第五章导数和微分 的概念 ★★★★★ 求导法则 3参变量 阶导数
§1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分
第五章导数和微分 §1导数的概念
§1 导数的概念
问题的提出 1直线运动的速度问题 如图,设动点于时刻的位置函数为=f(r) 求t时刻的瞬时速度 取一邻近于t的时刻t运动时间△ 平均速度v △sS-S0f()-f(t0) 当t→t时,取极限得 △t 瞬时速度V=lim ∫(1)-f(t0) M
一 问题的提出 1.直线运动的速度问题 , ( ) 求 0 时刻的瞬时速度 设动点于时刻的位置函数 为 t s = f t 0 t 如图, , 0 取一邻近于t 的时刻t 运动时间t, t s v 平均速度 = 0 0 0 0 ( ) ( ) t t f t f t t t s s − − = − − = , 当t → t 0时 取极限得 t t 0 0 ( ) ( ) lim 0 t t f t f t V t t − − = → 瞬时速度
2切线问题切线:割线的极限 割线MN 绕点M旋 转而趋向 极限位置 MT,直线 MT就称 为曲线C 在点M处 的切线 1.251.51.75 2.252.52.753 播放
2.切线问题 切线：割线的极限 播放 M N T 割线MN 绕点M旋 转而趋向 极限位置 MT,直线 MT就称 为曲线C 在点M处 的切线
设M(x0,y),N(x,y) y=f(r) 割线MN的斜率为 y=y tan p f(x)-f(x0) 0 0 r x X-d 0 N沿曲线CM,x→>x0 切线M的斜率为k=tana=imf(x)-f(x) X- 0
T 0 o x x x y y = f (x) C N M ( , ), ( , ). 0 0 设 M x y N x y 割线MN的斜率为0 0 tan x x y y − − = , ( ) ( ) 0 0 x x f x f x − − = , , N M x x0 ⎯沿曲线 ⎯ ⎯C→ → 切线MT的斜率为 . ( ) ( ) tan lim 0 0 0 x x f x f x k x x − − = = →
二导数的定义 1定义设函数y=f(x)在点x的某个邻域内 有定义,当自变量x在x处取得增量△x(点 i+△x仍在该邻域内时,相应地函数y取 得增量Δy=∫(x+Δx)-∫(x);如果Δ与 △x之比当Δx→0时的极限存在则称函数 f(x)在点x处可导,并称这个极限为函 数y=f(x)在点x处的导数记为yx=
二 导数的定义 ( ) , , ( ) , 0 , ( ) ( ); ) , , ( ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 x x y f x x y y f x x x x y f x x f x y x x y x x x y f x x = = = → = + − + = 数 在 点 处的导数 记 为 在 点 处可导 并称这个极限为函 之比当 时的极限存在 则称函数 得增量 如 果 与 仍在该邻域内时 相应地函数 取 有定义 当自变量 在 处取得增量 点 1.定义 设函数 在 点 的某个邻域内
dy x=xo 2 f"(x0) 即y Δy f(x+△x)-f(x0) m m △x→>0△y △r→0 △v 导数定义其它常见形式: f(xo=lim f(x)-f(x0) r- 0 f(o=lim f(o +h)-f(o) h→>0 h
. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h + − = → 导数定义其它常见形式： . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → x f x x f x x y y x x x x + − = = → → = ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , ( ) 0 x0 f dx dy x x = 即
注1点导数是因变量在点x处的变化率它 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 慢程度. 2导函数 1)如果函数y=f(x)在开区间I内的每点 处都可导,就称函数f(x)在开区间I内可导
. , 0 慢程度 反映了因变量随自变量的变化而变化的快 点导数是因变量在点x 处的变化率 它 , ( ) . ( ) 处都可导 就称函数 在开区间 内可导 如果函数 在开区间 内的每点 f x I 1） y = f x I 注1 2 导函数
2)对于任一x∈I,都对应着∫(x)的一个确定的 导数值这个函数叫做原来函数∫(x)的导函数 记作y,f(x,中或(x) 即 J’=imf(x+△x)-f(x) △x→0 △v 很明显f(x0)=∫(x x=0 3)如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(a)及 ∫'(b)都存在,就说f(x)在闭区间[a,b上可导
. ( ) , ( ), . ( ) . , ( ) dx df x dx dy y f x f x x I f x 记作 或 导数值 这个函数叫做原来函数 的导函数 对于任一 都对应着 的一个确定的 x f x x f x y x + − = → ( ) ( ) lim 0 即 很明显 ( ) ( ) . 0 x x0 f x f x = = 2） 如果 f (x)在开区间(a,b)内可导，且 f (a) + 及 f (b) − 都存在，就说 f (x)在闭区间a,b上可导. 3）
3单侧导数 左导数: f(x)-f(x0) f(xo=lim )=imnf(xn+△r)-f( 0 x→x0-0 r-d A→-0 △ 右导数: fi(xo=lim f∫(x)-f(x f(xo+△x)-f(x0) lim △v 判断函数在某一点可导的充分必要条件: 函数(x)在x点可导兮f(x0)=f(x0)
右导数: 3 单侧导数 左导数: ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → − →− − ; ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 0 0 0 x f x x f x x x f x f x f x x x x + − = − − = → + →+ + 判断函数在某一点可导的充分必要条件： ( ) ( ) ( ) 0 ' 0 ' 函 数f x 在x0 点可导 f + x = f − x