第2章插值与逼近 考核知识点 拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方 程组。 考核要求: 1.熟练掌握拉格朗日插值法及其余项 2.了解差商定义及性质,熟练掌握牛顿插值法及其余项 3.了解最小二乘法的基本思想,熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的 方法 重、难点分析 例1已知f(4)=2,f(9)=3,用线性插值计算∫(5),并估计误差 解取插值节点x0=4,x1=9,两个插值基函数分别为 (x)=x-x_1 1(x)=x==2(x-4) 2 3 x 6 故有4(x)=6(x)+4(x)=-3(x9)+5(x=4)=5 f(5)≈L1(5)=+=22 误差为R2(5)=156-4X5-9=-2r) 例2已知函数f(x)数值表为 用抛物插值法求近似值f(1.8) 解作差商表 y一阶差商 二阶差商 7
1 第 2 章 插值与逼近 一、考核知识点 拉格朗日插值法及其余项、差商定义及性质、牛顿插值法及其余项、最小二乘法、矛盾方 程组。 二、考核要求： 1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。 2．了解差商定义及性质，熟练掌握牛顿插值法及其余项。 3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与矛盾方程组最小二乘解的 方法。 三、重、难点分析 例 1 已知 f (4) = 2, f (9) = 3, 用线性插值计算 f (5) ，并估计误差。 解 取插值节点 x0= 4,x1= 9，两个插值基函数分别为 ( 9) 5 1 ( ) 0 1 1 0 = − − − − = x x x x x l x ( 4) 5 1 ( ) 1 0 0 1 = − − − = x x x x x l x 故有 5 6 5 ( 4) 5 3 ( 9) 5 2 ( ) ( ) ( ) 1 = 0 0 + 1 1 = − − + − = + x L x l x y l x y x x 2.2 5 6 5 5 (5) (5) f L1 = + = 误差为 (5 4)(5 9) 2 ( ) 2! ( ) (5) 2 f f R − − = − = 例 2 已知函数 f (x) 数值表为 x 1 2 3 y 1 3 7 用抛物插值法求近似值 f (1.8) 。 解 作差商表： x y 一阶差商 二阶差商 1 1 2 3 2 3 7 4 1
代入牛顿插值多项式得 N2(X)=1+2(x-1)+(x-1)x-2)=x2-x+1 故 f(18)≈N2(18)=(1.8)2-18+1=2.44 例3已知的函数表 求在[0,2内的零点近似值 解因为y关于ⅹ严格单调减少,用反插值法求f(x)零点的近似值比较简单, 具体作法如下: 先作反函数表 将节点x0=8,x1=7.5,x2=18及对应函数值yo=0,y=1,y=2代入二次拉格朗日插值多项 式(2.2),再令x=0,得 L2(0)= (0+7.50+18) (8+75(8+18) (-75-8-75+18+1+(0-80+7-3) 8)(-18-8)(-18+7.5) 于是得fx)在0,2]内零点x=f(0)≈L2(O)≈0445 值得注意的是,只有所给函数(或函数表)在[ab]上严格单调情况下,才能使用反插值方 ,否则可能得出错误结果。 例4已知数表: 求最小二乘一次式。 解设最小一次式为g1(x)=a+a1x,由系数公式得: S=n+1=35=∑x=6S1=∑x=14 f6=∑y=21f
2 代入牛顿插值多项式得： ( ) 1 2( 1) ( 1)( 2) 1 2 N2 X = + x − + x − x − = x − x + 故 (1.8) (1.8) (1.8) 1.8 1 2.44 2 f N2 = − + = 例 3 已知的函数表 求在[0，2]内的零点近似值。 解 因为 yi 关于 x 严格单调减少，用反插值法求 f(x) 零点的近似值比较简单， 具体作法如下： 先作反函数表 将节点 x0=8,x1=-7.5，x2=-18 及对应函数值 y0=0,y1=1,y2=2 代入二次拉格朗日插值多项 式（2.2），再令 x=0,得 0.445 2 ( 18 8)( 18 7.5) (0 8)(0 7.5 3) 1 ( 7.5 8)( 7.5 18) (0 8)(0 18) 0 (8 7.5)(8 18) (0 7.5)(0 18) (0) 2 − − − + − + − + − − − + − + + + + + + L = 于是得 f(x)在[0，2]内零点 (0) (0) 0.445 2 * 1 = − x f L 值得注意的是，只有所给函数（或函数表）在[a,b]上严格单调情况下，才能使用反插值方 法，否则可能得出错误结果。 例 4 已知数表： x 1 2 3 y 3.8 7.2 10 求最小二乘一次式。 解 设最小一次式为 g x a a x 1 0 1 ( ) = + ，由系数公式得： s0 = n +1= 3 = = = 2 0 1 6 i i s x 14 2 0 2 3 = = i= i s x = = = 2 0 0 21 i i f y 48.2 2 0 1 = = i= i i f y x x 0 1 2 y 8 -7.5 -18 x 8 -7.5 -18 y 0 1 2
+6a,=21 于是有法方程组 6a+14a,=482 解法方程组得a1=3.1a0=0.8 所以最小二乘一次式g1(x)=08+3.1x 例5求下列矛盾方程组的最小二乘解 x+x2=4 +2x,=7 2 1=x1 4 解令{2=x+2x2-7 X-x (x1+x2-4)2+(x1+2x2-7)2+(x1-x2-2)2 a=23x+22-13)=0 2(2x1+6x2-16)=0 得法方程组∫3x1+2x2=13 x1+6x2=16 解得 所以最小二乘解为x1=-x2 例6已知插值基函数l(x),k=0,1…,n,证明:当m<m时,∑1(x)xm=xm 证明:令f(x)=x 则有x=∑14(x)x7+ (+1)(x)
3 于是有法方程组 + = + = 6 14 48.2 3 6 21 0 1 0 1 a a a a 解法方程组得 3.1 * a1 = 0.8 * a0 = 所以最小二乘一次式 g (x) 0.8 3.1x 1 = + 例 5 求下列矛盾方程组的最小二乘解。 − = + = + = 2 2 7 4 1 2 1 2 1 2 x x x x x x 解 令 = − − = + − = + − 2 2 7 4 3 1 2 2 1 2 1 1 2 u x x u x x u x x 2 3 2 2 2 （x1 x2）= u1 + u + u 2 1 2 2 1 2 2 1 2 = (x + x − 4) + (x + 2x − 7) + (x − x − 2) 由 = + − = = + − = 2(2 6 16) 0 2(3 2 13) 0 1 2 2 1 2 1 x x x x x x 得法方程组 + = + = 2 6 16 3 2 13 1 2 1 2 x x x x 解得 7 23 x1 = 7 11 x2 = 所以最小二乘解为 7 23 x1 = 7 11 x2 = 例6 已知插值基函数 l k (x), k = 0,1, ,n ，证明 ：当 m n 时， m n k m k k l x x = x =0 ( ) 证明：令 m f (x) = x ， 则有 ( ) ( 1)! ( ) ( ) ( 1) 0 x n f x l x x n n k m k k m + = + + =
因为m<n,则((5)=0,所以∑l4(x)x=x
4 因为 , ( ) 0 ( 1) = + n m n 则f ，所以 m n k m k k l x x = x =0 ( )