《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 ★§1可微性 ★2复合函数微分法 ★3方向早数与梯度 34勒公式与极值间题

第十七章 多元函数微分学 §1 可微性 §2 复合函数微分法 §3 方向导数与梯度 §4 泰勒公式与极值问题

第十七章多元函数微分学 §1可微性

第十七章 多元函数微分学 §1 可微性

、全微分的定 由一元函数微分学中增量与微分的关系得 +A/=/x(x,y)△x /(,+Ay)-/(,3y(x,y)Ay 二元函数 二元函数 对x和对y的偏增量对x和对y的偏微分

一、全微分的定义 f (x + x, y) − f (x, y)  f x (x, y)x f (x, y + y) − f (x, y) f x y y  y ( , ) 二元函数 对x和对 y的偏微分 二元函数 对x和对 y的偏增量 由一元函数微分学中增量与微分的关系得

全增量的概念 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义, 设P(x+△x,y+△y)为这邻域内的任意一点,则称 这两点的函数值之差f(x+Ax,y+△y)-f(x,y) 为函数在点P对应于自变量增量△x,Ay的全增量 记为△z,即 △z=f(x+Ax,y+△y)-f(x,y)

如果函数z = f (x, y)在 点( x, y)的某邻域内有定义， 设P(x + x, y + y)为这邻域内的任意一点，则称 这两点的函数值之差 f (x + x, y + y) − f (x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x,y的全增量， 记 为z， 即 全增量的概念 z = f (x + x, y + y) − f (x, y)

全微分的定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=/(+Ay+A 可以表示为 其中A,B不依 有关, p=y(△x)2+( (x,y)在点 (x,y)可微分,A+BAy称为函数x=f(x,y) 在点(x,y)的全微分,记为dz,即 化=AAx+B△

如果函数z = f ( x, y)在 点( x, y)的全增量 z = f ( x + x, y + y) − f ( x, y) 可以表示为 z = Ax + By + o( )， 其 中A, B不依赖于x、y而仅与x、y有关， 2 2  = (x) + (y) ，则称函数 z = f ( x, y) 在 点 ( x, y) 可微分，Ax + By 称为函数 z = f ( x, y) 在 点( x, y)的全微分，记为dz， 即 全微分的定义 dz = Ax + By

函数若在某区域D内各点处处可微分,则称这函数 在D内可微分 如果函数=f(xy)在点(xy)可微分,则函数在该 点连续 事实上△ im△z=0, →>0 imf(x+△ y)+△乙 △x->0 △y->0 f(x,y) 故函数z=f(x,y)在点(x,y)处连续

函数若在某区域 D 内各点处处可微分，则称这函数 在 D 内可微分. 如果函数z = f (x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该 点连续. 事实上 z = Ax + By + o(), lim 0, 0  = → z  lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → lim[ ( , ) ] 0 = f x y + z → = f (x, y) 故函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续

偏导数的定义及其计算法 定义设函数=f(x,y)在点(x00)的某一邻域内有 定义,当y固定在y而x在x处有增量△时, 相应地函数有增量 函数对x的偏增量 f(x0+△x,y0)-f(x0,y0) 如果imn/(a x0+△x,y0)-f(x0,y0 存在,则称 △x->0 △x 此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的 偏导数,记为 O ax x=xo ax x= ,zxx=x或f(x0,y0) y=yo y=J

定 义 设函数z= f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 的某一邻域内有 定义，当 y固定在 0 y 而x在x0处有增量x时 ， 相应地函数有增量 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x +x y − f x y ， 如 果 x f x x y f x y x  + −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 存在，则称 此极限为函数z= f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 处 对x的 偏导数，记为 二、偏导数的定义及其计算法 0 0 y y x x x z =  =  ， 0 0 y y x x x f =  =  ， 0 0 y y x x x z = = 或 ( , ) 0 0 f x y x . 函数对 x 的偏增量

O lim f(x0+△x,y0)-f(x0y0) ax|x=x0△x0 y=yo 同理可定义函数=f(xy)在点(x1y)处对y的偏导 数为 li 记为2 或/(x010) Oy

同理可定义函数z= f (x, y)在 点( , ) 0 0 x y 处 对 y的偏导 数 为 y f x y y f x y y  + −  → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 记 为 0 0 y y y x x z =  =  ， 0 0 y y y x x f =  =  ， 0 0 y y z y x x = = 或 ( , ) 0 0 f x y y . . ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 0 0 x f x x y f x y x f x y y x x  + − =    → = =

如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的 偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数,记作 0z或/(xy) ax’ax 同理可定义函数 对自变量的偏导数,记作 az af 或(

如果函数z= f (x, y)在区域D内任一点(x, y)处 对x的 偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、 y的函数， 它就称为函数z= f (x, y)对自变量x的偏导数，记作 x z   ， x f   ， x z 或 f (x, y) x . 同理可定义函数z= f (x, y)对自变量 y的偏导数，记作 y z   ， y f   ， y z 或 f (x, y) y

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 例如, fr(,3,)=m G x+△y3)-/(x,y,x) f(x,y,2 y,) 2(x,yx)=m、(x,yx+△z)-f(xyx)

偏导数的概念可以推广到二元以上函数 例如，u= f (x, y,z), 在(x, y,z)处， , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 x f x x y z f x y z f x y z x x  + − =  → , ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 y f x y y z f x y z f x y z y y  + − =  → . ( , , ) ( , , ) ( , , ) lim 0 z f x y z z f x y z f x y z z z  + − =  →