=a(x,y),vx,y∈X,a∈ (3)(x+y,-)=(x,2)+(y,2),Vx,y,∈X. (4)lx∈Y,(x,x)≥0.(x,x)=0时x=0 则称(x,y)是x,y的内积,称X为内积空间. 注意x,y∈X,a,B∈,容易得到 1°(0,y)=(x,0)=0 )=a(x,y) 3°(ax+By,-)=a(x,)+B(y,=) av+ 若标量域是R,则2°,3°,4°中的共轭均可以不出现 定理7在内积空间X中,若规定‖x=√(x,x),则 (1)(xys‖xⅢyl,wx,y∈x (2)‖是X上的范数,(X,‖·‖为线性赋范空间
3° ) || x + y ||= d(x + y,0) = d(x,−y ≤ d(x,0) + d(0,−y) = d(x,0) + d( y,0) =|| x || + || y ||． 故|| ⋅|| 为 X 上的范数， X 为线性赋范空间． 例 3′ 考虑例 3 中的度量空间C[a,b]．对于每个 x = x(t)∈C[a,b]，现在定义 || x || max | x(t) | a≤t≤b = ． （8） 按照函数空间的加法与数乘，C[a,b]是线性空间．直接验证表明C[a,b]是赋范空间． 此例也可用定理 6 的判定条件验证．同样地，例 4 的欧氏空间是赋范空间．注意例 5 中的 s 和例 8 中的 S 不是线性赋范空间．例如对于 s ，取 x = (1,0,") ，若α ≠ 0,±1，则 ( ,0) 4 1 2(1 ) d( x,0) α α d x α α α ≠ = + = ． 由定理 6， s 不是线性赋范空间． 现在让我们转到比线性赋范空间更为特殊的一类空间． 定义 7 设 X 为线性空间，若∀x, y∈ X ，对应有标量，记为(x, y) ，满足 （1）( y, x) = (x, y) ，∀x, y∈ X ． （2）(αx, y) = α(x, y) ，∀x, y∈ X ，α ∈Φ ． （3）(x + y,z) = (x,z) + ( y,z) ，∀x, y,z ∈ X ． （4）∀x∈ X ，(x, x) ≥ 0 ．(x, x) = 0 时 x = 0 ． 则称(x, y) 是 x ， y 的内积，称 X 为内积空间． 注意∀x, y,z ∈ X ，α,β ∈Φ ，容易得到 1°(0, y) = (x,0) = 0 ． 2°(x,αy) = (αy, x) =α( y, x) =α (x, y) ． 3°(αx + βy,z) = α(x,z) + β( y,z) ． 4°(x,αy + βz) = α (x, y) + β (x,z)． 若标量域是 R ，则 2°，3°，4°中的共轭均可以不出现． 定理 7 在内积空间 X 中，若规定|| || ( , ) x = x x ，则 （1） ( , ) || |||| || x y xy ≤ ，∀x, y∈ X ． （2）|| ⋅|| 是 X 上的范数，(X ,|| ⋅||) 为线性赋范空间．
证明1°容易知道当x=0或y=0时,(x,y)=0,此时(1)中等式成立.现在设y≠0 对于任意的A∈④, 0s(x+Ay, x+Ay)=(r,x)+2Re i(x,y)+a(,y) 取x=-(xx),代入得 0≤(x (y,y)(y,y)(y,y) ((x,x)(v,y)-(x,y) 从而 (x,y)≤√x)√y,y)=xⅢy 2°由定义7(4)知‖x|≥0.若‖xl=0,即(x,x)=0,从而x=0.又由定义7(2) ax|=√ax,ax)=√aP(x,x)=alx 由上面1°的证明知道 Ix+yl=(x+y,x+y =(x,x)+2Re(x,y)+(y,y) ≤(x,x)+2(x,y)+(y,y) ≤‖x+2|x‖ly+yl =(xl+y|)2. 所以‖x+ys‖x‖+‖y‖,‖是X上的范数 定理7说明任一内积空间是线性赋范空间.以 lx|√(x,x) 定义的X上的范数称为由内积诱导的范数.不难验证内积(x,y)关于两变元是连续的.即若 xn→x,y→y,则 (xn,y)→(x,y) 定理8赋范空间(X,‖·是内积空间当且仅当平行四边形公式成立 x+y+‖x-y|=2(x‖+‖yl),vx,y∈x 证明先证必要性.若X是内积空间,x,y∈X,则 ‖x+y‖=(x+y,x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y) x-y|=(x-y,x-y)=(x,x)-(x,y)-(y,x)+(y,y) 相加即得
证明 1°容易知道当 x = 0 或 y = 0 时，(x, y) = 0 ，此时（1）中等式成立．现在设 y ≠ 0 ， 对于任意的λ ∈Φ ， 0 ( , ) ( , ) 2Re ( , ) ( , ) 2 ≤ x + λy x + λy = x x + λ x y + λ y y ． 取 ( , ) ( , ) y y x x λ = − ，代入得 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 2 2 2 y y x y y y x y ≤ x x − + (( , )( , ) ( , ) ) ( , ) 1 2 x x y y x y y y = − ． 从而 (x, y) ≤ (x, x) ( y, y) =|| x || || y || ． 2°由定义 7（4）知|| x ||≥ 0 ．若|| x ||= 0 ，即(x, x) = 0 ，从而 x = 0 ．又由定义 7（2）， || || ( , ) | | ( , ) | | || || 2 αx = αx αx = α x x = α x ． 由上面 1°的证明知道 || || ( , ) 2 x + y = x + y x + y = (x, x) + 2Re(x, y) + ( y, y) ≤ (x, x) + 2 (x, y) + ( y, y) 2 2 ≤+ + || || 2 || || || || || || x xy y 2 = (|| x || + || y ||) ． 所以|| || || || || || x +≤ + yxy ，|| ⋅|| 是 X 上的范数． 定理 7 说明任一内积空间是线性赋范空间．以 || x ||= (x, x) 定义的 X 上的范数称为由内积诱导的范数．不难验证内积(x, y) 关于两变元是连续的．即若 x x n → ， y y n → ，则 (x , y ) (x, y) n n → ． 定理 8 赋范空间(X ,|| ⋅||) 是内积空间当且仅当平行四边形公式成立 || || || || 2(|| || || || ) 2 2 2 2 x + y + x − y = x + y ，∀x, y ∈ X ． （9） 证明 先证必要性．若 X 是内积空间， x, y ∈ X ，则 || || ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 x + y = x + y x + y = x x + x y + y x + y y || || ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 x − y = x − y x − y = x x − x y − y x + y y 相加即得
