习题3.1 试计算并比较其导数的行列式和其行列式的导数 解:易知 dA 2t dt 因此其导数的行列式为483-2t.另一方面,可求出 det A= 8t"+4t--t 故其行列式的导数为40t4-3t2+8t. 3.设x()是区间a≤t≤B上的连续函数,且当a≤t≤B时, r()≤L+M/r(r)dt, 其中L,M是非负常数.试用逐步逼近法证明 r(t)l≤Le(-o,va≤t≤B 证明:不失一般性,可设x(t)≥0.由假设可知存在区间a≤t≤B上的连续函数r(t)≥0使得 (t)=r(t)+L+ 构造函数序列xk(t)}如下: r0(t)=r(t) Tk(=r(t)+L+MfTk-1(r)dt. 其中k=1,2,…容易归纳地证明,对任意自然数k,函数xk(t)在区间[a,月上有定义并且连续 由数学归纳法可证明 LMk-l xk(1)-xk-1()≤(k-1 a≤t≤ 用比率判别法知级数 在区间a<t≤B上是一致收敛的.因此级数 ro(t)+∑(x1()-xy-1(1),a≤t≤B 在区间a≤t≤B上是一致收敛的,从而函数序列{xk(t)}在区间a≤t≤B上是一致收敛的,并且 容易看出序列{xk(t)}一致收敛于x(t)}
1 习 题 3.1 2. 设 A = 2t 3 + 1 t 2 t 4t 2 , 试计算并比较其导数的行列式和其行列式的导数. 解: 易知 dA dt = 6t 2 2t 1 8t , 因此其导数的行列式为 48t 3 − 2t. 另一方面, 可求出 det A = 8t 5 + 4t 2 − t 3 , 故其行列式的导数为 40t 4 − 3t 2 + 8t. 3. 设 x(t) 是区间 α ≤ t ≤ β 上的连续函数, 且当 α ≤ t ≤ β 时, |x(t)| ≤ L + M Z t α |x(τ )|dτ, 其中 L, M 是非负常数. 试用逐步逼近法证明： |x(t)| ≤ LeM(t−α) , ∀α ≤ t ≤ β. 证明: 不失一般性, 可设 x(t) ≥ 0. 由假设可知存在区间 α ≤ t ≤ β 上的连续函数 r(t) ≥ 0 使得 x(t) = r(t) + L + M Z t α x(τ )dτ. 构造函数序列 xk(t)} 如下： x0(t) = r(t), xk(t) = r(t) + L + M R t α xk−1(τ )dτ, 其中 k = 1, 2, .... 容易归纳地证明, 对任意自然数 k, 函数 xk(t) 在区间 [α, β] 上有定义并且连续. 由数学归纳法可证明 |xk(t) − xk−1(t)| ≤ LMk−1 (k − 1)!(t − α) k−1 , α ≤ t ≤ β. 用比率判别法知级数 X∞ k=1 Mk k! (t − α) k 在区间 α ≤ t ≤ β 上是一致收敛的. 因此级数 x0(t) +X∞ j=1 (xj (t) − xj−1(t)), α ≤ t ≤ β 在区间 α ≤ t ≤ β 上是一致收敛的, 从而函数序列 {xk(t)} 在区间 α ≤ t ≤ β 上是一致收敛的, 并且 容易看出序列 {xk(t)} 一致收敛于 x(t)}
另一方面,对任意自然数n,由上面的估计,我们有 (rk(t) k-1 从而 xn+1(t)≤Le(-)+r()≤Le(t=o 由此知va≤t≤B,x(t)≤LeM(-a) 习题3.2 3.如果下列两个向量函数 cos t 为齐次微分方程组 dx 1(t)a12(t) 的基本解组,试求a(t) 解:易知 d au(t)a12(t)[sint cost a()a(t)」 Cost-sint a1()a12(t) cost -sin t int cos t a21(t)a22(t) sint -cost cost-sint 由此可求出a1(1)=a2(1)=0,a12(1)=1,a21(t)=-1 4.利用解的存在惟一性(定理1.1)证明定理22的第一部分 明:充分性设方程组:=A()x的解组{xk(t):k=1,2,…,n}的 Wronsky行列式detx()在 某点t=to∈a,处取值不为零,则{xk(to):k=1,2,…,n}线性无关,由定理21的证明可知解 组{xk(t):k=1,2,…,n}线性无关 必要性用反证法.设方程组=A(1)x的解组{xk(1):k=1,2,……,n}线性无关但在 间t∈a,月上它的 Wronsky行列式detx(1)≡0.在区间t∈la,上取定to∈[a,,则 {xk(to):k=1,2,,n}线性相关,即存在不全为零的常数C1,…,Cn使得 Cixi(to)+C2x2(to)+.+Cnxn(to)=0 显然C1x1()+C2x2()+…+Cnxn()和x(1)=0都是方程组:=A(t)x的满足初值条件 x(to)=0的解,因此由解的存在惟一性定理知必有 故解组{xk(t):k=1,2,…,n}线性相关,但这与假设矛盾
2 另一方面, 对任意自然数 n, 由上面的估计, 我们有 0 ≤ xn+1(t) − r(t) = nX +1 k=1 (xk(t) − xk−1(t)) ≤ nX +1 k=1 LMk−1 (k − 1)!(t − α) k−1 ≤ LeM(t−α) . 从而 xn+1(t) ≤ LeM(t−α) + r(t) ≤ LeM(t−α) . 由此知 ∀α ≤ t ≤ β, x(t) ≤ LeM(t−α) . 习 题 3.2 3. 如果下列两个向量函数 sin t cos t , cos t − sin t 为齐次微分方程组 dx dt = a11(t) a12(t) a21(t) a22(t) x 的基本解组, 试求 aij (t), i, j = 1, 2. 解: 易知 d dt sin t cos t cos t − sin t = a11(t) a12(t) a21(t) a22(t) sin t cos t cos t − sin t , 因此 a11(t) a12(t) a21(t) a22(t) = cos t − sin t − sin t − cos t sin t cos t cos t − sin t −1 , 由此可求出 a11(t) = a22(t) = 0, a12(t) = 1, a21(t) = −1. 4. 利用解的存在惟一性(定理 1.1 )证明定理 2.2 的第一部分. 证明: 充分性 设方程组 dx dt = A(t)x 的解组 {xk(t) : k = 1, 2, . . . , n} 的 Wronsky 行列式 detX(t) 在 某点 t = t0 ∈ [α, β] 处取值不为零, 则 {xk(t0) : k = 1, 2, . . . , n} 线性无关, 由定理 2.1 的证明可知解 组 {xk(t) : k = 1, 2, . . . , n} 线性无关. 必要性 用反证法. 设方程组 dx dt = A(t)x 的解组 {xk(t) : k = 1, 2, . . . , n} 线性无关但在 区间 t ∈ [α, β] 上它的 Wronsky 行列式 detX(t) ≡ 0. 在区间 t ∈ [α, β] 上取定 t0 ∈ [α, β], 则 {xk(t0) : k = 1, 2, . . . , n} 线性相关, 即存在不全为零的常数 C1, ..., Cn 使得 C1x1(t0) + C2x2(t0) + · · · + Cnxn(t0) = 0. 显然 C1x1(t) + C2x2(t) + · · · + Cnxn(t) 和 x(t) ≡ 0 都是方程组 dx dt = A(t)x 的满足初值条件 x(t0) = 0 的解, 因此由解的存在惟一性定理知必有 C1x1(t) + C2x2(t) + · · · + Cnxn(t) ≡ 0. 故解组 {xk(t) : k = 1, 2, . . . , n} 线性相关, 但这与假设矛盾