《计算方法课程复习》第八章常微分方程数值解法复习

第八章常微分方程数值解法 考核知识点: 欧拉法,改进欧拉法,龙格-库塔法,单步法的收敛性与稳定性 考核要求 1.熟练掌握用欧拉法,改进欧拉法求微分方程近似解的方法。 2.了解龙格-库塔法的基本思想;掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的 方法 3.了解单步法的收敛性、稳定性与绝对稳定性 三、重、难点分析 例1用欧拉法,预估—一校正法求一阶微分方程初值问题 y=x-),在x=0(01)02近似解 y(0)=1 解(1)用h=0.1欧拉法计算公式 yn+1=y+0.1(xn-y)=0.9yn+0.1xn,n=0.1 计算得y=0.9y2=0.9×090.1×0.1=082 (2)用预估一校正法计算公式 0.9y+0.1x ym1=ym,+0.05(x-y 计算得 y1=0.91,y2=0.83805 例2已知一阶初值问题 求使欧拉法绝对稳定的步长h值。 解由欧拉法公式 ym1=ym,-h5y=(1-5h)y yn+1=(1-5h)

第八章 常微分方程数值解法 一、考核知识点： 欧拉法，改进欧拉法，龙格-库塔法，单步法的收敛性与稳定性。 二、考核要求： 1．熟练掌握用欧拉法，改进欧拉法求微分方程近似解的方法。 2．了解龙格-库塔法的基本思想；掌握用龙格-库塔法求微分方程近似解的 方法。 3．了解单步法的收敛性、稳定性与绝对稳定性。 三、重、难点分析 例 1 用欧拉法，预估——校正法求一阶微分方程初值问题    =  = − y(0) 1 y x y ，在 x = 0 （0.1）0.2 近似解 解 （1）用 h = 0.1 欧拉法计算公式 n n n n n n y y 0.1(x y ) 0.9y 0.1x +1 = + − = + ，n = 0.1 计算得 y1 = 0.9 y2 = 0.90.9 + 0.10.1= 0.82 （2）用预估—校正法计算公式 0,1 0.05( ) 0.9 0.1 (0) 1 1 1 (0) 1 =    = + − + − = + + + + + n y y x y x y y y x n n n n n n n n n 计算得 y1 = 0.91， y2 = 0.83805 例 2 已知一阶初值问题    =  = − (0) 1 5 y y y 求使欧拉法绝对稳定的步长 h 值。 解 由欧拉法公式 n n n n y y h5y (1 5h)y +1 = − = − n n y h y ~ (1 5 ) ~ +1 = −

相减得 en=(1-5h)en1=…=(1-5h)eo 当 1-5M≤1时,0<h≤04时,有pnls 欧拉法绝对稳定。 例3欧拉法的局部截断误差的阶为 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 三阶龙格库塔法的局部截断误差的阶为 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为」 例4欧拉法的绝对稳定实区域为 阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为」 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为」 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为

相减得 1 0 e (1 5h)e (1 5h) e n n = − n− == − 当 1−5h 1 时， 0  h  0.4 时，有 0 e e n  欧拉法绝对稳定。 例 3 欧拉法的局部截断误差的阶为 。 改进欧拉法的局部截断误差的阶为 。 三阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。 四阶龙格-库塔法的局部截断误差的阶为 。 例 4 欧拉法的绝对稳定实区域为 。 二阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 三阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为 。 四阶龙格-库塔法的绝对稳定实区域为